Elements geomètrics I

La geometria fou unes de les assignatures més valorades a l'antiguitat i va ser la precursora del raonament matemàtic general.

Es veu que el filòsof grec Plató va arribar a dir a la seva acadèmia: No entri ningú que no sàpiga geometria

Els geòmetres van fer ràpidament una mena de llenguatge per facilitar les recerques de noves propietats que mica en mica enriquia tot el coneixement matemàtic i filosòfic.

Elements geomètrics

El llibre Els elements signat amb el nom de Euclides l'any 300 a.C. va ser una de les obres més completes que deixen bocabadats encara els investigadors.

Elements simples

Els elements de la geometria conegudes com formes geomètriques són la base de tot anàlisi dins la geometria.

Veiem els principals elements de geometria plana:

El punt

El punt és l'element que no pot ser dividit en altres parts o elements. És important saber que qualsevol altre element està fet de punts.

Notació habitual: Per posar noms als punts es fa amb una lletra majúscula: A, B, C, D, E, F, G, ...

Punts per esquemes.	Punts per dibuix tècnic.

La recta

La recta és la línia recta que s'estén indefinidament en dos sentits i per tant no té extrems.

Notació habitual: Per posar noms a les rectes es fa amb una lletra minúscula: a, b, c, d, e, f, g, ...

Aspecte de les rectes.

La semirecta

La semirecta és cada una de les parts en que un punt divideix una recta i per tant té un extrem que és per on s'ha dividit la recta.

Hereta el nom de les rectes amb alguna indicació extra.

Aspecte de les semirectes.

El segment

El segment és la porció de recta situada entre dos punts donats.

Aspecte dels segments.

L'angle

Per mesurar un angle anomenat α necessitem un punt de base d'on surten dues rectes de referencia que mesurin la separació o desviació entre elles. Per mesurar aquest angle podem utilitzar el transportador que ens dirà el seu valor.

Fixem-nos com s'ha detallat un angle al dibuix, el punt A fa de punt base, la primera recta passa pel punt A i C, i la segona passa pel punt A i B.

A := Vèrtex.

α := Mesura del angle en graus sexagesimals.

Semirecta AC i semirecta AB := Costats del angle.

Tipus d'angle segons la seva mida

Extracte de l'article angle en wikipedia.

Tipus	Descripció
Angle nul	L'angle nul és aquell que mesura 0°. $\alpha =0^{\circ }$ Els dos costats d'un angle nul són paral.lels i per tant són indistingibles.
Angle agut	L'angle agut està format per dues semirectes amb una mesura major de 0° i menor de 90°. $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$
Angle recte	L'angle recte és aquell que mesura 90°. $\alpha =90^{\circ }$ Els dos costats d'un angle recte són perpendiculars.
Angle obtús	Un angle obtús té una mida major de 90° i menor de 180°. $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$
Angle pla o estès	L'angle pla és l'angle limitat per dues semirectes oposades. Mesura 180°. $\alpha =180^{\circ }$
Angle complet	Un angle complet té una mida de 360°. Els dos costats d'un angle complet tornen a ser paral.lels i per tant són indistingibles.

Posicions relatives de les rectes

Quan parlem de posicions relatives fem referència al estudi de totes les posibles formes de situar dos rectes sobre el pla, és a dir, sobre un full.

Rectes secants

Qualsevol recta que talla algo s'en diu recta secant.

La recta a és secant a la recta b, també és secant a la circumferència i la recta b també és secant a la recta a.

Rectes perpendiculars

De les rectes secants que descriuen l'angle recte s'en diuen rectes perpendiculars.

La recta a és perpendicular a la recta b i la recta b també és perpendicular a la recta a.

Rectes paral·leles

Es diu que dues rectes són paral·leles quan no es tallen mai. Aquest fet no ens serveix de gaire, per tant farem servir un altre explicació:

Dues rectes són paral·leles quan en tallar-les per un altre descriuen angles corresponent iguals, es a dir, que els angles amb la mateixa orientació siguin iguals.

Exemple relatiu a la imatge anterior:

1) Si α = 30° i β = 40° llavors les rectes a i c no són paral·leles.

2) Si α = 41° i β = 41° llavors segur que a i c són paral·leles.

