Course:ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ/ਬੁਨਿਆਦੀ ਗਣਿਤ
ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਵਾਰ ਵਾਰ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਕੁੱਝ ਗਣਿਤਿਕ ਸਬਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਟਰਿਗਨੋਮੈਟਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਾਈਨ ਤੇ ਕੋਜ਼ਾਈਨ, ਐਕਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ (e) ਫੰਕਸ਼ਨ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਹਨ। ਪਾਠਕ ਧਿਆਨ ਦੇਣ ਕਿ ਜਿਹੜੇ ਪਾਠਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਬਾਰੇ ਉੱਕਾ ਹੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੇ, ਉਹ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਸਿੱਖਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦਾ ਇਸ ਲਿੰਕ ਤੇ ਜਾ ਕੇ ਕੋਰਸ ਪੜ ਸਕਦੇ ਹਨ;
ਐਕਪੋਨੈਂਸ਼ਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਸਤਰਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;
f(x) = eɑx ਇਹ ਅਜਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਅਪਣੇ ਖੁਦ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿੱਚ ਹੀ ਫੈਲਦਾ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਇਸਦਾ x ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਲਿਆ ਗਿਆ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਨੁਪਾਤਿਕ ਹਿੱਸੇ (ਪਰੋਪੋਰਸ਼ਨਲ ਫੈਕਟਰ) ɑ ਅਤੇ ਇਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;
(df(x))/dx = ɑ f(x) = ɑ eɑx
ਹੁਣ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਟਰਿਗਨੋਮੈਟਰਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ;
Sin kx
Cos kx
ਇਹਨਾਂ ਦਾ ਡੇਰੀਵੇਟਿਵ ਇਸਤਰਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;
(d(Sin kx))/dx = k Cos kx
(d(Cos kx))/dx = - k Sin kx
ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਐਕਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਪਰ ਇਹਨਾਂ ਦੋਹਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਕੰਪਲੈਕਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਸ ਤਰਾਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ;
F(x) = cos kx + i sin kx
(ਇੱਥੇ i ਦਾ ਅਰਥ “-1 ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ” ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ “ਆਇਓਟਾ” ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।)
ਜਿਸਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਇਸਤਰਾਂ ਬਣੇਗਾ;
(d(cos kx + i sin kx))/dx = - k Sin kx + i k cos kx = i k cos kx - k Sin kx
ਜਿਸਨੂੰ i k ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੰਝ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ;
(d(cos kx + i sin kx))/dx = i k (cos kx + i Sin kx)
ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਸੰਯੁਕਤ ਕੰਪਲੈਕਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਐਕਪੋਨੈਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੰਖ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ;
ei kx = i k (cos kx + i Sin kx)
ਜਿਸਦਾ x ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਲਿਆ ਗਿਆ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ x ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ik ਸਮੇਤ ਮੁੜ ਤੋਂ ਉਹੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਆਓ ਹੁਣ ਊਰਜਾ ਅਤੇ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਨਾਲ ਬਣਨ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵੱਲ ਚੱਲੀਏ ਜੋ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਇਸਤਰਾਂ ਸਾਬਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ;
ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ f = h/(2mλ2)
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਖੱਬਾ ਪਾਸ ਕਿਸੇ ਤਰੰਗ ਦੀ ਵਕਤ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰਤਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰਤਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਕੋਈ ਵੇਵ ਦੋ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਵਿਲੌਸਿਟੀਆਂ ਰੱਖਦਾ ਹੈ: ਇੱਕ ਨੂੰ ਸੰਯੁਕਤ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਪੂਰੇ ਪੈਕਟ ਦੀ ਗਰੁੱਪ ਵਿਲੌਸਿਟੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਨੂੰ ਵੇਵ ਪੈਕਟ ਦੇ ਅੰਦਰ ਅਲੱਗ ਅਲੱਗ ਸਾਈਨ ਕੋਜ਼ਾਈਨ ਤਰੰਗਾਂ ਦੀ ਗਤੀ ਦੀ ਵਿਲੌਸਿਟੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਫੇਜ਼ ਵਿਲੌਸਿਟੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦੀ ਹੈ;
ਫੇਜ਼ ਵਿਲੌਸਿਟੀ = f λ = h/(2mλ)
ਜਿਸਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਲੱਗ ਅਲੱਗ ਤਰੰਗ ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਲੱਗ ਅਲੱਗ ਫੇਜ਼ ਵਿਲੌਸਿਟੀ ਨਾਲ ਗਤੀ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਗਰੁੱਪ ਵਿਲੌਸਿਟੀ ਫੇਜ਼ ਵਿਲੌਸਟੀ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਵਿਲੌਸਟੀਆਂ ਇੱਕੋ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।