Inequacions fraccionàries IV

Operacions: $\color {red}<\color {black},>,\leqslant i\geqslant$
${\begin{array}{rcl}a+b&<&c\\b&<&c-a\end{array}}$	${\begin{array}{rcl}-a+b&<&c\\b&<&c+a\end{array}}$
Si $a>0$ ${\begin{array}{rcl}a\cdot b&<&c\\b&<&{\cfrac {c}{a}}\end{array}}$	Si $a>0$ ${\begin{array}{rcl}{\cfrac {b}{a}}&<&c\\b&<&c\cdot a\end{array}}$
Si $a<0$ ${\begin{array}{rcl}a\cdot b&<&c\\b&>&{\cfrac {c}{a}}\end{array}}$	Si $a<0$ ${\begin{array}{rcl}{\cfrac {b}{a}}&<&c\\b&>&c\cdot a\end{array}}$

Secció per treballar les inequacions fraccionàries a la vegada que la representació sobre la recta real i la seva extensió a dos variables.

S'utilitzen taules de signes per fer l'esquema gràfic, només com a procediment pedagògic per avaluar ja que s'ha de preveure el funcionament i comportament dels signes. Fora d'aquesta secció i amb la seva experiència es pot simplificar tant com es vulgui o directament fer l'esquema de representació inclús amb altres tipus d'inequacions.

Per netedat de llenguatge algebraic ens referirem als punts com $(x,y)$ per tant aquestes lletres, x i y, només seran incògnites. Per referir-nos funcions en general utilitzarem $f(x),g(x),h(x)\dots \,.$

Introducció

Hi ha 4 possibles exemples d'inequacions amb diverses funcions $f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$ que s'ha de comparar amb rigor. En cas d'una inequació amb dos incògnites assegureu-vos que la incògnita y estigui ben aïllada.

1) $y<f(x)$	2) $y>f(x)$
3) $y\leqslant f(x)$	4) $y\geqslant f(x)$

Exemples

Inequacions lineals

Les inequacions lineals són del tipus $y<mx+n$ i els seus zeros o arrels són $mx+n=0$ $\Rightarrow x=-{\frac {n}{m}}.$

Aquestes inequacions divideixen el pla coordenat en dues parts anomenats semiplans.

Per més detall es pot llegir Inequacions lineals.

Amb dos incògnites

1) Donat $y<3x+2,$ es farà la taula de signes i després l'esquema de representació per esbrinar la regió que descriu.

Taula de signes Busquem el zero de $3x+2,$ és a dir $3x+2=0$ $\Rightarrow x=-{\tfrac {2}{3}}$ llavors situem aquest valor a sobre la taula per tenir-lo present. Els signes desconeguts es calculen fent assaig amb valors hipotètics: Més petit que $-{\tfrac {2}{3}}$ com el -2, i calculant surt 3(-2)+2=-4 és negatiu. Més grans que $-{\tfrac {2}{3}}$ com el 0, i calculant surt 3(0)+2=2 és positiu. Zeros $-{\tfrac {2}{3}}$ $-{\tfrac {2}{3}}$ $3x+2$ - 0 + Esquema de representació

2) Donat $y\geqslant 5x-{\sqrt {2}},$ es farà la taula de signes i després l'esquema de representació per esbrinar la regió que descriu.

Taula de signes Busquem el zero de $5x-{\sqrt {2}},$ és a dir $5x-{\sqrt {2}}=0$ $\Rightarrow x={\tfrac {\sqrt {2}}{5}}$ llavors situem aquest valor a sobre la taula per tenir-lo present. Zeros ${\tfrac {\sqrt {2}}{5}}$ ${\tfrac {\sqrt {2}}{5}}$ $5x-{\sqrt {2}}$ - 0 + Esquema de representació

3) Donat $y\geqslant 1-x,$ es farà la taula de signes i després l'esquema de representació per esbrinar la regió que descriu.

Taula de signes Busquem el zero de $1-x,$ és a dir $1-x=0$ $\Rightarrow x=1$ llavors situem aquest valor a sobre la taula per tenir-lo present. Zeros $1$ $1$ $1-x$ + 0 - Esquema de representació

Amb una incògnita

1) S'ha de trobar el valor d'x que compleix l'inequació ${\frac {x+1}{3}}-{\frac {2-x}{5}}>2x-1$

Per simplificar denominadors, o bé multipliquem pel mcm(3,5)=15 o bé equivalentment fem denominador comú mcm(3,5) tot seguit operem, fem la propietat distributiva i agrupem termes semblants: $\color {ForestGreen}15\color {black}\,{\frac {x+1}{3}}-\color {ForestGreen}15\color {black}\,{\frac {2-x}{5}}>\color {ForestGreen}15\color {black}\,\cdot 2x-\color {ForestGreen}15\color {black}\,\cdot 1$ $\Rightarrow \,\,\,5(x+1)-3(2-x)>30x-15$ $\Rightarrow \,\,\,5x+5-6+3x>30x-15$ $\Rightarrow \,\,\,5x+3x-30x>-15-5+6$ $\Rightarrow \,\,\,-22x>-14$ $\Rightarrow \,\,\,x<+{\tfrac {14}{22}}$ $\Rightarrow \,\,\,x<{\tfrac {7}{11}}$ Interval o semirecta $\Rightarrow \,\,\,x\in \left(-\infty ,{\tfrac {7}{11}}\right)$ Gràfic ${\tfrac {7}{11}}$ $-\infty$

2) S'ha de trobar el valor d'x que compleix l'inequació $x+1-{\frac {2x-3}{2}}>{\frac {3x+2}{3}}$

mcm(2,3)=6 $\color {ForestGreen}6\color {black}\,x+\color {ForestGreen}6\color {black}\,\cdot 1-\color {ForestGreen}6\color {black}\,{\frac {2x-3}{2}}>\color {ForestGreen}6\color {black}\,{\frac {3x+2}{3}}$ $\Rightarrow \,\,\,6x+6-3(2x-3)>2(3x+2)$ $\Rightarrow \,\,\,6x+6-6x+9>6x+4$ $\Rightarrow \,\,\,6x-6x-6x>4-6-9$ $\Rightarrow \,\,\,-6x>-11$ $\Rightarrow \,\,\,x<{\tfrac {11}{6}}$ Interval o semirecta $\Rightarrow \,\,\,x\in \left(-\infty ,{\tfrac {11}{6}}\right)$ Gràfic ${\tfrac {11}{6}}$ $-\infty$

3) S'ha de trobar el valor d'x que compleix l'inequació ${\frac {1}{18}}+x+{\frac {2x+1}{6}}\geqslant 1-{\frac {2x-7}{9}}-2x$

mcm(18,6,9)=18 $\color {ForestGreen}18\color {black}\,{\frac {1}{18}}+\color {ForestGreen}18\color {black}\,x+\color {ForestGreen}18\color {black}\,{\frac {2x+1}{6}}\geqslant \color {ForestGreen}18\color {black}\,\cdot 1-\color {ForestGreen}18\color {black}\,{\frac {2x-7}{9}}-\color {ForestGreen}18\color {black}\,\cdot 2x$ $\Rightarrow \,\,\,1+18x+3(2x+1)\geqslant 18-2(2x-7)-36x$ $\Rightarrow \,\,\,1+18x+6x+3\geqslant 18-4x+14-36x$ $\Rightarrow \,\,\,18x+4x+6x+36x\geqslant 18+14-1-3$ $\Rightarrow \,\,\,64x\geqslant 28$ $\Rightarrow \,\,\,x\geqslant {\tfrac {28}{64}}$ $\Rightarrow \,\,\,x\geqslant {\tfrac {7}{16}}$ Interval o semirecta $\Rightarrow \,\,\,x\in {\Big [}{\tfrac {7}{16}},+\infty {\Big )}$ Gràfic ${\tfrac {7}{16}}$ $+\infty$

Inequacions fraccionaries

Aquí es presenten les inequacions no lineals procedents de polinomis.

Amb una incògnita

1) Troba els valors de x tals que $0\geqslant {\frac {x^{2}-1}{x(x^{2}-4)}}$

Resolució

Es canvia el zero per $y$ i es factoritzen els polinomis de grau major que 1, si es pot, en aquest cas:

$y\geqslant {\frac {(x+1)(x-1)}{x(x+2)(x-2)}}$

Taula

Hem de considerar la fracció com a producte dels seus elements lineals

$f(x)={\frac {(x+1)(x-1)}{x(x+2)(x-2)}}=(x+1)\cdot (x-1)\cdot {\frac {1}{x}}\cdot {\frac {1}{x+2}}\cdot {\frac {1}{x-2}}$

Zeros			-2		-1		0		1		2
-1	$x+1$	-	-	-	0	+	+	+	+	+	+	+
1	$x-1$	-	-	-	-	-	-	-	0	+	+	+
0	${\tfrac {1}{x}}$	-	-	-	-	-	$\infty$	+	+	+	+	+
-2	${\tfrac {1}{x+2}}$	-	$\infty$	+	+	+	+	+	+	+	+	+
2	${\tfrac {1}{x-2}}$	-	-	-	-	-	-	-	-	-	$\infty$	+
	$f(x)$	-	$\infty$	+	0	-	$\infty$	+	0	-	$\infty$	+

Esquema de representació

Valors que pot prendre la x per aquesta inequació

Per deduir la x s'ha de mirar si l'eix x, el d'abscisses o l'horitzontal, i veure si està pintat.

$x\in (-\infty ,-2)\cup [-1,0)\cup [1,2)$

2) Troba els valors de x tals que $0\leqslant {\frac {x^{2}-2x}{x^{2}-2x+1}}$

Resolució

Es canvia el zero per $y$ i es factoritzen els polinomis de grau major que 1, si es pot, en aquest cas:

$y\leqslant {\frac {x(x-2)}{(x-1)(x-1)}}$

Taula

Zeros			0		1		2
0	$x$	-	0	+	+	+	+	+
2	$x-2$	-	-	-	-	-	0	+
1	${\tfrac {1}{x-1}}$	-	-	-	$\infty$	+	+	+
1	${\tfrac {1}{x-1}}$	-	-	-	$\infty$	+	+	+
	$f(x)$	+	0	-	$\infty$	-	0	+

Esquema de representació

Valors que pot prendre la x per aquesta inequació

Per deduir la x s'ha de mirar si l'eix x i veure si està pintat.

$x\in (-\infty ,0]\cup [2,+\infty )$

Si la mateixa inequació fos $0\geqslant f(x)$ llavors $x\in [0,1)\cup (1,2]$