Exercicis d'arrels IV

Exercicis per entregar basats en els exemples de classe. Recordeu que sempre s'ha de reduïu, quan es pugui, l'arrel com a l'exercici dos.

Fórmules principals i les equivalències típiques.

${\sqrt[{n}]{a\cdot b}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}$ ${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$

Recordem que si no hi ha índex aquest és dos: ${\sqrt {342874}}={\sqrt[{2}]{342874}}$

Recordeu que per extreure valors d'una arrel primer hem de descompondre el nombre que hi ha dintre i després agrupar en potencies amb exponent múltiple del índex:

Si la potencia està al numerador, llavors mirem de extreure valors fins que sigui múltiple d'aquest índex. Si la potencia està al denominador, llavors mirem d'afegir valors fins que sigui múltiple d'aquest índex.

---

Exemple:(correcció classe**)

${\sqrt[{3}]{\frac {5^{17}}{2^{20}}}}=$ ${\sqrt[{3}]{\frac {5^{15}\cdot 5^{2}\cdot 2^{1}}{2^{20}\cdot 2^{1}}}}$

En aquest exemple s'ha tret dos cincs multiplicant i s'ha afegit un dos, però un pel numerador i un altre pel denominador. Repartim les arrels:

${\sqrt[{3}]{\frac {5^{15}\cdot 5^{2}\cdot 2^{1}}{2^{21}}}}=$ ${\frac {{\sqrt[{3}]{5^{15}}}\cdot {\sqrt[{3}]{5^{2}}}\cdot {\sqrt[{3}]{2^{1}}}}{\sqrt[{3}]{2^{21}}}}=$ ${\frac {5^{5}\cdot {\sqrt[{3}]{5^{2}\cdot 2^{1}}}}{2^{7}}}$

I aquí hem arribat, ara l'arrel té nombres petits i ja no es pot reduir més.

---

Fixeu-vos amb cada exercici i veieu que els passos formen part de la explicació, a vegades es veuen coses redundants, però és per que veieu l'origen del que sembla ja intuïtiu:

