Factorització de polinomis IV

Aquest tema tracta de factoritzar polinomis com a producte de monomis amb un mètode molt particular de Ruffini.

Ha de quedar clar quina de les següents expressions és millor o, més ben dit, quina porta menys feina per estudiar-la:

$(x+2)(x-3)(x+1)(x-1)(x+1)(x+1)$ $=x^{6}+x^{5}-8x^{4}-14x^{3}+x^{2}+13x+6$

És millor la primera expressió per que, com és un producte de monomis, té tots els zeros exposats, és a dir, es veuen a simple vista.

-2,3,-1 tres cops, 1.

En canvi, en la segona expressió els zeros estan amagats com a múltiples del terme sense x, anomenat terme independent, el 6.

-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6.

Com aquest mètode no és general ni definitiu, Ruffini ens ajuda fent un sondeig dels possibles zeros.

Ruffini

Apliquem Ruffini a la segona expressió del exemple introductori:

Pas 1

Fer una llista ordenada dels coeficients, per fer la divisió:

${\begin{array}{c|ccccccc}&1&1&-8&-14&1&13&6\\Multiplicador&\\\hline &&&&&&&&\uparrow {\text{ Recta de suma }}\end{array}}$

Pas 2

Cerca de divisors del terme independent 6:

-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3 i 6.

Pas 3

Situar el divisor com el -2 a lloc de multiplicador i la seva funció és exclusivament multiplicar.

El significat d'això es equivalent a dividir el polinomi original per (x + 2), on x + 2 = 0 si x = -2.

El que aconseguim a nivell teòric és extreure un zero del polinomi. Pot quedar més zeros del tipus x = -2.

${\begin{array}{c|ccccccc}&1&1&-8&-14&1&13&6\\-2&\\\hline &1\end{array}}$

El primer terme del polinomi el baixem, en aquest cas l'1.

Pas 4

Hauríem de provar cada terme del pas 2 fins que el residu sigui zero, per tant fem Ruffini successivament. En aquest exemple pensem que després d'una cerca hem mirat quins valors dona residu zero, per tant, deixo l'operació bona:

${\begin{array}{r|ccccccc}&1&1&-8&-14&1&13&6\\-2&&-2&2&12&4&-10&-6\\\hline &1&-1&-6&-2&5&3&{\begin{array}{|c}0\\\hline \end{array}}\\3&&3&6&0&-6&-3\\\hline &1&2&0&-2&-1&{\begin{array}{|c}0\\\hline \end{array}}\\1&&1&3&3&1\\\hline &1&3&3&1&{\begin{array}{|c}0\\\hline \end{array}}\\-1&&-1&-2&-1\\\hline &1&2&1&{\begin{array}{|c}0\\\hline \end{array}}\\-1&&-1&-1\\\hline &1&1&{\begin{array}{|c}0\\\hline \end{array}}\\\end{array}}$

Aquí ja hauríem acabat de fer la descomposició ara només cal escriure el producte de monomis directament de la primera columna:

$(x+2)(x-3)(x-1)(x+1)(x+1)(x+1)$

Tutorial semblant però que comença per valors petits

• Descomposició d'un polinomi amb arrels enteres

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO