Fitxa dels nombres naturals I

From Wikiversity
Jump to navigation Jump to search

En aquesta secció ens cuidem de les qualitats ideals que tenen aquests nombres i entendre què és la codificació.

Els divisors[edit]

Per divisors d'un nombre natural entenem aquell nombre que pot dividir-lo enterament, és a dir, deixant un residu zero. En aquest cas un divisor, per tant, ha de ser sempre més petit que el nombre a qui divideix.

Parlem de divisió entre nombres naturals amb el ben entès que parlem de divisió amb residu zero també coneguda com divisió entera. En pròximes seccions amb nombres decimals la divisió quedarà lliure d'aquesta distinció.

Exemple de lectura d'Euclides de l'any 300 a.c.:

  • 10 és divisible per ... 2 ja que 10 / 2 = 5 exactament, també l'hem de llegir com que el 2 hi cap 5 vegades dins del 10 sense que en falti o sobri cap valor.
  • 20 no és divisible per 3 ja que 20 / 3 = 6 amb residu 2, també l'hem de llegir com que el 3 hi cap 6 vegades dins del 20 però en sobren dos llocs per omplir dels 20 inicials.

Exercicis:

1) Amb aquesta idea resoleu les divisions següents, indicant el residu i indicant com l'has llegit:

8 / 4 =
15 / 15 =
3 / 4 =
100 / 3 =

2) Calculeu tots els divisors de 15.

3) Calculeu tots els divisors de 16.

4) Preguntes de raonament i assaig:

Els divisors d'un nombre poden ser majors que aquest? i per què?
Hi ha algun nombre amb infinits divisors? i per què?
Quin és el nombre més petit amb dos divisors que no sigui l'u i ell mateix? i per què?
El resultat de fer la divisió és un nombre més gran que el inicial? i per què?

Nombres primers[edit]

Per nombres primers(en castellà números primos i en anglès prime number) entenem aquells nombres majors que 1 i que no té cap més divisor que l'u i ell mateix.

Exemple de nombres primers:

1) 2 és un nombre primer perquè no té divisor diferent de l'u i del dos. Per què no hi ha cap nombre entre aquests dos.

2) 3 és un nombre primer perquè no té divisor diferent de l'u i del tres. El dos podria ser un candidat però no és divisor.

3) 5 és un nombre primer perquè 2, 3 i 4 no són divisors.

4) 7 és un nombre primer perquè 2, 3, 4, 5 i 6 no són divisors.

Raonament

Podem repartir 10 caramels entre 3 persones equitativament? no, perquè 3 no és ........ de 10.

Podem repartir 11 caramels entre un nombre major que 1 i menor que 11 persones equitativament? no, perquè 11 és un nombre ........ i sempre en sobrarien o faltarien alguns.

Criteris per buscar divisors[edit]

Part principal de la taula que ens diu com fer una recerca ràpida de divisors primers:[1]

Divisor Quan els nombres
2 acaben en 0, 2, 4, 6 i 8.
3 tenen la suma de xifres divisible per 3
5 acaben en 0 i 5.

La resta de casos és discutible si és més pràctic fer la divisió directament que recordar el llarg mètode de sumes i restes de xifres.

llista de nombres primers:

11 31 41 61 71 101 131 151 181 191
2
3 13 23 43 53 73 83 103 113 163 173 193
5
7 17 37 47 67 97 107 127 137 157 167 197
19 29 59 79 89 109 139 149 179 199

A la primera columna apareixen el 2, 3, 5 i 7 que ja hem vist, els següents nombres primers ja no acaben en 0, 2, 4, 5, 6 i 8 com es veu a cada fila.

No s'han de memoritzar tots els nombres primers, només amb les dues primeres columnes hi ha prou ja que molts candidats a nombres primers es poden descartar si surten a la taula de multiplicar (la taula de l'u no compta).

Encara avui en dia es busquen nombres primers gegants, però els càlculs els fan amb ordinadors preparats.

Notació[edit]

Per no escriure tant fem ús de la notació amb exponents següent:

El nombre escrit en petit s'anomena exponent i indica les vegades que apareix multiplicant el terme a.

Exemples

1) on 8 és l'exponent.

2) on 6 és un exponent i 3 l'altre exponent.

3) o també

Descomposició de nombres[edit]

Volem construir un nombre només multiplicant nombres primers, l'únic que cal és anar dividint-lo per nombres primers petit fins el darrer nombre primer.

Exemples

Podem construir el nombre 2048 omplint la taula següent:

Solució: podem construir el nombre 2048 expressant-lo com:

Podem construir el nombre 3210 omplint la taula següent que recull tots els seus divisors:

[2]

Solució: nombres primers que buscàvem per construir el nombre 3210 es multipliquen així

Observacions:

  • En principi no és gaire rellevant fer els divisors de 5 abans que els de 3, perquè és més ràpid i la descomposició serà la mateixa sigui quin sigui l'ordre escollit. L'ordre té importància per no descuidar cap divisor, és a dir, no equivocar-se.
  • Per revisar els exercicis és necessari que deixeu les divisions i la taula de descomposició resultant [1].
  • Fer la descomposició en nombres primers és com fer una radiografia a un nombre mostrant les seves propietats internes que no es veuen a simple vista.

Exercicis:

Calculeu la descomposició dels següents nombres:

a) 100 b) 360 c) 256 d) 2310
e) 121 f) 3500 b) 625 b) 160

Màxim comú divisor[edit]

Busquem el divisor més gran a determinats nombres per tal de repartir o ajustar quantitats.

Mètode per fer el màxim comú divisor:

Per calcular el màxim comú divisor de diferents nombres:
  • primer s'ha de fer la descomposició de cadascun d'ells.
  • Desprès hem d'escriure els divisors comuns amb exponent més petit.[3]

Finalment ja es poden multiplicar.

Adonem-nos que tot divisor comú és més petit o igual que el màxim comú divisor i que tot divisor al màxim comú divisor és també divisor als mateixos nombres.

Exemples:

  • Màxim comú divisor de 80 i 200:
  • Tenim 20 regalèssies, 200 núvols i 50 caramels. Quin és el nombre més gran d'amics amb qui puc compartir equitativament els meus dolços?
amics.
  • Hem d'enrajolar el terra d'una habitació rectangular de 880 cm de llarg amb 560 cm d'ample amb un sol tipus de rajoles quadrades, per no haver de tallar-les. La comanda es fa a una empresa que fabrica els models següents:
a)
b)
c)
d)
Es mira quin és el màxim comú divisor de les dues mides de la habitació:
Finalment, mirant el mcd veig que les úniques mides que el poden dividir i per tant dividir les mides de la habitació és cm de costat. Compta, es pot dividir els dos costat del terra pel costat de cada rajola i veure quin es exacte, però l'exercici és un assaig de màxim comú divisor.

Múltiples d'un nombre[edit]

Per fer múltiples d'un nombre només cal multiplicar-lo per altres nombres inclús el número zero.

Exemple:

  • Múltiples de 2:
  • Múltiples de 11:
  • Múltiples de 100:

fixeu-vos que dir que no se sap fer múltiples és dir que no se sap la taula de multiplicar.

Mínim comú múltiple[edit]

Busquem el múltiple més petit a determinats nombres per tal de optimitzar càlculs i predir fets repetitius:

Mètode per fer el mínim comú múltiple:

Per calcular el mínim comú múltiple de diferents nombres:
  • primer s'ha de fer la descomposició de cadascun d'ells.
  • Desprès hem d'apuntar tot divisor i en cas de repetir-se agafem el d'exponent més gran.[4]

Finalment ja es poden multiplicar.

Exemple:

  • Mínim comú múltiple de 15, 9 i 21:
  • En una parada d'autobusos, dos autobusos surten a les 8 del matí, un fa sortides cada 33 minuts i l'altre cada 21 minuts. Quan tornaran a sortir al mateix temps?
Per tant sortiran al mateix temps al cap de 231 minuts ( 3 hores i 51 minuts ), és a dir, a les 11:51 am.
  • En un engranatge de dos rodes dentades de 5 i 7 dents, es vol veure quan tornen a trobar-se les mateixes dents en la posició inicials. Es tracta de un fet repetitiu i per tant es fa fent múltiples de girs fins tornar al punt inicial.
Engrane 5 y 7.svg
contactes entre dents.
Si ens fixem la roda de 5 dents donarà 7 girs sencers i la roda de 7 dents donarà 5 girs sencers.

Els codis[edit]

Els codis serveixen per classificar, ocultar, simplificar, protegir o reforça tot tipus de dades com:

  • Determinades dades com etiquetes.
  • Missatges.
  • Arxius en general.
  • Qualsevol sistema de comunicació continu.

Sistema per codificar dades[edit]

Actualment els sistemes que permeten codificar dades amb molta cura requereixen d'un coneixement molt alt dels nombres naturals i de moltes propietats no estudiades a l'ESO, però en podem donar una idea del sistemes més senzills de codificació.

Exemples de codificació:

  • El conegut password, contrasenya o codi d'ingrés que barreja símbols per protegir i fer difícil la seva recerca.
Xc8I7aA3
Código de barras EAN13.
El código QR para la URL de la portada de la Wikipedia en español
Matrícula alfanumérica nacional.
  • El DNI que no oculta sinó que protegeix de errades a l'hora de copiar-lo.
Resto 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Letra T R W A G M Y F P D X B N J Z S Q V H L C K E

El codi com llenguatge de comunicació

International Morse code.png
Wikipedia in binary.gif
  • El sistema hexadecimal.
Hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f
Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
  • El sistemes estàndards de compressió i codificació de imatges.
Les imatges compresses amb aquests sistemes ocupen menys espai de dades a l'hora d'emmagatzemar-les.
JPEG GIF PNG
Phalaenopsis JPEG.png Rotating earth (large).gif PNG transparency demonstration 2.png
  • El codi del senyal de televisió TDT que protegeix, comprimeix i millora la qualitat d'imatge de la televisió alliberant espai per augmentar la quantitat de canals de televisió.
Digital terrestrial television standards.svg

Plànol[edit]

Resta de seccions de primer d'ESO.

Anotacions[edit]

  1. Per obtenir la taula més gran tenim l'article de Divisibilidad de wikipedia.
  2. 107 és molt fàcil veure que és primer, només cal dividir-lo pel següent primer 7 i dona 15,2..., després pel següent primer 11 i dona 9,7..., com que 11>9 podem dir que ja no hi ha més divisors perquè voldria dir que hi hauria un divisor més petit que 9 que ja hem comprovat que no i, per tant, 107 és nombre primer.
  3. Exponent petit perquè sinó no són divisors a tots ells.
  4. És com afegir els múltiples que falten a cada número per obtenir un número que sigui divisible per tots i que sigui el més petit possible.