1) Extreu al màxim els valors de dins l’arrel:
a) ${\sqrt {8}}=$ ${\sqrt {2^{3}}}=$ ${\sqrt[{2}]{2^{2}\cdot 2^{1}}}=$ ${\sqrt[{2}]{2^{2}}}\cdot {\sqrt[{2}]{2^{1}}}=$ $2\cdot {\sqrt {2}}$ Observació: el 8 descompost és $8=2^{3}=2\cdot 2\cdot 2.$ b) ${\sqrt[{3}]{8}}=$ ${\sqrt[{3}]{2^{3}}}=$ $2^{\frac {3}{3}}=$ $2^{1}=2$ c) ${\sqrt {2048}}=$ ${\sqrt {2^{11}}}=$ ${\sqrt {2^{10}\cdot 2^{1}}}=$ $2^{\frac {10}{2}}\cdot {\sqrt {2}}=$ $2^{5}{\sqrt {2}}$ d) ${\sqrt[{3}]{2048}}=$ ${\sqrt[{3}]{2^{11}}}=$ ${\sqrt[{3}]{2^{9}\cdot 2^{2}}}=$ ${\sqrt[{3}]{2^{9}}}\cdot {\sqrt[{3}]{2^{2}}}=$ $2^{\frac {9}{3}}\cdot {\sqrt[{3}]{2^{2}}}=$ $2^{3}{\sqrt[{3}]{2^{2}}}$ e) ${\sqrt[{5}]{2048}}=$ ${\sqrt[{5}]{2^{11}}}=$ ${\sqrt[{5}]{2^{10}\cdot 2^{1}}}=$ $2^{\frac {10}{5}}\cdot {\sqrt[{5}]{2}}=$ $2^{2}{\sqrt[{5}]{2}}$ f) ${\sqrt[{7}]{2048}}=$ ${\sqrt[{7}]{2^{11}}}=$ ${\sqrt[{7}]{2^{7}\cdot 2^{4}}}=$ ${\sqrt[{7}]{2^{7}}}\cdot {\sqrt[{7}]{2^{4}}}=$ $2^{\frac {7}{7}}\cdot {\sqrt[{7}]{2^{4}}}=$ $2{\sqrt[{7}]{2^{2}}}$ g) ${\sqrt[{11}]{2048}}=$ ${\sqrt[{11}]{2^{11}}}=2$ h) ${\sqrt[{3}]{2^{46}}}=$ ${\sqrt[{3}]{2^{3\cdot 15}\cdot 2^{1}}}=$ ${\sqrt[{3}]{2^{3\cdot 15}}}\cdot {\sqrt[{3}]{2}}=$ $2^{15}{\sqrt[{3}]{2}}$ Dividint ${\begin{array}{rc}46&{\begin{array}{|c}3\\\hline \end{array}}\\1&15\\\end{array}}$ tenim que $\uparrow 46=45+1=3\cdot 15+1$	i) ${\sqrt[{4}]{3^{500}}}=$ $3^{\frac {500}{4}}=$ $3^{125}$ j) ${\sqrt[{6}]{2^{7}\cdot 3^{9}}}=$ ${\sqrt[{6}]{2^{6}\cdot 3^{6}\cdot 2^{1}\cdot 3^{3}}}=$ ${\sqrt[{6}]{2^{6}}}\cdot {\sqrt[{6}]{3^{6}}}\cdot {\sqrt[{6}]{2^{1}\cdot 3^{3}}}=$ $2\cdot 3\cdot {\sqrt[{6}]{2^{1}\cdot 3^{3}}}$ k) ${\sqrt {a^{2}\cdot b^{100}\cdot n^{200}}}=$ $\left(a^{2}\cdot b^{100}\cdot n^{200}\right)^{\frac {1}{2}}=$ $a^{\frac {2}{2}}\cdot b^{\frac {100}{2}}\cdot n^{\frac {200}{2}}=$ $a^{1}\cdot b^{50}\cdot n^{100}$ l) ${\sqrt {a^{2\cdot 8}}}=$ $\left(a^{2\cdot 8}\right)^{\frac {1}{2}}=$ $a^{\frac {2\cdot 8}{2}}=$ $a^{8}$ m) ${\sqrt {a^{2\cdot 1000}}}=$ $a^{\frac {2\cdot 1000}{2}}=$ $a^{1000}$ n) ${\sqrt {a^{2\cdot n}}}=$ $a^{\frac {2\cdot n}{2}}=$ $a^{n}$ o) ${\sqrt[{n}]{a^{3\cdot n}}}=$ $a^{\frac {3\cdot n}{n}}=$ $a^{3}$
2) Passa a potències d'exponent fraccionari, redueix i després torna a posar-ho amb arrels o amb una sola arrel quan es pugui:
a) ${\sqrt[{n}]{3241^{n}}}=$ $3241^{\frac {n}{n}}=$ $3241^{1}=$ $3241$ b) ${\sqrt[{6}]{2^{2}}}=$ $2^{\frac {2}{6}}=$ $2^{\frac {1}{3}}=$ ${\sqrt[{3}]{2}}$ c) ${\sqrt[{6}]{2^{3}}}=$ $2^{\frac {3}{6}}=$ $2^{\frac {1}{2}}=$ ${\sqrt {2}}$ d) ${\sqrt[{6}]{2^{4}}}=$ $2^{\frac {4}{6}}=$ $2^{\frac {2}{3}}=$ ${\sqrt[{3}]{2^{2}}}$ e) ${\sqrt[{30}]{2^{42}}}=$ $2^{\frac {42}{30}}=$ $2^{\frac {21}{15}}=$ $2^{\frac {7}{5}}=$ ${\sqrt[{5}]{2^{7}}}$ f) ${\sqrt[{n}]{2^{2\cdot n}}}=$ $2^{\frac {2}{1}}=$ $2^{2}$	g) ${\sqrt[{3}]{\frac {2^{7}}{2^{4}}}}=$ $\left(2^{7-4}\right)^{\frac {1}{3}}=$ $\left(2^{3}\right)^{\frac {1}{3}}=$ $2^{\frac {3}{3}}=$ $2^{1}=2$ h) ${\sqrt[{5}]{\frac {2^{34}}{2^{59}}}}=$ $\left(2^{34-59}\right)^{\frac {1}{5}}=$ $\left(2^{-25}\right)^{\frac {1}{5}}=$ $2^{\frac {-25}{5}}=$ $2^{-5}=$ ${\frac {1}{2^{5}}}$ i) ${\frac {\sqrt[{3}]{60}}{\sqrt[{5}]{60}}}=$ ${\frac {60^{\frac {1}{3}}}{60^{\frac {1}{5}}}}=$ $60^{{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}}=$ $60^{\frac {2}{15}}=$ ${\sqrt[{15}]{60^{2}}}$ Veiem que $60=2^{2}\cdot 3\cdot 5$ per preveure simplement.
3) Redueix el màxim possible els següents exercicis proposats: (hi ha passos que es poden saltar NO TOTS)
a) ${\sqrt[{6}]{{\sqrt[{5}]{4\;}}^{\;2}\;}}=$ $\left(\left(4^{\frac {1}{5}}\right)^{2}\right)^{\frac {1}{6}}=$ $4^{{\frac {1}{5}}\cdot 2\cdot {\frac {1}{6}}}=$ $4^{\frac {2}{30}}=$ $4^{\frac {1}{15}}=$ ${\sqrt[{15}]{4}}$ b) ${\sqrt[{33}]{{\sqrt[{5}]{5^{\;33}\;}}^{\;3}\;}}=$ $\left(\left(\left(5^{33}\right)^{\frac {1}{5}}\right)^{3}\right)^{\frac {1}{33}}=$ $5^{33\cdot {\frac {1}{5}}\cdot 3\cdot {\frac {1}{33}}}=$ $5^{\frac {33\cdot 3}{5\cdot 33}}=$ $5^{\frac {3}{5}}=$ ${\sqrt[{5}]{5^{3}}}$ c) ${\frac {2^{20}\cdot {\sqrt[{6}]{2^{2}}}}{2^{50}\cdot {\sqrt[{4}]{2^{3}}}}}=$ ${\frac {2^{20}\cdot {2^{\frac {2}{6}}}}{2^{50}\cdot 2^{\frac {3}{4}}}}=$ $2^{20}\cdot 2^{\frac {2}{6}}\cdot 2^{-50}\cdot 2^{-{\frac {3}{4}}}=$ $2^{20+{\frac {2}{6}}-50-{\frac {3}{4}}}=$ $2^{{\frac {20\cdot 12}{12}}+{\frac {2\cdot 2}{6\cdot 2}}-{\frac {50\cdot 12}{12}}-{\frac {3\cdot 3}{4\cdot 3}}}=$ $2^{{\frac {240}{12}}+{\frac {4}{12}}-{\frac {600}{12}}-{\frac {9}{12}}}=$ $2^{\frac {240+4-600-9}{12}}=$ $2^{\frac {-365}{12}}$ Compta: $mcm(6,4)=12$.	d) ${\sqrt[{7}]{{\sqrt[{3}]{5^{\;21}\;}}^{\;31}\;}}=$ $5^{\frac {21\cdot 31}{7\cdot 3}}=$ $5^{31}$ e) ${\frac {{\sqrt[{4}]{a^{20}}}\cdot a^{21}\cdot {\sqrt[{7}]{a^{24}}}}{{\sqrt {a^{50}}}\cdot {\sqrt[{45}]{a^{71}}}\cdot {\sqrt[{4}]{a2^{3}}}}}=$ ${\frac {a^{\frac {20}{4}}\cdot a^{21}\cdot a^{\frac {24}{7}}}{a^{\frac {50}{2}}\cdot a^{\frac {71}{45}}\cdot (a2^{3})^{\frac {1}{4}}}}=$ $a^{\frac {20}{4}}\cdot a^{21}\cdot a^{\frac {24}{7}}\cdot a^{\frac {-50}{2}}\cdot a^{\frac {-71}{45}}\cdot (a2^{3})^{\frac {-1}{4}}=$ $a^{{\frac {20}{4}}+21+{\frac {24}{7}}-{\frac {50}{2}}-{\frac {71}{45}}-{\frac {1}{4}}}(2^{3})^{\frac {-1}{4}}=$ es pot continuar però no cal. L'interès és com es pot arreglar i ajuntar tots els exponents.

Seguretat

Modificat el 11/11/2018

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO