Exercicis d'arrels IV

Pàgina acumulativa d'exercicis d'arrels per a 4t ESO.

Recull d'exercicis de radicació per treballar-los contínuament.

Recordatori

La notació

Si $a⩾0$ llavors ${\sqrt[n]{a^{\phantom{l}}}}^m=\sqrt[n]{a^{m\phantom{l}}}=a^{\frac{m}{n}}⩾0$ i la fracció $\frac{m}{n}$ es pot reduir.

Estudi d'existència de solucions a $ℝ$ del cas $a<0:$ Existència de $\sqrt[n]{a^{m\phantom{l}}}$ n \ m Parell Imparell Parell Sí No Imparell Sí Sí Existència de ${\sqrt[n]{a^{\phantom{l}}}}^m$ n \ m Parell Imparell Parell No No Imparell Sí Sí Les 8 possibilitats de valors de n i m fan perillós simplificar-los com a fracció, ja que podrien canviar de parell a imparell desconeixent canvis de situacions a cada taula arribant a falsedats: $1=\sqrt{1}=\sqrt{(-1{)}^2}=\sqrt[\cancel{2}]{(-1{)}^{\cancel{2}}}=-1$ Si existeix, es recomana fer el càlcul directament sense modificar l'enunciat, ja que les arrels per sí soles no són capaces de recuperar nombres negatius al quadrat.

Propietats

$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$

Exemple

$\sqrt[5]{\sqrt[3]{\frac{2\cdot \sqrt{5}\cdot 3}{\sqrt{7\cdot \sqrt[3]{2}}}}}=\frac{\sqrt[15]{2}\cdot \sqrt[30]{5}\cdot \sqrt[15]{3}}{\sqrt[30]{7}\cdot \sqrt[90]{2}}$

Observacions

• Si no hi ha índex, vol dir que és dos: $\sqrt{342874}=\sqrt[2]{342874}$

• Si l'índex i la potència són iguals i $a>0$ llavors ratllem per anul·lar tots dos: ${\sqrt[n]{a}}^n=\sqrt[n]{a^n}=\sqrt[\cancel{n}]{a^{\cancel{n}}}=a$

• Per extreure valors d'una arrel:

• Descompondre el nombre que hi ha dintre en factors primers.

• Agrupar potències de mateixa base independentment de l'índex.

Al numerador mirem d'extreure valors múltiples d'aquest índex, el mètode més ràpid és: $\frac{m}{n}=q+\frac{r}{n}$ ve de la divisió entera $\begin{array}{cc}m& \begin{array}{c}n\end{array}\\ r& q\end{array}$ $\sqrt[n]{a^{m\phantom{l}}}=3^q\sqrt[n]{a^{r\phantom{l}}}$

Al denominador es pot aplicar el mateix mètode ràpid anterior una mica modificat: $\frac{m}{n}=q+\frac{r}{n}$ ve de la divisió entera $\begin{array}{cc}m& \begin{array}{c}n\end{array}\\ r& q\end{array}$ $\frac{1}{\sqrt[n]{3^{m\phantom{l}}}}=\frac{1}{3^q\sqrt[n]{a^{r\phantom{l}}}}=\frac{\sqrt[n]{3^{n-r\phantom{l}}}}{3^{q+1}}$

Exemple de feina que es vol evitar

$\sqrt[3]{\frac{5^{17}}{2^{20}}}=$ $\sqrt[3]{\frac{5^{15}\cdot 5^2\cdot 2^1}{2^{20}\cdot 2^1}}$

S'observa que 17 i 20 no es poden dividir per 3, per tant l'únic que cal fer és afegir valors al 20 i restar valors a 17 perquè sí siguin divisibles per 3 que és la arrel.

Per tant es treu o separa $5^2$ de $5^{17}$ i s'afegeix $2^1$ un pel numerador i un altre pel denominador. Repartim l'arrel entre tots els termes:

$\sqrt[3]{\frac{5^{15}\cdot 5^2\cdot 2^1}{2^{21}}}=$ $\frac{\sqrt[3]{5^{15}}\cdot \sqrt[3]{5^2}\cdot \sqrt[3]{2^1}}{\sqrt[3]{2^{21}}}=$ $\frac{5^5\cdot \sqrt[3]{5^2\cdot 2^1}}{2^7}$

I ja s'ha acabat perquè no es pot reduir més.

Exercicis

Fixeu-vos que els passos formen part de l'explicació, a vegades es veuen redundàncies, però és perquè es vegi l'origen del que sembla ja intuïtiu:

1) Extreu artesanalment el màxim de valors de dins de l’arrel:
a) $\sqrt{8}=$ $\sqrt{2^3}$ $=\sqrt[2]{2^2\cdot 2^1}$ $=\sqrt[2]{2^2}\cdot \sqrt[2]{2^1}$ $=2\sqrt{2}$ b) $\sqrt[3]{8}=$ $\sqrt[3]{2^3}$ $=2^{\frac{3}{3}}$ $=2^1=2$ c) $\sqrt{2048}=$ $\sqrt{2^{11}}$ $=\sqrt{2^{10}\cdot 2^1}$ $=2^{\frac{10}{2}}\cdot \sqrt{2}$ $=2^5\sqrt{2}$ d) $\sqrt[3]{2048}=$ $\sqrt[3]{2^{11}}$ $=\sqrt[3]{2^9\cdot 2^2}$ $=\sqrt[3]{2^9}\cdot \sqrt[3]{2^2}$ $=2^{\frac{9}{3}}\cdot \sqrt[3]{2^2}$ $=2^3\sqrt[3]{2^2}$ e) $\sqrt[5]{2048}=$ $\sqrt[5]{2^{11}}$ $=\sqrt[5]{2^{10}\cdot 2^1}$ $=2^{\frac{10}{5}}\cdot \sqrt[5]{2}$ $=2^2\sqrt[5]{2}$ f) $\sqrt[7]{2048}=$ $\sqrt[7]{2^{11}}$ $=\sqrt[7]{2^7\cdot 2^4}$ $=\sqrt[7]{2^7}\cdot \sqrt[7]{2^4}$ $=2^{\frac{7}{7}}\cdot \sqrt[7]{2^4}$ $=2\sqrt[7]{2^4}$ g) $\sqrt[11]{2048}=$ $\sqrt[11]{2^{11}}=2$ h) $\sqrt[3]{2^{46}}=$ $\sqrt[3]{2^{3\cdot 15}\cdot 2^1}$ $=\sqrt[3]{2^{3\cdot 15}}\cdot \sqrt[3]{2}$ $=2^{15}\sqrt[3]{2}$ $\begin{array}{cc}46& \begin{array}{c}3\end{array}\\ 1& 15\end{array}$ llavors $\uparrow 46=3\cdot 15+1$	i) $\sqrt[4]{3^{500}}=$ $3^{\frac{500}{4}}$ $=3^{125}$ j) $\sqrt[6]{2^7\cdot 3^9}=$ $\sqrt[6]{2^6\cdot 3^6\cdot 2^1\cdot 3^3}$ $=\sqrt[6]{2^6}\cdot \sqrt[6]{3^6}\cdot \sqrt[6]{2^1\cdot 3^3}$ $=2\cdot 3\cdot \sqrt[6]{2^1\cdot 3^3}$ k) $\sqrt{a^2\cdot b^{100}\cdot n^{200}}=$ ${(a^2\cdot b^{100}\cdot n^{200})}^{\frac{1}{2}}$ $=a^{\frac{2}{2}}\cdot b^{\frac{100}{2}}\cdot n^{\frac{200}{2}}$ $=a^1\cdot b^{50}\cdot n^{100}$ l) $\sqrt{a^{2\cdot 8}}=$ ${\left(a^{2\cdot 8}\right)}^{\frac{1}{2}}$ $=a^{\frac{2\cdot 8}{2}}$ $=a^8$ m) $\sqrt{a^{2\cdot 1000}}=$ $a^{\frac{2\cdot 1000}{2}}$ $=a^{1000}$ n) $\sqrt{a^{2\cdot n}}=$ $a^{\frac{2\cdot n}{2}}$ $=a^n$ o) $\sqrt[n]{a^{3\cdot n}}=$ $a^{\frac{3\cdot n}{n}}$ $=a^3$
2) Passa a potències d'exponent fraccionari, redueix i després torna a posar-ho amb arrels o amb una sola arrel quan es pugui:
a) $\sqrt[n]{3241^{n\phantom{1}}}$ $=3241^{\frac{n}{n}}$ $=3241^1$ $=3241$ b) $\sqrt[6]{2^2}$ $=2^{\frac{2}{6}}$ $=2^{\frac{1}{3}}$ $=\sqrt[3]{2}$ c) $\sqrt[6]{2^3}$ $=2^{\frac{3}{6}}$ $=2^{\frac{1}{2}}$ $=\sqrt{2}$ d) $\sqrt[6]{2^4}$ $=2^{\frac{4}{6}}$ $=2^{\frac{2}{3}}$ $=\sqrt[3]{2^2}$ e) $\sqrt[30]{2^{42}}$ $=2^{\frac{42}{30}}$ $=2^{\frac{21}{15}}$ $=2^{\frac{7}{5}}$ $=\sqrt[5]{2^7}$ f) $\sqrt[n]{2^{2\cdot n}}$ $=2^{\frac{\cancel{n}\cdot 2}{\cancel{n}}}$ $=2^2$	g) $\sqrt[3]{\frac{2^7}{2^4}}$ $={\left(2^{7-4}\right)}^{\frac{1}{3}}$ $={\left(2^3\right)}^{\frac{1}{3}}$ $=2^{\frac{3}{3}}$ $=2^1=2$ h) $\sqrt[5]{\frac{2^{34}}{2^{59}}}$ $={\left(2^{34-59}\right)}^{\frac{1}{5}}$ $={\left(2^{-25}\right)}^{\frac{1}{5}}$ $=2^{\frac{-25}{5}}$ $=2^{-5}$ $=\frac{1}{2^5}$ i) $\frac{\sqrt[3]{60}}{\sqrt[5]{60}}$ $=\frac{60^{\frac{1}{3}}}{60^{\frac{1}{5}}}$ $=60^{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}$ $=60^{\frac{2}{15}}$ $=\sqrt[15]{60^2}$ Observació: $60=2^2\cdot 3\cdot 5$.
3) Redueix el màxim possible els següents exercicis proposats: (hi ha passos que es poden saltar NO TOTS)
a) $\sqrt[6]{{\sqrt[5]{4}}^2}$ $={\left({\left(4^{\frac{1}{5}}\right)}^2\right)}^{\frac{1}{6}}$ $=4^{\frac{1}{5}\cdot 2\cdot \frac{1}{6}}$ $=4^{\frac{2}{30}}$ $=4^{\frac{1}{15}}$ $=\sqrt[15]{4}$ b) $\sqrt[33]{{\sqrt[5]{5^{33}}}^3}$ $={\left({\left({\left(5^{33}\right)}^{\frac{1}{5}}\right)}^3\right)}^{\frac{1}{33}}$ $=5^{33\cdot \frac{1}{5}\cdot 3\cdot \frac{1}{33}}$ $=5^{\frac{\cancel{33}\cdot 3}{5\cdot \cancel{33}}}$ $=5^{\frac{3}{5}}$ $=\sqrt[5]{5^3}$ c) $\frac{2^{20}\cdot \sqrt[6]{2^2}}{2^{50}\cdot \sqrt[4]{2^3}}$ $=\frac{2^{20-50}\cdot 2^{\frac{2}{6}}}{2^{\frac{3}{4}}}$ $=2^{-30}\cdot 2^{\frac{2}{6}}\cdot 2^{-\frac{3}{4}}$ $=2^{-30+\frac{2}{6}-\frac{3}{4}}$ $=2^{\frac{-30\cdot 12+2\cdot 2-3\cdot 3}{12}}$ $=2^{\frac{-360+4-9}{12}}$ $=2^{\frac{-365}{12}}$ $=2^{-30-\frac{5}{12}}$ $=2^{-30-1+1-\frac{5}{12}}$ $=2^{-31+\frac{12-5}{12}}$ $=2^{-31+\frac{7}{12}}$ $=\frac{\sqrt[12]{2^7}}{2^{31}}$ Amb el $mcm(6,4)=12$. d) $\sqrt[7]{{\sqrt[3]{5^{21}}}^2}$ $=5^{\frac{21\cdot 2}{7\cdot 3}}$ $=5^2$ e) $\frac{\sqrt[4]{a^{20}}\cdot a^2\cdot \sqrt[7]{a^{21}}}{\sqrt[25]{a^{50}}\cdot \sqrt[45]{a^9}\cdot \sqrt[4]{a^2{2}^8}}$ $=\frac{a^{\frac{20}{4}}\cdot a^2\cdot a^{\frac{21}{7}}}{a^{\frac{50}{25}}\cdot a^{\frac{9}{45}}\cdot (a^{\frac{2}{4}}\cdot 2^{\frac{8}{4}})}$ $=\frac{a^5\cdot \cancel{a^2}\cdot a^3}{\cancel{a^2}\cdot a^{\frac{1}{5}}\cdot a^{\frac{1}{2}}\cdot 2^2}$ $=\frac{a^5\cdot a^3\cdot a^{-\frac{1}{5}}\cdot a^{-\frac{1}{2}}}{2^2}$ $=\frac{a^{5+3-\frac{1}{5}-\frac{1}{2}}}{2^2}$ $=\frac{a^{7+1-\frac{7}{10}}}{2^2}$ $=\frac{a^{7+\frac{3}{10}}}{2^2}$ $=\frac{a^7\sqrt[10]{a^3}}{2^2}$

Recordatori

Racionalització

Aquestes són les principals o úniques simplificacions que trobarem. La primera intenta anul·lar una arrel de qualsevol tipus al denominador. La segona només serveix per a arrels quadrades i en realitat és particular però útil. Ambdues propietats es poden demostrar fàcilment a partir de les anteriors.

L'objectiu és que al denominador no hi hagi arrels, perquè les arrels produeixen errors de càlcul que són amplificades per les divisions.

Fórmules

$\frac{a}{\sqrt[n]{b^m}}=\frac{a\cdot \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^m}\cdot \sqrt[n]{b^{n-m}}}=\frac{a\cdot \sqrt[n]{b^{n-m}}}{b}$

$\frac{a}{\sqrt{b}\pm \sqrt{c}}=\frac{a\cdot (\sqrt{b}\mp \sqrt{c})}{(\sqrt{b}\pm \sqrt{c})(\sqrt{b}\mp \sqrt{c})}=\frac{a\cdot (\sqrt{b}\mp \sqrt{c})}{b-c}$

Exemples

1) Racionalitza al màxim simplificant sempre que es pugui.

a) $\frac{1}{\sqrt{5}}$ $=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ $=\frac{1\cdot \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^2}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ $=\frac{\sqrt{5}}{5}$

b) $\frac{11}{\sqrt{11}}$

c) $\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}$

d) $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{15}}$

e) $\frac{7\cdot \sqrt{31}}{\sqrt{31}\cdot \sqrt{7}}$

f) $\frac{\sqrt{15}\cdot \sqrt{21}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}$

g) $\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}$

h) $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{42}}{\sqrt{27}\cdot \sqrt{7}}$

i) $\frac{\sqrt{1}-\sqrt{21}}{\sqrt{21}\cdot \sqrt{8}}$

Exercicis combinats

1) Simplifica al màxim les expressions següents.

a) $\sqrt[3]{\frac{\sqrt{10\cdot \sqrt{16}\cdot 20}}{\sqrt{16}}}$

b) $\sqrt{\frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{10000}}\cdot 5\cdot \sqrt{5}\cdot 15}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2^8}}}}}$

c) $\sqrt{\frac{\sqrt{5\cdot 2^7}}{\sqrt{10^5}}}$

2) Calcula les fraccions donades, recordant que s'ha de racionalitzar sempre i desfent tots els parèntesis.

a) $\frac{\frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{5}}}{\frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{15}}}$

b) $\frac{\frac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{7}}}{\frac{1+\sqrt{5}}{7}+1}$

c) $\mathrm{...}$

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO