Fitxa dels nombres naturals I

En aquesta secció ens cuidem de les qualitats ideals que posseeixen els nombres natural i entendre què és la codificació en general.

Múltiples i divisors

Aquests dos conceptes estan molt lligats i junts milloren el raonament i la resolució de problemes. A Elements d'Euclides, 300 a. C., es troben diversos exercicis dedicats a la comparació de mesures arbitraries.

Exemple

Un nen agafa un pal, que no sap quan mesura, i comença a mesurar la llargada de l'hort del seu avi. Posa el pal successivament davant la seva posició anterior fins a sobrepassar la llargada de l'hort, això va sumar un total de 23 pals. a) Quant mesura l'hort? i si el pal mesura 2 m de llarg? b) Tota mesura es pot fer amb pals? c) Qualsevol cosa mesurable té aquestes propietats?

Solució: a) Si amb 23 ha sobrepassat, llavors vol dir que la mesura de l'hort és 22 pals i una mica més, aquesta mida de més no és més gran que el pal. $Llargada=Pal\cdot 22+r,$ on r és més petit que la mesura d'un pal. Si el pal té 2 m de llarg, llavors l'hort mesura més de $22\times 2m=44m$ sense sobrepassar els 26 m. b) Si la mesura és purament longitudinal res impedeix repetir la mesura del pal fins que s'acabi en algun moment. De fet es pot reescriure aquest fet com una divisió per predir quant ha de mesurar el pal o quantes vegades cal repetir el pal respectivament: O bé $\;\;\;{\begin{array}{rl}Llargada&{\begin{array}{|c}22\\\hline \end{array}}\\r&Pal\\\end{array}}\;\;\;$ o també $\;\;\;{\begin{array}{rl}Llargada&{\begin{array}{|c}Pal\\\hline \end{array}}\\r&22\\\end{array}}\;\;\;$ c) Aquest tipus de mesures es poden fer per mesurar espais plans amb un foli per exemple o espais volumètrics. Donada una mesura longitudinal que no es pugui mesurar i, per tant, sempre que posem novament el pal no arribem al seu extrem, significa que aquesta mida és infinita, $\infty$, i l'infinit no és cap nombre.

Els múltiples

A partir d'una unitat de mesura o nombre natural x, tots els seus múltiples estan repartits com a punts dins la recta de nombres naturals amb el mateix espai entre ells. Això vol dir que podem mesurar qualsevol longitud amb un errors més petits que aquest nombre x.

1·x

2·x

3·x

4·x

5·x

6·x

7·x

Per fer múltiples d'un nombre només cal multiplicar-lo per altres nombres inclús pel número zero.

Exemple:

• Múltiples de 1: ${\dot {1}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,\dots \}$ que són tots els nombres naturals

• Múltiples de 2: ${\dot {2}}=\{0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,\dots \}$

• Múltiples de 3: ${\dot {3}}=\{0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,\dots \}$

• Múltiples de 4: ${\dot {4}}=\{0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,\dots \}$

• Múltiples de 5: ${\dot {5}}=\{0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,\dots \}$

• Múltiples de 11: ${\dot {11}}=\{0,11,22,33,44,55,66,77,88,99,\dots \}$

• Múltiples de 100: ${\dot {100}}=\{0,100,200,300,400,500,600,\dots \}$

Dir que no se sap fer múltiples és dir que no se sap la taula de multiplicar.

Observacions

• Hi ha nombres diferents de zero que apareixen dins de llistes de múltiples diferents, com el 8, 6, 12, etc.

• Hi ha nombres que només apareixen dins dels múltiple d'1 i dels seus múltiples, com el 2, 3, 5, ... , se'n diuen nombres primers.

Exercicis

1) Escriu 10 termes successius dels múltiples de 6, 7 i 8:

${\dot {6}}=$

${\dot {7}}=$

${\dot {8}}=$

2) S'ha vist que per fer múltiples de 3 només cal multiplicar-lo per qualsevol altre nombre: 4·3=12. Si es sumen dos múltiples de 3, seguirà sent un múltiple de 3? fes el raonament utilitzant 12 i 15.

3) Troba cada apartat:

a) El 13 de quins nombres és múltiple?

b) El 6 de quins nombres és múltiple? prova que és un múltiple d'aquests? només s'ha de dir que és igual a una multiplicació.

c) El 8 de quins nombres és múltiple? prova que és un múltiple d'aquests?

Els divisors

${\begin{array}{rl}Dividend(dividendo)&{\begin{array}{|c}Divisor\\\hline \end{array}}\\Residu(residuo\,o\,resto)&Quocient(cociente)\\\end{array}}$

Una divisió és exacta quan en fer la divisió no queda res al residu, és a dir, que el residu és zero.

${\begin{array}{rl}120&{\begin{array}{|c}10\\\hline \end{array}}\\20&12\\0\\\end{array}}$

Els divisors d'un nombre natural són els nombres que fan una divisió exacta al nombre natural, deixant un residu zero.

Exemples:

1) Els divisors del nombre natural 14 són 1, 2, 7 i 14.

2) Els divisors del nombre natural 8 són 1, 2, 4 i 8.

3) Els divisors del nombre natural 11 són 1 i 11.

Observació

• És obligat que el divisor més gran o igual que 1 i sigui més petit o igual que el nombre a dividir.

• L'u divideix a tots els nombres, llavors no cal provar-ho:${\begin{array}{rl}751&{\begin{array}{|c}1\\\hline \end{array}}\\0&751\\\end{array}}$

• Tot nombre es divideix per si mateix:${\begin{array}{rl}751&{\begin{array}{|c}751\\\hline \end{array}}\\0&1\\\end{array}}$

• De cap de les maneres s'ha de pensar en el zero com a divisor, prohibit.

• Cap divisor és més gran que el dividend, sinó apareix un 0'... , per exemple:

${\begin{array}{ll}5&{\begin{array}{|c}7\\\hline \end{array}}\\50&0'7...\\\end{array}}$

Exemples

• 10 és divisible per 2 ja que 10 / 2 = 5 exactament, es pot llegir com que el 2 hi cap 5 vegades dins del 10 exactament.

• 20 no és divisible per 3 ja que 20 / 3 = 6 amb residu 2, es pot llegir com que el 3 hi cap 6 vegades dins del 20, però en sobren dos llocs per omplir dels 20 inicials.

Exercicis

1) Dona el residu i explica com s'ha de llegir el resultat:

8 / 4 =

15 / 15 =

3 / 4 =

100 / 3 =

2) Calculeu tots els divisors de 15.

3) Calculeu tots els divisors de 16.

4) Respon:

a) Els divisors d'un nombre poden ser majors que aquest? i per què?

b) Hi ha algun nombre amb infinits divisors? i per què?

c) Busqueu el nombre més petit que tingui només dos divisors que NO sigui l'u i ell mateix? explica'l una mica?

5) Respon:

a) Tots els múltiples de 5 són divisibles entre 5?

b) Tots els múltiples de 9 són divisibles entre 3?

c) Tots els múltiples de 6 són divisibles entre 2 i 3?

d) Busca tots els divisors de 30. El 30 és múltiple de tots els divisors?

e) Troba 5 múltiples de 3 que siguin divisibles per 2 i 5 a la vegada.

f) Construeix un nombre que sigui múltiple de 1,2,3,4,5 i 6.

g) 150 és múltiple de 3 si faig 150/2 també és múltiple de 3? i 150/5 ? i 150/3?

Nombres primers

Els nombres primers(en castellà números primos i en anglès prime number) són aquells nombres naturals majors que 1 i que no té cap més divisor que l'u i ell mateix.

Exemple de nombres primers

1) 2 és un nombre primer perquè no té divisor diferent de l'u i del dos. Per què no hi ha cap nombre entre aquests dos.

2) 3 és un nombre primer perquè no té divisor diferent de l'u i del tres. El dos podria ser un candidat però no és divisor.

3) 5 és un nombre primer perquè 2, 3 i 4 no són divisors.

4) 7 és un nombre primer perquè 2, 3, 4, 5 i 6 no són divisors.

Raonament

1) Podem repartir 10 caramels entre 3 persones equitativament? no, perquè 3 no és ........ de 10.

2) Podem repartir 11 caramels entre un nombre major que 1 i menor que 11 persones equitativament? no, perquè 11 és un nombre ........ i sempre en sobrarien o faltarien alguns.

Criteris per buscar divisors

Part principal de la taula que ens diu com fer una recerca ràpida de divisors primers:

Divisor	Quan els nombres
2	acaben en 0, 2, 4, 6 i 8.
3	tenen la suma de xifres divisible per 3
5	acaben en 0 i 5.

La resta de casos és discutible si és més pràctic fer la divisió directament que recordar el llarg mètode de sumes i restes de xifres.

Llista de nombres primers fins al 100:

0
1	11		31	41		61	71			101			131		151			181	191
2
3	13	23		43	53		73	83		103	113					163	173		193
5
7	17		37	47		67			97	107		127	137		157	167			197
	19	29			59		79	89		109			139	149			179		199

A la primera columna apareixen el 2, 3, 5 i 7 que ja hem vist, els següents nombres primers ja no acaben en 0, 2, 4, 5, 6 i 8 com es veu a cada fila.

No s'han de memoritzar tots els nombres primers, només amb les dues primeres columnes hi ha prou ja que molts candidats a nombres primers es poden descartar si surten a la taula de multiplicar (la taula de l'u no compta).

Encara avui en dia es busquen nombres primers gegants, però els càlculs els fan amb ordinadors preparats.

Notació per a potències

Per no escriure tant farem ús de la notació amb exponents següent:

$\underbrace {13\cdot 13\cdot 13\cdot 13\cdot 13\cdot 13\cdot 13\cdot 13\cdot 13\cdot 13} _{apareix\;10\;vegades}=13^{10}$

El nombre escrit en petit s'anomena exponent i indica les vegades que apareix multiplicant el terme a.

$\underbrace {a\cdot a\cdot a\;\cdot \;...\;\cdot \;a} _{apareix\;n\;vegades}=a^{n}$

$a=a^{1}$

Exemples

1) $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^{8}$ on 8 és l'exponent.

2) $5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 7\cdot 7=5^{6}\cdot 7^{3}$ on 6 és un exponent i 3 l'altre exponent.

3) $2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 11=$ $2\cdot 3^{4}\cdot 5^{6}\cdot 7\cdot 11^{2}$ o també $2^{1}\cdot 3^{4}\cdot 5^{6}\cdot 7^{1}\cdot 11^{2}$

Descomposició de nombres

Volem construir un nombre només multiplicant nombres primers, l'únic que cal és anar dividint-lo per nombres primers petit fins el darrer nombre primer.

Exemples

1) Podem construir el nombre 2048 omplint la seva taula de descomposició:

${\begin{array}{r|c}2048&2?\\\end{array}}$ ${\begin{array}{rl}2048&{\begin{array}{|c}2\\\hline \end{array}}\\0&1024\\\end{array}}$ ${\begin{array}{r|c}2048&2\\1024&2?\\\end{array}}$ ${\begin{array}{rl}1024&{\begin{array}{|c}2\\\hline \end{array}}\\0&512\\\end{array}}$ ${\begin{array}{r|c}2048&2\\1024&2\\512&2?\\\end{array}}$ ${\begin{array}{rl}512&{\begin{array}{|c}2\\\hline \end{array}}\\0&256\\\end{array}}$ ${\begin{array}{r|c}2048&2\\1024&2\\512&2\\256&2?\\\end{array}}$ ${\begin{array}{rl}256&{\begin{array}{|c}2\\\hline \end{array}}\\0&128\\\end{array}}$ ${\begin{array}{r|c}2048&2\\1024&2\\512&2\\256&2\\128&2?\\\end{array}}$ ${\begin{array}{rl}128&{\begin{array}{|c}2\\\hline \end{array}}\\0&64\\\end{array}}$ ${\begin{array}{r|c}2048&2\\1024&2\\512&2\\256&2\\128&2\\64&2?\\\end{array}}$ ${\begin{array}{rl}64&{\begin{array}{|c}2\\\hline \end{array}}\\0&32\\\end{array}}$ ${\begin{array}{r|c}2048&2\\1024&2\\512&2\\256&2\\128&2\\64&2\\32&2?\\\end{array}}$ ${\begin{array}{rl}32&{\begin{array}{|c}2\\\hline \end{array}}\\0&16\\\end{array}}$ ${\begin{array}{r|c}2048&2\\1024&2\\512&2\\256&2\\128&2\\64&2\\32&2\\16&2?\\\end{array}}$ ${\begin{array}{rl}16&{\begin{array}{|c}2\\\hline \end{array}}\\0&8\\\end{array}}$ ${\begin{array}{r|c}2048&2\\1024&2\\512&2\\256&2\\128&2\\64&2\\32&2\\16&2\\8&2?\\\end{array}}$ ${\begin{array}{rl}8&{\begin{array}{|c}2\\\hline \end{array}}\\0&4\\\end{array}}$ ${\begin{array}{r|c}2048&2\\1024&2\\512&2\\256&2\\128&2\\64&2\\32&2\\16&2\\8&2\\4&2?\\\end{array}}$ ${\begin{array}{rl}4&{\begin{array}{|c}2\\\hline \end{array}}\\0&2\\\end{array}}$ ${\begin{array}{r|c}2048&2\\1024&2\\512&2\\256&2\\128&2\\64&2\\32&2\\16&2\\8&2\\4&2\\2&2?\\\end{array}}$ ${\begin{array}{rl}2&{\begin{array}{|c}2\\\hline \end{array}}\\0&1\\\end{array}}$ ${\begin{array}{r|c}2048&2\\1024&2\\512&2\\256&2\\128&2\\64&2\\32&2\\16&2\\8&2\\4&2\\2&2\\1&\\\end{array}}$

Solució: podem construir el nombre 2048 expressant-lo com: $2048=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{11}$

2) Podem construir el nombre 3210 omplint la seva taula de descomposició:

${\begin{array}{r|c}3210&2\\\end{array}}$ ${\begin{array}{rl}3210&{\begin{array}{|c}2\\\hline \end{array}}\\0&1605\\\end{array}}$ ${\begin{array}{r|c}3210&2\\1605&3\\\end{array}}$ ${\begin{array}{rl}1605&{\begin{array}{|c}3\\\hline \end{array}}\\0&535\\\end{array}}$ ${\begin{array}{r|c}3210&2\\1605&3\\535&5\\\end{array}}$ ${\begin{array}{rl}535&{\begin{array}{|c}5\\\hline \end{array}}\\0&107\\\end{array}}$ ${\begin{array}{r|c}3210&2\\1605&3\\535&5\\107&107\\1&\\\end{array}}$

Solució: nombres primers que buscàvem per construir el nombre 3210 es multipliquen així $2\cdot 3\cdot 5\cdot 107=3210.$

Observacions

• En principi no és gaire rellevant fer els divisors de 5 abans que els de 3, perquè és més ràpid i la descomposició serà la mateixa sigui quin sigui l'ordre escollit. L'ordre té importància per no descuidar cap divisor, és a dir, no equivocar-se.

• Per revisar els exercicis és necessari que deixeu les divisions i la taula de descomposició resultant [1].

• Fer la descomposició en nombres primers és com fer una radiografia a un nombre mostrant les seves propietats internes que no es veuen a simple vista.

Exercicis:

Calculeu la descomposició dels següents nombres:

a) 100	b) 360	c) 256	d) 2310
e) 121	f) 3500	b) 625	b) 160

Màxim comú divisor

Busquem el divisor més gran a determinats nombres per tal de repartir o ajustar quantitats.

Mètode per fer el màxim comú divisor:

Per calcular el màxim comú divisor de diferents nombres: primer s'ha de fer la descomposició de cadascun d'ells. Desprès hem d'escriure els divisors comuns amb exponent més petit. Finalment ja es poden multiplicar.

Adonem-nos que tot divisor comú és més petit o igual que el màxim comú divisor i que tot divisor al màxim comú divisor és també divisor als mateixos nombres.

Exemples

1) Màxim comú divisor de 80 i 200:

$mcd(80,200)=?$
${\begin{array}{r|c}80&2\\40&2\\20&2\\10&2\\5&5\\1&\\\end{array}}$ $80=2^{4}\cdot 5$	${\begin{array}{r|c}200&2\\100&2\\50&2\\25&5\\5&5\\1&\\\end{array}}$ $200=2^{3}\cdot 5^{2}$
$mcd(80,200)=2^{3}\cdot 5^{1}=2^{3}\cdot 5=40.$

2) Tenim 20 regalèssies, 200 núvols i 50 caramels. Quin és el nombre més gran d'amics amb qui puc compartir equitativament els meus dolços? sense trencar-ne cap.

$mcd(20,200,50)=?$
${\begin{array}{r|c}20&2\\10&2\\5&5\\1&\\\end{array}}$ $20=2^{2}\cdot 5$	${\begin{array}{r|c}200&2\\100&2\\50&2\\25&5\\5&5\\1&\\\end{array}}$ $200=2^{3}\cdot 5^{2}$	${\begin{array}{r|c}50&2\\25&5\\5&5\\1&\\\end{array}}$ $50=2\cdot 5^{2}$
$mcd(20,200,50)=2^{1}\cdot 5^{1}=10$ amics.

3) Hem d'enrajolar el terra d'una habitació rectangular de 880 cm de llarg amb 560 cm d'ample amb un sol tipus de rajoles quadrades, per no haver de tallar-les. La comanda es fa a una empresa que fabrica els models següents:

a) $15cm\times 15cm$ $(15=3\cdot 5)$

b) $20cm\times 20cm$ $(20=2^{2}\cdot 5)$

c) $25cm\times 25cm$ $(25=5^{2})$

d) $30cm\times 30cm$ $(30=2\cdot 3\cdot 5)$

Després de fer un dibuix del problema, es mira quin és el màxim comú divisor de les dues mides de la habitació:

$mcd(880,560)=?$
${\begin{array}{r|c}880&2\\440&2\\220&2\\110&2\\55&5\\11&11\\1&\\\end{array}}$ $880=2^{4}\cdot 5\cdot 11$	${\begin{array}{r|c}560&2\\280&2\\140&2\\70&2\\35&5\\7&7\\1&\\\end{array}}$ $560=2^{4}\cdot 5\cdot 7$
$mcd(880,560)=2^{4}\cdot 5.$

Finalment, mirant el mcd veig que les úniques mides que el poden dividir i per tant dividir les mides de la habitació és el tipus (b) $2^{2}\cdot 5=20$ cm de costat. Compta, un altre mètode és dividir els dos costat del terra pel costat de cada rajola i veure quin es exacte, però l'exercici és un assaig de màxim comú divisor.

Mínim comú múltiple

Busquem el múltiple més petit a determinats nombres per tal de optimitzar càlculs i predir fets repetitius:

Mètode per fer el mínim comú múltiple:

Per calcular el mínim comú múltiple de diferents nombres: primer s'ha de fer la descomposició de cadascun d'ells. Desprès hem d'apuntar tot divisor i en cas de repetir-se agafem el d'exponent més gran. Finalment ja es poden multiplicar.

Exemple:

• Mínim comú múltiple de 15, 9 i 21:

$mcm(15,9,21)=?$
${\begin{array}{r|c}15&3\\5&5\\1&\\\end{array}}$ $15=3\cdot 5$	${\begin{array}{r|c}9&3\\3&3\\1&\\\end{array}}$ $9=3^{2}$	${\begin{array}{r|c}21&3\\7&7\\1&\\\end{array}}$ $21=3\cdot 7$
$mcm(15,9,21)=3^{2}\cdot 5\cdot 7=315.$

• En una parada d'autobusos, dos autobusos surten a les 8 del matí, un fa sortides cada 33 minuts i l'altre cada 21 minuts. Quan tornaran a sortir al mateix temps?

$mcm(21,33)=?$
${\begin{array}{r|c}21&3\\7&7\\1&\\\end{array}}$ $21=3\cdot 7$	${\begin{array}{r|c}33&3\\11&11\\1&\\\end{array}}$ $33=3\cdot 11$
$mcm(21,33)=3\cdot 7\cdot 11=231.$

Per tant sortiran al mateix temps al cap de 231 minuts ( 3 hores i 51 minuts ), és a dir, a les 11:51 am.

• En un engranatge de dos rodes dentades de 5 i 7 dents, es vol veure quan tornen a trobar-se les mateixes dents en la posició inicials. Es tracta de un fet repetitiu i per tant es fa fent múltiples de girs fins tornar al punt inicial.

$mcm(5,7)=?$
${\begin{array}{r|c}5&5\\1&\\\end{array}}$ $5=5$	${\begin{array}{r|c}7&7\\1&\\\end{array}}$ $7=7$
$mcm(5,7)=5\cdot 7=35$ contactes entre dents.

Si ens fixem la roda de 5 dents donarà 7 girs sencers i la roda de 7 dents donarà 5 girs sencers.

Els codis

Els codis serveixen per classificar, ocultar, simplificar, protegir o reforça tot tipus de dades com:

• Determinades dades com etiquetes.

• Missatges.

• Arxius en general.

• Qualsevol sistema de comunicació continu.

Sistema per codificar dades

Actualment els sistemes que permeten codificar dades amb molta cura requereixen d'un coneixement molt alt dels nombres naturals i de moltes propietats no estudiades a l'ESO, però en podem donar una idea del sistemes més senzills de codificació.

Exemples de codificació:

• El conegut password, contrasenya o codi d'ingrés que barreja símbols per protegir i fer difícil la seva recerca.

Xc8I7aA3

• El codi de barres.

• El codi QR.

• El codi de les plaques de matrícula d'Espanya.

• El DNI que no oculta sinó que protegeix de errades a l'hora de copiar-lo.

Resto	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
Letra	T	R	W	A	G	M	Y	F	P	D	X	B	N	J	Z	S	Q	V	H	L	C	K	E

El codi com llenguatge de comunicació

• El codi morse: imatge de la dreta.

• El codi binari o millor dit sistema dels nombres en base binària

• El sistema hexadecimal.

Hexadecimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
Decimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

• El sistemes estàndards de compressió i codificació de imatges.

Les imatges compresses amb aquests sistemes ocupen menys espai de dades a l'hora d'emmagatzemar-les.

JPEG	GIF	PNG

• El codi del senyal de televisió TDT que protegeix, comprimeix i millora la qualitat d'imatge de la televisió alliberant espai per augmentar la quantitat de canals de televisió.

Plànol

Resta de seccions de primer d'ESO.