Secció per treballar les inequacions fraccionàries a la vegada que la representació sobre la recta real i la seva extensió a dos variables.
S'utilitzen taules de signes per fer l'esquema gràfic, només com a procediment pedagògic per avaluar ja que s'ha de preveure el funcionament i comportament dels signes. Fora d'aquesta secció i amb la seva experiència es pot simplificar tant com es vulgui o directament fer l'esquema de representació inclús amb altres tipus d'inequacions.
Per netedat de llenguatge algebraic ens referirem als punts com
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
f
(
x
)
,
g
(
x
)
,
h
(
x
)
…
.
{\displaystyle f(x),g(x),h(x)\dots \,.}
Hi ha 4 possibles exemples d'inequacions amb diverses funcions
f
(
x
)
=
P
(
x
)
Q
(
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}
y estigui ben aïllada.
Inequacions lineals [ edit ] Les inequacions lineals són del tipus
y
<
m
x
+
n
{\displaystyle y<mx+n}
m
x
+
n
=
0
{\displaystyle mx+n=0}
⇒
x
=
−
n
m
.
{\displaystyle \Rightarrow x=-{\frac {n}{m}}.}
Aquestes inequacions divideixen el pla coordenat en dues parts anomenats semiplans.
Per més detall es pot llegir Inequacions lineals .
2) Donat
y
⩾
5
x
−
2
,
{\displaystyle y\geqslant 5x-{\sqrt {2}},}
taula de signes i després l'esquema de representació per esbrinar la regió que descriu.
Taula de signes
Busquem el zero de
5
x
−
2
,
{\displaystyle 5x-{\sqrt {2}},}
5
x
−
2
=
0
{\displaystyle 5x-{\sqrt {2}}=0}
⇒
x
=
2
5
{\displaystyle \Rightarrow x={\tfrac {\sqrt {2}}{5}}}
Zeros
2
5
{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{5}}}
2
5
{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{5}}}
5
x
−
2
{\displaystyle 5x-{\sqrt {2}}}
-
0
+
Esquema de representació
3) Donat
y
⩾
1
−
x
,
{\displaystyle y\geqslant 1-x,}
taula de signes i després l'esquema de representació per esbrinar la regió que descriu.
Taula de signes
Busquem el zero de
1
−
x
,
{\displaystyle 1-x,}
1
−
x
=
0
{\displaystyle 1-x=0}
⇒
x
=
1
{\displaystyle \Rightarrow x=1}
Zeros
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
1
−
x
{\displaystyle 1-x}
+
0
-
Esquema de representació
1) S'ha de trobar el valor d'x que compleix l'inequació
x
+
1
3
−
2
−
x
5
>
2
x
−
1
{\displaystyle {\frac {x+1}{3}}-{\frac {2-x}{5}}>2x-1}
Per simplificar denominadors, o bé multipliquem pel mcm(3,5)=15 o bé equivalentment fem denominador comú mcm(3,5) tot seguit operem, fem la propietat distributiva i agrupem termes semblants:
15
x
+
1
3
−
15
2
−
x
5
>
15
⋅
2
x
−
15
⋅
1
{\displaystyle \color {ForestGreen}15\color {black}\,{\frac {x+1}{3}}-\color {ForestGreen}15\color {black}\,{\frac {2-x}{5}}>\color {ForestGreen}15\color {black}\,\cdot 2x-\color {ForestGreen}15\color {black}\,\cdot 1}
⇒
5
(
x
+
1
)
−
3
(
2
−
x
)
>
30
x
−
15
{\displaystyle \Rightarrow \,\,\,5(x+1)-3(2-x)>30x-15}
⇒
5
x
+
5
−
6
+
3
x
>
30
x
−
15
{\displaystyle \Rightarrow \,\,\,5x+5-6+3x>30x-15}
⇒
5
x
+
3
x
−
30
x
>
−
15
−
5
+
6
{\displaystyle \Rightarrow \,\,\,5x+3x-30x>-15-5+6}
⇒
−
22
x
>
−
14
{\displaystyle \Rightarrow \,\,\,-22x>-14}
⇒
x
<
+
14
22
{\displaystyle \Rightarrow \,\,\,x<+{\tfrac {14}{22}}}
⇒
x
<
7
11
{\displaystyle \Rightarrow \,\,\,x<{\tfrac {7}{11}}}
Interval o semirecta
⇒
x
∈
(
−
∞
,
7
11
)
{\displaystyle \Rightarrow \,\,\,x\in \left(-\infty ,{\tfrac {7}{11}}\right)}
Gràfic
7
11
{\displaystyle {\tfrac {7}{11}}}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
2) S'ha de trobar el valor d'x que compleix l'inequació
x
+
1
−
2
x
−
3
2
>
3
x
+
2
3
{\displaystyle x+1-{\frac {2x-3}{2}}>{\frac {3x+2}{3}}}
mcm(2,3)=6
6
x
+
6
⋅
1
−
6
2
x
−
3
2
>
6
3
x
+
2
3
{\displaystyle \color {ForestGreen}6\color {black}\,x+\color {ForestGreen}6\color {black}\,\cdot 1-\color {ForestGreen}6\color {black}\,{\frac {2x-3}{2}}>\color {ForestGreen}6\color {black}\,{\frac {3x+2}{3}}}
⇒
6
x
+
6
−
3
(
2
x
−
3
)
>
2
(
3
x
+
2
)
{\displaystyle \Rightarrow \,\,\,6x+6-3(2x-3)>2(3x+2)}
⇒
6
x
+
6
−
6
x
+
9
>
6
x
+
4
{\displaystyle \Rightarrow \,\,\,6x+6-6x+9>6x+4}
⇒
6
x
−
6
x
−
6
x
>
4
−
6
−
9
{\displaystyle \Rightarrow \,\,\,6x-6x-6x>4-6-9}
⇒
−
6
x
>
−
11
{\displaystyle \Rightarrow \,\,\,-6x>-11}
⇒
x
<
11
6
{\displaystyle \Rightarrow \,\,\,x<{\tfrac {11}{6}}}
Interval o semirecta
⇒
x
∈
(
−
∞
,
11
6
)
{\displaystyle \Rightarrow \,\,\,x\in \left(-\infty ,{\tfrac {11}{6}}\right)}
Gràfic
11
6
{\displaystyle {\tfrac {11}{6}}}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
3) S'ha de trobar el valor d'x que compleix l'inequació
1
18
+
x
+
2
x
+
1
6
⩾
1
−
2
x
−
7
9
−
2
x
{\displaystyle {\frac {1}{18}}+x+{\frac {2x+1}{6}}\geqslant 1-{\frac {2x-7}{9}}-2x}
mcm(18,6,9)=18
18
1
18
+
18
x
+
18
2
x
+
1
6
⩾
18
⋅
1
−
18
2
x
−
7
9
−
18
⋅
2
x
{\displaystyle \color {ForestGreen}18\color {black}\,{\frac {1}{18}}+\color {ForestGreen}18\color {black}\,x+\color {ForestGreen}18\color {black}\,{\frac {2x+1}{6}}\geqslant \color {ForestGreen}18\color {black}\,\cdot 1-\color {ForestGreen}18\color {black}\,{\frac {2x-7}{9}}-\color {ForestGreen}18\color {black}\,\cdot 2x}
⇒
1
+
18
x
+
3
(
2
x
+
1
)
⩾
18
−
2
(
2
x
−
7
)
−
36
x
{\displaystyle \Rightarrow \,\,\,1+18x+3(2x+1)\geqslant 18-2(2x-7)-36x}
⇒
1
+
18
x
+
6
x
+
3
⩾
18
−
4
x
+
14
−
36
x
{\displaystyle \Rightarrow \,\,\,1+18x+6x+3\geqslant 18-4x+14-36x}
⇒
18
x
+
4
x
+
6
x
+
36
x
⩾
18
+
14
−
1
−
3
{\displaystyle \Rightarrow \,\,\,18x+4x+6x+36x\geqslant 18+14-1-3}
⇒
64
x
⩾
28
{\displaystyle \Rightarrow \,\,\,64x\geqslant 28}
⇒
x
⩾
28
64
{\displaystyle \Rightarrow \,\,\,x\geqslant {\tfrac {28}{64}}}
⇒
x
⩾
7
16
{\displaystyle \Rightarrow \,\,\,x\geqslant {\tfrac {7}{16}}}
Interval o semirecta
⇒
x
∈
[
7
16
,
+
∞
)
{\displaystyle \Rightarrow \,\,\,x\in {\Big [}{\tfrac {7}{16}},+\infty {\Big )}}
Gràfic
7
16
{\displaystyle {\tfrac {7}{16}}}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
Inequacions fraccionaries [ edit ] Aquí es presenten les inequacions no lineals procedents de polinomis.
Es poden comprendre a partir de l'ampliació didàctica dels exemples amb una sola incògnita.
1) Troba els valors de x que compleixin la inequació
0
⩾
(
1
−
x
)
x
(
x
+
2
)
(
−
2
)
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
(
3
−
x
)
{\displaystyle 0\geqslant {\frac {(1-x)x(x+2)(-2)}{(x-2)(x+1)(3-x)}}}
Resolució :
1r) Es fa la taula de signes de la fracció algebraica
f
(
x
)
=
(
1
−
x
)
x
(
x
+
2
)
(
−
2
)
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
(
3
−
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {(1-x)x(x+2)(-2)}{(x-2)(x+1)(3-x)}}}
Zeros
-2
-1
0
1
2
3
1
1
−
x
{\displaystyle 1-x}
+
+
+
+
+
+
+
0
-
-
-
-
-
0
x
{\displaystyle x}
-
-
-
-
-
0
+
+
+
+
+
+
+
-2
x
+
2
{\displaystyle x+2}
-
0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
2
{\displaystyle -2}
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
2
1
x
−
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{x-2}}}
-
-
-
-
-
-
-
-
-
∞
{\displaystyle \infty }
+
+
+
-1
1
x
+
1
{\displaystyle {\tfrac {1}{x+1}}}
-
-
-
∞
{\displaystyle \infty }
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3
1
3
−
x
{\displaystyle {\tfrac {1}{3-x}}}
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
∞
{\displaystyle \infty }
-
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
-
0
+
∞
{\displaystyle \infty }
-
0
+
0
-
∞
{\displaystyle \infty }
+
∞
{\displaystyle \infty }
-
2n) Es fa l'esquema de representació pintant
y
⩾
f
(
x
)
{\displaystyle y\geqslant f(x)}
3r) S'encercla només la part on y = 0 del que hem pintat, que està sobre l'eix x i escrivim la seva notació.