3)

Rectes coincidents

Les rectes coincidents són les rectes que per alguna circumstància estan situades una al damunt de l'altre i per tant són indistingibles.

El transportador

El transportador és l'element que s'utilitza per mesurar o construir angles. Vegeu un transportador a la dreta.

Notació complexa dels graus sexagesimals i la notació decimal del grau:

$20^{\circ }30'40''=20^{\circ }+30'+40''=20^{\circ }+{\frac {30}{60}}+{\frac {40}{60\cdot 60}}=\dots =20,5{\widehat {1}}^{\circ }.$

El sistema

Sumes i restes d'angles

Per fer sumes seguirem el mateix mètode que aquest vídeo tutorial.

Forma decimal dels graus

Per fer conversió de segons a graus-minuts-segons tenim aquest vídeo tutorial.

Exercicis del tema

Full 1 d'exercicis:

Solució:

Només cal fixar-se en els angles que es situen mirant cap a un mateix lloc, anomenats angles corresponents, si són iguals ja hem acabat per que segur que les rectes són paral·leles. La forma a lo bèstia seria trobar tots els angles i veure si un parell d'angles corresponets són iguals, en aquest mètode hi ha perill de fer errades. a) Les rectes a i c són paral·leles perquè els seus angles corresponents són de 90° tots dos. b) Les rectes a i c són paral·leles perquè si busquem l'angle oposat a 80° també es 80° i per tant veiem que els angles corresponents són iguals. c) Les rectes b i a NO són paral·leles perquè encara que tinguin el mateix color, els angles corresponents són diferents $81^{\circ }\neq 82^{\circ }.$ d) Les rectes a i c són paral·leles perquè l'angle consecutiu a 100° (l'angle del costat dret) és 80°, per tant els angles corresponents són iguals. e) Les rectes a i c són paral·leles perquè els seus angles corresponents són de 110° tots dos. f) Les rectes a i b NO són paral·leles perquè per que els angles corresponents no són iguals, $100^{\circ }\neq 101^{\circ }.$ g) Les rectes a i b són paral·leles perquè l'angle consecutiu a 87° (l'angle per per sota) és 93°, per tant és igual a l'altre angle de 93°. h) Les rectes a i c NO són paral·leles perquè si busquem angles corresponents, veurem que no són iguals, 110° i 70°. Si mirem angles conjugats $110^{\circ }+110^{\circ }\neq 180^{\circ }.$ i) Les rectes a i c són paral·leles ja que l'angle entre a i c és $60^{\circ }+60^{\circ }=60^{\circ }$ i si els sumem dona 180°. j) Les rectes a i b NO són paral·leles fins que no ens diguin almenys un angle entre c i b. (La millor resposta es "no se sap"). k) Només cal pensar en parelles de rectes, per descartar-les: d i b NO són paral·leles per tenir angles corresponents diferents, així a i c NO ho són per la mateixa raó. L) Aquesta és la pregunta del deu: si fem una paral·lela a la recta a que pasi pel vèrtex del angle recte veurem que buscant angles apareixen per duplicat tots els corresponets iguals. De fet els dos triangles petits tenen els mateixos angles que en sumar-los ha de ser 180°. 2) Càlcul: a) 2° 30' 45" + 3° 30' 45" = 5° 60' 90" =(arreglant)= 6° 1' 30". ${\begin{array}{cccc}&2^{\circ }&30'&45''\\+&3^{\circ }&30'&45''\\\hline &5^{\circ }&60'&90''\\&&+1'&-60''\\&+1^{\circ }&-60'\\\hline &6^{\circ }&1'&30''\\\end{array}}$ b) 1° 50' 59" + 58° 50' 59" = 59° 100' 118" =(arreglant)= 60° 41' 58". ${\begin{array}{cccc}&1^{\circ }&50'&59''\\+&58^{\circ }&50'&59''\\\hline &59^{\circ }&100'&118''\\&&+1'&-60''\\&+1^{\circ }&-60'\\\hline &60^{\circ }&41'&58''\\\end{array}}$ c) Arreglem la primera xifra per poder restar: 1° 1' 1" = 0° 60' 61" ara ja el podem restar: 0° 60' 60" - 0° 2' 2" = 0° 58' 59". ${\begin{array}{cccc}&1^{\circ }&1'&1''\\-&0^{\circ }&2'&2''\\\hline \end{array}}$ Arreglem la primera fila ja que hi ha nombres més petits que a sota seu, per tant inflem les xifres, vegem-ho : ${\begin{array}{cccc}&1^{\circ }&1'&1''\\&&-1'&+60''\\&-1^{\circ }&+60'\\\hline &0^{\circ }&60'&61''\\\end{array}}$ Ara ja podem fer la resta com sempre: ${\begin{array}{cccc}&0^{\circ }&60'&61''\\-&0^{\circ }&2'&2''\\\hline &0^{\circ }&58'&59''\\\end{array}}$ d) Podem multiplicar perfectament i dona 3° 120' 150" arreglat 5° 2' 30". També podem sumar tres cops 1° 40' 50" i surt el mateix. ${\begin{array}{cccc}&1^{\circ }&40'&50''\\\times &&&3\\\hline &3^{\circ }&120'&150''\\&&+1'&-60''\\&+1^{\circ }&-60'\\\hline &4^{\circ }&61'&90''\\&&+1'&-60''\\&+1^{\circ }&-60'\\\hline &5^{\circ }&2'&30''\\\end{array}}$ 3) Qüestion: a) 1° és com les hores, tenen 60' (minuts). b) De 180' (minuts) puc treure tres vegades 60' (minuts) per tant surten 180/60 = 3° (graus). c) De 10° podem treure 10 vegades 60' (minuts) per tant surten 10 · 60 = 600' (minuts). d) 60" (segons) és 1' (minut). e) De 2' (minuts) puc treure dues vegades 60" (segons) per tant surten 120" (segons). f) De 600" (segons) si 60"=1' puc treure 600/60 = 10' (minuts). 4) GPS: a) Regla de tres, si 360° és 40000 km llavors 1° és x, càlculs x = 1° · 40000 km / 360° = 111,111 km. b) Regla de tres, si 60' és 111,111 km llavors 1' és x, càlculs x = 1' · 111,111 km / 60' = 1,851 km. c) Regla de tres, si 60" és 1,851 km llavors 1" és x, càlculs x = 1" · 1,851 km / 60" = 0,0308 km = 30,8 metres.

Full 2 d'exercicis:

Solució:

1) Deducció de la mesura dels angles: Recordeu sempre que una recta horitzontal porta un angle de 180° amagat i un quadrat indica un angle de 90° a) La recta horitzontal indica que la suma dels tres angles és 180°, per tant 180°=60°+α+60°, per tant l'angle que falta té el valor de α=60°. b) El quadrat vol dir que les dues rectes tenen angle de 90° a tots quatre costats, per tant α=90°. c) La recta horitzontal indica que 180°=60°+α+90°, per tant l'angle que falta té 30°. d) La recta horitzontal indica que 180°=45°+90°+α, per tant l'angle que falta té 45°. e) Tots els angles sumats entrorn d'un vèrtex sumen 360°, per tant 360°=30°+90°+α+90°, per tant l'angle que falta és α=150°, per que en sumar-los tots dona 360°. f) Fixem-nos que l'angle de 60° és la suma de α+45°, ja que tenen els mateixos costat, per tant l'angel que falta és α=15°. 2) Lo mateix que que abans, cal trobar α. a) Recta horitzontal, per tant 180°=120°+α+α, per tant α+α és 60° en total, i per tant α=30°. b) Recta horitzontal, per tant 180°=α+100°+α, per tant α+α és 80° en total, i per tant α=40°. c) 108° té mateixos costats que la suma dels dos petit, per tant 108°=α+α, i per tant α=54°. 3) Angles sobre tangents a rectes paral·leles. Entorn de l'angle de 50° tenim 130°, 50°, 130°. Sota de l'angle de 50° tornem a tenir 50°, 130°, 50°, 130°. Entorn de l'angle de 130° tenim 50°, 130°, 50°. Sobre de l'angle de 130° tenim també 50°, 130°, 50°, 130°. Podem dibuixar una segona paral·lela sobre el vèrtex de l'angle que està sol, i veureu clarament que és la suma de dos angles de 50°, per tant és 100°.

Plànol

Resta de seccions de primer d'ESO.