Exercicis d'arrels IV

Pàgina acumulativa d'exercicis d'arrels per a 4t ESO.

Recull d'exercicis de radicació per treballar-los contínuament.

Recordatori

La notació

Si

a\geqslant 0

llavors

{\sqrt[{n}]{\,a^{\phantom {l}}}}^{\;m}={\sqrt[{n}]{a^{m{\phantom {l}}}}}=a^{\frac {m}{n}}\geqslant 0

i la fracció

{\frac {m}{n}}

es pot reduir.

Estudi d'existència de solucions a

\mathbb {R}

del cas

a<0:

Existència de ${\sqrt[{n}]{a^{m{\phantom {l}}}}}$
n \ m	Parell	Imparell
Parell	Sí	No
Imparell	Sí	Sí

Existència de ${\sqrt[{n}]{\,a^{\phantom {l}}}}^{\;m}$
n \ m	Parell	Imparell
Parell	No	No
Imparell	Sí	Sí

Les 8 possibilitats de valors de n i m fan perillós simplificar-los com a fracció, ja que podrien canviar de parell a imparell desconeixent canvis de situacions a cada taula arribant a falsedats:

1={\sqrt {1}}={\sqrt {(-1)^{2}}}={\sqrt[{\cancel {2}}]{(-1)^{\cancel {2}}}}=-1

Si existeix, es recomana fer el càlcul directament sense modificar l'enunciat, ja que les arrels per sí soles no són capaces de recuperar nombres negatius al quadrat.

Propietats

{\sqrt[{n}]{a\cdot b}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}

{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}

{\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{n\cdot m}]{a}}

Exemple

${\sqrt[{5}]{\sqrt[{3}]{\frac {2\cdot {\sqrt {5}}\cdot 3}{\sqrt {7\cdot {\sqrt[{3}]{2}}}}}}}={\frac {{\sqrt[{15}]{2}}\cdot {\sqrt[{30}]{5}}\cdot {\sqrt[{15}]{3}}}{{\sqrt[{30}]{7}}\cdot {\sqrt[{90}]{2}}}}$

Observacions

Si no hi ha índex, vol dir que és dos: ${\sqrt {342874}}={\sqrt[{2}]{342874}}$

Si l'índex i la potència són iguals i $a>0$ llavors ratllem per anul·lar tots dos: ${\sqrt[{n}]{a}}^{\,n}={\sqrt[{n}]{a^{\,n\,}}}={\sqrt[{\cancel {n}}]{a^{\cancel {n}}}}=a$

Per extreure valors d'una arrel:

Descompondre el nombre que hi ha dintre en factors primers.

Agrupar potències de mateixa base independentment de l'índex.

Al numerador mirem d'extreure valors múltiples d'aquest índex, el mètode més ràpid és:

{\frac {m}{n}}=q+{\frac {r}{n}}

ve de la divisió entera

{\begin{array}{rc}m&{\begin{array}{|c}n\\\hline \end{array}}\\r&q\\\end{array}}

{\sqrt[{n}]{a^{m{\phantom {l}}}}}=3^{q}{\sqrt[{n}]{a^{r{\phantom {l}}}}}

Al denominador es pot aplicar el mateix mètode ràpid anterior una mica modificat:

{\frac {m}{n}}=q+{\frac {r}{n}}

ve de la divisió entera

{\begin{array}{rc}m&{\begin{array}{|c}n\\\hline \end{array}}\\r&q\\\end{array}}

{\frac {1}{\sqrt[{n}]{3^{m{\phantom {l}}}}}}={\frac {1}{3^{q}{\sqrt[{n}]{a^{r{\phantom {l}}}}}}}={\frac {\sqrt[{n}]{3^{n-r{\phantom {l}}}}}{3^{q+1}}}

Exemple de feina que es vol evitar

{\sqrt[{3}]{\frac {5^{17}}{2^{20}}}}=

{\sqrt[{3}]{\frac {5^{15}\cdot 5^{2}\cdot 2^{1}}{2^{20}\cdot 2^{1}}}}

S'observa que 17 i 20 no es poden dividir per 3, per tant l'únic que cal fer és afegir valors al 20 i restar valors a 17 perquè sí siguin divisibles per 3 que és la arrel.

Per tant es treu o separa $5^{2}$ de $5^{17}$ i s'afegeix $2^{1}$ un pel numerador i un altre pel denominador. Repartim l'arrel entre tots els termes:

{\sqrt[{3}]{\frac {5^{15}\cdot 5^{2}\cdot 2^{1}}{2^{21}}}}=

{\frac {{\sqrt[{3}]{5^{15}}}\cdot {\sqrt[{3}]{5^{2}}}\cdot {\sqrt[{3}]{2^{1}}}}{\sqrt[{3}]{2^{21}}}}=

{\frac {5^{5}\cdot {\sqrt[{3}]{5^{2}\cdot 2^{1}}}}{2^{7}}}

I ja s'ha acabat perquè no es pot reduir més.

Exercicis

Fixeu-vos que els passos formen part de l'explicació, a vegades es veuen redundàncies, però és perquè es vegi l'origen del que sembla ja intuïtiu:

1) Extreu artesanalment el màxim de valors de dins de l’arrel:

a)

{\sqrt {8}}=

{\sqrt {2^{3}}}

={\sqrt[{2}]{2^{2}\cdot 2^{1}}}

={\sqrt[{2}]{2^{2}}}\cdot {\sqrt[{2}]{2^{1}}}

=2{\sqrt {2}}

b)

{\sqrt[{3}]{8}}=

{\sqrt[{3}]{2^{3}}}

=2^{\frac {3}{3}}

=2^{1}=2

c)

{\sqrt {2048}}=

{\sqrt {2^{11}}}

={\sqrt {2^{10}\cdot 2^{1}}}

=2^{\frac {10}{2}}\cdot {\sqrt {2}}

=2^{5}{\sqrt {2}}

d)

{\sqrt[{3}]{2048}}=

{\sqrt[{3}]{2^{11}}}

={\sqrt[{3}]{2^{9}\cdot 2^{2}}}

={\sqrt[{3}]{2^{9}}}\cdot {\sqrt[{3}]{2^{2}}}

=2^{\frac {9}{3}}\cdot {\sqrt[{3}]{2^{2}}}

=2^{3}{\sqrt[{3}]{2^{2}}}

e)

{\sqrt[{5}]{2048}}=

{\sqrt[{5}]{2^{11}}}

={\sqrt[{5}]{2^{10}\cdot 2^{1}}}

=2^{\frac {10}{5}}\cdot {\sqrt[{5}]{2}}

=2^{2}{\sqrt[{5}]{2}}

f)

{\sqrt[{7}]{2048}}=

{\sqrt[{7}]{2^{11}}}

={\sqrt[{7}]{2^{7}\cdot 2^{4}}}

={\sqrt[{7}]{2^{7}}}\cdot {\sqrt[{7}]{2^{4}}}

=2^{\frac {7}{7}}\cdot {\sqrt[{7}]{2^{4}}}

=2{\sqrt[{7}]{2^{4}}}

g)

{\sqrt[{11}]{2048}}=

{\sqrt[{11}]{2^{11}}}=2

h)

{\sqrt[{3}]{2^{46}}}=

{\sqrt[{3}]{2^{3\cdot 15}\cdot 2^{1}}}

={\sqrt[{3}]{2^{3\cdot 15}}}\cdot {\sqrt[{3}]{2}}

=2^{15}{\sqrt[{3}]{2}}

${\begin{array}{rl}46&{\begin{array}{|c}3\\\hline \end{array}}\\1&15\\\end{array}}$ llavors $\uparrow 46=3\cdot 15+1$

i)

{\sqrt[{4}]{3^{500}}}=

3^{\frac {500}{4}}

=3^{125}

j)

{\sqrt[{6}]{2^{7}\cdot 3^{9}}}=

{\sqrt[{6}]{2^{6}\cdot 3^{6}\cdot 2^{1}\cdot 3^{3}}}

={\sqrt[{6}]{2^{6}}}\cdot {\sqrt[{6}]{3^{6}}}\cdot {\sqrt[{6}]{2^{1}\cdot 3^{3}}}

=2\cdot 3\cdot {\sqrt[{6}]{2^{1}\cdot 3^{3}}}

k)

{\sqrt {a^{2}\cdot b^{100}\cdot n^{200}}}=

\left(a^{2}\cdot b^{100}\cdot n^{200}\right)^{\frac {1}{2}}

=a^{\frac {2}{2}}\cdot b^{\frac {100}{2}}\cdot n^{\frac {200}{2}}

=a^{1}\cdot b^{50}\cdot n^{100}

l)

{\sqrt {a^{2\cdot 8}}}=

\left(a^{2\cdot 8}\right)^{\frac {1}{2}}

=a^{\frac {2\cdot 8}{2}}

=a^{8}

m)

{\sqrt {a^{2\cdot 1000}}}=

a^{\frac {2\cdot 1000}{2}}

=a^{1000}

n)

{\sqrt {a^{2\cdot n}}}=

a^{\frac {2\cdot n}{2}}

=a^{n}

o)

{\sqrt[{n}]{a^{3\cdot n}}}=

a^{\frac {3\cdot n}{n}}

=a^{3}

2) Passa a potències d'exponent fraccionari, redueix i després torna a posar-ho amb arrels o amb una sola arrel quan es pugui:

a)

{\sqrt[{n}]{3241^{n{\phantom {1}}}}}

=3241^{\frac {n}{n}}

=3241^{1}

=3241

b) ${\sqrt[{6}]{2^{2}}}$ $=2^{\frac {2}{6}}$ $=2^{\frac {1}{3}}$ $={\sqrt[{3}]{2}}$

c) ${\sqrt[{6}]{2^{3}}}$ $=2^{\frac {3}{6}}$ $=2^{\frac {1}{2}}$ $={\sqrt {2}}$

d) ${\sqrt[{6}]{2^{4}}}$ $=2^{\frac {4}{6}}$ $=2^{\frac {2}{3}}$ $={\sqrt[{3}]{2^{2}}}$

e) ${\sqrt[{30}]{2^{42}}}$ $=2^{\frac {42}{30}}$ $=2^{\frac {21}{15}}$ $=2^{\frac {7}{5}}$ $={\sqrt[{5}]{2^{7}}}$

f) ${\sqrt[{n}]{2^{2\cdot n}}}$ $=2^{\frac {{\cancel {n}}\cdot 2}{\cancel {n}}}$ $=2^{2}$

g)

{\sqrt[{3}]{\frac {2^{7}}{2^{4}}}}

=\left(2^{7-4}\right)^{\frac {1}{3}}

=\left(2^{3}\right)^{\frac {1}{3}}

=2^{\frac {3}{3}}

=2^{1}=2

h) ${\sqrt[{5}]{\frac {2^{34}}{2^{59}}}}$ $=\left(2^{34-59}\right)^{\frac {1}{5}}$ $=\left(2^{-25}\right)^{\frac {1}{5}}$ $=2^{\frac {-25}{5}}$ $=2^{-5}$ $={\frac {1}{2^{5}}}$

i) ${\frac {\sqrt[{3}]{60}}{\sqrt[{5}]{60}}}$ $={\frac {60^{\frac {1}{3}}}{60^{\frac {1}{5}}}}$ $=60^{{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}}$ $=60^{\frac {2}{15}}$ $={\sqrt[{15}]{60^{2}}}$

Observació:

60=2^{2}\cdot 3\cdot 5

.

3) Redueix el màxim possible els següents exercicis proposats: (hi ha passos que es poden saltar NO TOTS)

a)

{\sqrt[{6}]{{\sqrt[{5}]{4\;}}^{\;2}\;}}

=\left(\left(4^{\frac {1}{5}}\right)^{2}\right)^{\frac {1}{6}}

=4^{{\frac {1}{5}}\cdot 2\cdot {\frac {1}{6}}}

=4^{\frac {2}{30}}

=4^{\frac {1}{15}}

={\sqrt[{15}]{4}}

b) ${\sqrt[{33}]{{\sqrt[{5}]{5^{\;33}\;}}^{\;3}\;}}$ $=\left(\left(\left(5^{33}\right)^{\frac {1}{5}}\right)^{3}\right)^{\frac {1}{33}}$ $=5^{33\cdot {\frac {1}{5}}\cdot 3\cdot {\frac {1}{33}}}$ $=5^{\frac {{\cancel {33}}\cdot 3}{5\cdot {\cancel {33}}}}$ $=5^{\frac {3}{5}}$ $={\sqrt[{5}]{5^{3}}}$

c) ${\frac {2^{20}\cdot {\sqrt[{6}]{2^{2}}}}{2^{50}\cdot {\sqrt[{4}]{2^{3}}}}}$ $={\frac {2^{20-50}\cdot {2^{\frac {2}{6}}}}{2^{\frac {3}{4}}}}$ $=2^{-30}\cdot 2^{\frac {2}{6}}\cdot 2^{-{\frac {3}{4}}}$ $=2^{-30+{\frac {2}{6}}-{\frac {3}{4}}}$ $=2^{\frac {-30\cdot 12+2\cdot 2-3\cdot 3}{12}}$ $=2^{\frac {-360+4-9}{12}}$ $=2^{\frac {-365}{12}}$ $=2^{-30-{\frac {5}{12}}}$ $=2^{-30-1+1-{\frac {5}{12}}}$ $=2^{-31+{\frac {12-5}{12}}}$ $=2^{-31+{\frac {7}{12}}}$ $={\frac {\sqrt[{12}]{2^{7}}}{2^{31}}}$

Amb el

mcm(6,4)=12

.

d)

{\sqrt[{7}]{{\sqrt[{3}]{5^{\;21}\;}}^{\;2}\;}}

=5^{\frac {21\cdot 2}{7\cdot 3}}

=5^{2}

e) ${\frac {{\sqrt[{4}]{a^{20}}}\cdot a^{2}\cdot {\sqrt[{7}]{a^{21}}}}{{\sqrt[{25}]{a^{50}}}\cdot {\sqrt[{45}]{a^{9}}}\cdot {\sqrt[{4}]{a^{2}2^{8}}}}}$ $={\frac {a^{\frac {20}{4}}\cdot a^{2}\cdot a^{\frac {21}{7}}}{a^{\frac {50}{25}}\cdot a^{\frac {9}{45}}\cdot \left(a^{\frac {2}{4}}\cdot 2^{\frac {8}{4}}\right)}}$ $={\frac {a^{5}\cdot {\cancel {a^{2}}}\cdot a^{3}}{{\cancel {a^{2}}}\cdot a^{\frac {1}{5}}\cdot a^{\frac {1}{2}}\cdot 2^{2}}}$ $={\frac {a^{5}\cdot a^{3}\cdot a^{-{\frac {1}{5}}}\cdot a^{-{\frac {1}{2}}}}{2^{2}}}$ $={\frac {a^{5+3-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{2}}}}{2^{2}}}$ $={\frac {a^{7+1-{\frac {7}{10}}}}{2^{2}}}$ $={\frac {a^{7+{\frac {3}{10}}}}{2^{2}}}$ $={\frac {a^{7}{\sqrt[{10}]{a^{3}}}}{2^{2}}}$

Recordatori

Racionalització

Aquestes són les principals o úniques simplificacions que trobarem. La primera intenta anul·lar una arrel de qualsevol tipus al denominador. La segona només serveix per a arrels quadrades i en realitat és particular però útil. Ambdues propietats es poden demostrar fàcilment a partir de les anteriors.

L'objectiu és que al denominador no hi hagi arrels, perquè les arrels produeixen errors de càlcul que són amplificades per les divisions.

Fórmules
${\frac {a}{\sqrt[{n}]{b^{\,m}}}}={\frac {a\cdot {\sqrt[{n}]{b^{\,n-m}}}}{{\sqrt[{n}]{b^{\,m}}}\cdot {\sqrt[{n}]{b^{\,n-m}}}}}={\frac {a\cdot {\sqrt[{n}]{b^{\,n-m}}}}{b}}$
${\frac {a\,}{{\sqrt {b\,}}\pm {\sqrt {c\,}}}}={\frac {a\cdot ({\sqrt {b\,}}\mp {\sqrt {c\,}})}{({\sqrt {b\,}}\pm {\sqrt {c\,}})({\sqrt {b\,}}\mp {\sqrt {c\,}})}}={\frac {a\cdot ({\sqrt {b\,}}\mp {\sqrt {c\,}})}{b-c}}$

Exemples

1) Racionalitza al màxim simplificant sempre que es pugui.

a) ${\frac {1}{\sqrt {5}}}$ $={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}$ $={\frac {1\cdot {\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}^{2}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}$ $={\frac {\sqrt {5}}{5}}$