x
∈
(
−
∞
,
−
2
]
∪
(
−
1
,
0
]
∪
[
1
,
2
)
∪
(
3
,
+
∞
)
{\displaystyle x\in (-\infty ,-2]\cup (-1,0]\cup [1,2)\cup (3,+\infty )}
3) Troba els valors de x tals que
0
⩽
x
2
−
2
x
x
2
−
2
x
+
1
{\displaystyle 0\leqslant {\frac {x^{2}-2x}{x^{2}-2x+1}}}
Resolució :
Es factoritza els polinomis de grau major que 1, si es pot, en aquest cas sí:
0
⩽
x
(
x
−
2
)
(
x
−
1
)
(
x
−
1
)
{\displaystyle 0\leqslant {\frac {x(x-2)}{(x-1)(x-1)}}}
Taula
Zeros
0
1
2
0
x
{\displaystyle x}
-
0
+
+
+
+
+
2
x
−
2
{\displaystyle x-2}
-
-
-
-
-
0
+
1
1
x
−
1
{\displaystyle {\tfrac {1}{x-1}}}
-
-
-
∞
{\displaystyle \infty }
+
+
+
1
1
x
−
1
{\displaystyle {\tfrac {1}{x-1}}}
-
-
-
∞
{\displaystyle \infty }
+
+
+
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
+
0
-
∞
{\displaystyle \infty }
-
0
+
Esquema de representació,
y
⩽
f
(
x
)
{\displaystyle y\leqslant f(x)}
Valors que pot prendre la x per aquesta inequació
Per deduir els valors de x s'ha de mirar si l'eix x està pintat.
x
∈
(
−
∞
,
0
]
∪
[
2
,
+
∞
)
{\displaystyle x\in (-\infty ,0]\cup [2,+\infty )}
Observació
Si la mateixa inequació fos
0
⩾
f
(
x
)
{\displaystyle 0\geqslant f(x)}
x
∈
[
0
,
1
)
∪
(
1
,
2
]
{\displaystyle x\in [0,1)\cup (1,2]}
1) Pinta la regió canviant el zero per una y i troba els valors de x a cada cas:
a)
0
⩽
(
2
x
+
1
)
(
1
−
x
)
(
x
+
1
)
(
2
x
−
1
)
{\displaystyle 0\leqslant {\frac {(2x+1)(1-x)}{(x+1)(2x-1)}}}
b)
0
⩾
(
x
+
2
)
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
(
3
−
x
)
{\displaystyle 0\geqslant {\frac {(x+2)(x-1)}{(x+1)(3-x)}}}
c)
0
<
−
3
(
x
+
1
)
(
x
+
1
)
(
x
−
1
)
(
x
+
2
)
(
1
−
3
x
)
{\displaystyle 0<{\frac {-3(x+1)(x+1)(x-1)}{(x+2)(1-3x)}}}
d)
0
>
(
2
−
x
)
(
1
−
x
)
−
x
(
x
+
1
)
(
x
+
1
)
{\displaystyle 0>{\frac {(2-x)(1-x)}{-x(x+1)(x+1)}}}
e)
0
⩾
(
x
+
1
)
(
−
x
)
−
6
(
x
+
1
)
(
3
−
x
)
{\displaystyle 0\geqslant {\frac {(x+1)(-x)}{-6(x+1)(3-x)}}}
f)
0
>
(
2
−
x
)
(
1
−
x
)
(
1
−
x
)
(
x
+
1
)
(
x
+
2
)
{\displaystyle 0>(2-x)(1-x)(1-x)(x+1)(x+2)}
g)
0
⩽
−
1
(
x
+
1
)
(
1
−
x
)
(
2
x
−
1
)
(
2
x
−
3
)
{\displaystyle 0\leqslant {\frac {-1}{(x+1)(1-x)(2x-1)(2x-3)}}}
![{\displaystyle x\in (-\infty ,-2]\cup (-1,0]\cup [1,2)\cup (3,+\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e14d706a0ad4596ab1d6626d74b0f30e25ad96fe)
![{\displaystyle x\in (-\infty ,0]\cup [2,+\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea53058c110b038758d561f08ef6582ed7e35ef1)
![{\displaystyle x\in [0,1)\cup (1,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a4f838c0c6b16cd83a6e1fce74edfef5b19ac9e)
