Inequacions fraccionàries IV

Operacions: $<,>,⩽i⩾$
$\begin{array}{ccc}a+b& <& c\\ b& <& c-a\end{array}$	$\begin{array}{ccc}-a+b& <& c\\ b& <& c+a\end{array}$
Si $a>0$ $\begin{array}{ccc}a\cdot b& <& c\\ b& <& \frac{c}{a}\end{array}$	Si $a>0$ $\begin{array}{ccc}\frac{b}{a}& <& c\\ b& <& c\cdot a\end{array}$
Si $a<0$ $\begin{array}{ccc}a\cdot b& <& c\\ b& >& \frac{c}{a}\end{array}$	Si $a<0$ $\begin{array}{ccc}\frac{b}{a}& <& c\\ b& >& c\cdot a\end{array}$

Secció per treballar les inequacions fraccionàries a la vegada que la representació sobre la recta real i la seva extensió a dos variables.

S'utilitzen taules de signes per fer l'esquema gràfic, només com a procediment pedagògic per avaluar ja que s'ha de preveure el funcionament i comportament dels signes. Fora d'aquesta secció i amb la seva experiència es pot simplificar tant com es vulgui o directament fer l'esquema de representació inclús amb altres tipus d'inequacions.

Per netedat de llenguatge algebraic ens referirem als punts com $(x,y)$ per tant aquestes lletres, x i y, només seran incògnites. Per referir-nos funcions en general utilitzarem $f(x),g(x),h(x)\dots .$

Introducció

Hi ha 4 possibles exemples d'inequacions amb diverses funcions $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ que s'ha de comparar amb rigor. En cas d'una inequació amb dos incògnites assegureu-vos que la incògnita y estigui ben aïllada.

1) $y<f(x)$	2) $y>f(x)$
3) $y⩽f(x)$	4) $y⩾f(x)$

Exemples

Inequacions lineals

Les inequacions lineals són del tipus $y<mx+n$ i els seus zeros o arrels són $mx+n=0$ $\Rightarrow x=-\frac{n}{m}.$

Aquestes inequacions divideixen el pla coordenat en dues parts anomenats semiplans.

Per més detall es pot llegir Inequacions lineals.

Amb dos incògnites

1) Donat $y<3x+2,$ es farà la taula de signes i després l'esquema de representació per esbrinar la regió que descriu.

Taula de signes Busquem el zero de $3x+2,$ és a dir $3x+2=0$ $\Rightarrow x=-\frac{2}{3}$ llavors situem aquest valor a sobre la taula per tenir-lo present. Els signes desconeguts es calculen fent assaig amb valors hipotètics: Més petit que $-\frac{2}{3}$ com el -2, i calculant surt 3(-2)+2=-4 és negatiu. Més grans que $-\frac{2}{3}$ com el 0, i calculant surt 3(0)+2=2 és positiu. Zeros $-\frac{2}{3}$ $-\frac{2}{3}$ $3x+2$ - 0 + Esquema de representació

2) Donat $y⩾5x-\sqrt{2},$ es farà la taula de signes i després l'esquema de representació per esbrinar la regió que descriu.

Taula de signes Busquem el zero de $5x-\sqrt{2},$ és a dir $5x-\sqrt{2}=0$ $\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{5}$ llavors situem aquest valor a sobre la taula per tenir-lo present. Zeros $\frac{\sqrt{2}}{5}$ $\frac{\sqrt{2}}{5}$ $5x-\sqrt{2}$ - 0 + Esquema de representació

3) Donat $y⩾1-x,$ es farà la taula de signes i després l'esquema de representació per esbrinar la regió que descriu.

Taula de signes Busquem el zero de $1-x,$ és a dir $1-x=0$ $\Rightarrow x=1$ llavors situem aquest valor a sobre la taula per tenir-lo present. Zeros $1$ $1$ $1-x$ + 0 - Esquema de representació

Amb una incògnita

1) S'ha de trobar el valor d'x que compleix l'inequació $\frac{x+1}{3}-\frac{2-x}{5}>2x-1$

Per simplificar denominadors, o bé multipliquem pel mcm(3,5)=15 o bé equivalentment fem denominador comú mcm(3,5) tot seguit operem, fem la propietat distributiva i agrupem termes semblants: $15\frac{x+1}{3}-15\frac{2-x}{5}>15\cdot 2x-15\cdot 1$ $\Rightarrow 5(x+1)-3(2-x)>30x-15$ $\Rightarrow 5x+5-6+3x>30x-15$ $\Rightarrow 5x+3x-30x>-15-5+6$ $\Rightarrow -22x>-14$ $\Rightarrow x<+\frac{14}{22}$ $\Rightarrow x<\frac{7}{11}$ Interval o semirecta $\Rightarrow x\in (-\mathrm{\infty },\frac{7}{11})$ Gràfic $\frac{7}{11}$ $-\mathrm{\infty }$

2) S'ha de trobar el valor d'x que compleix l'inequació $x+1-\frac{2x-3}{2}>\frac{3x+2}{3}$

mcm(2,3)=6 $6x+6\cdot 1-6\frac{2x-3}{2}>6\frac{3x+2}{3}$ $\Rightarrow 6x+6-3(2x-3)>2(3x+2)$ $\Rightarrow 6x+6-6x+9>6x+4$ $\Rightarrow 6x-6x-6x>4-6-9$ $\Rightarrow -6x>-11$ $\Rightarrow x<\frac{11}{6}$ Interval o semirecta $\Rightarrow x\in (-\mathrm{\infty },\frac{11}{6})$ Gràfic $\frac{11}{6}$ $-\mathrm{\infty }$

3) S'ha de trobar el valor d'x que compleix l'inequació $\frac{1}{18}+x+\frac{2x+1}{6}⩾1-\frac{2x-7}{9}-2x$

mcm(18,6,9)=18 $18\frac{1}{18}+18x+18\frac{2x+1}{6}⩾18\cdot 1-18\frac{2x-7}{9}-18\cdot 2x$ $\Rightarrow 1+18x+3(2x+1)⩾18-2(2x-7)-36x$ $\Rightarrow 1+18x+6x+3⩾18-4x+14-36x$ $\Rightarrow 18x+4x+6x+36x⩾18+14-1-3$ $\Rightarrow 64x⩾28$ $\Rightarrow x⩾\frac{28}{64}$ $\Rightarrow x⩾\frac{7}{16}$ Interval o semirecta $\Rightarrow x\in [\frac{7}{16},+\mathrm{\infty })$ Gràfic $\frac{7}{16}$ $+\mathrm{\infty }$

Inequacions fraccionaries

Aquí es presenten les inequacions no lineals procedents de polinomis.

Amb dos incògnites

Es poden comprendre a partir de l'ampliació didàctica dels exemples amb una sola incògnita.

Amb una incògnita

1) Troba els valors de x que compleixin la inequació $0⩾\frac{(1-x)x(x+2)(-2)}{(x-2)(x+1)(3-x)}$

Resolució: 1r) Es fa la taula de signes de la fracció algebraica $f(x)=\frac{(1-x)x(x+2)(-2)}{(x-2)(x+1)(3-x)}$ Zeros -2 -1 0 1 2 3 1 $1-x$ + + + + + + + 0 - - - - - 0 $x$ - - - - - 0 + + + + + + + -2 $x+2$ - 0 + + + + + + + + + + + $-2$ - - - - - - - - - - - - - 2 $\frac{1}{x-2}$ - - - - - - - - - $\mathrm{\infty }$ + + + -1 $\frac{1}{x+1}$ - - - $\mathrm{\infty }$ + + + + + + + + + 3 $\frac{1}{3-x}$ + + + + + + + + + + + $\mathrm{\infty }$ - $f(x)$ - 0 + $\mathrm{\infty }$ - 0 + 0 - $\mathrm{\infty }$ + $\mathrm{\infty }$ - 2n) Es fa l'esquema de representació pintant $y⩾f(x)$, pas didàctic. 3r) S'encercla només la part on y = 0 del que hem pintat, que està sobre l'eix x i escrivim la seva notació. $x\in (-\mathrm{\infty },-2]\cup (-1,0]\cup [1,2)\cup (3,+\mathrm{\infty })$

2) Troba els valors de x que satisfan $0⩾\frac{x^2-1}{x(x^2-4)}$

Resolució: Taula Recordeu que hem de considerar la fracció com a producte dels seus elements lineals $f(x)=\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+2)(x-2)}=(x+1)\cdot (x-1)\cdot \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x+2}\cdot \frac{1}{x-2}$ Zeros -2 -1 0 1 2 -1 $x+1$ - - - 0 + + + + + + + 1 $x-1$ - - - - - - - 0 + + + 0 $\frac{1}{x}$ - - - - - $\mathrm{\infty }$ + + + + + -2 $\frac{1}{x+2}$ - $\mathrm{\infty }$ + + + + + + + + + 2 $\frac{1}{x-2}$ - - - - - - - - - $\mathrm{\infty }$ + $f(x)$ - $\mathrm{\infty }$ + 0 - $\mathrm{\infty }$ + 0 - $\mathrm{\infty }$ + Esquema de representació, pintant $y⩾f(x)$ Valors que pot prendre la x per aquesta inequació, y=0 Per deduir la x s'ha de mirar si l'eix x i veure si està pintat. $x\in (-\mathrm{\infty },-2)\cup [-1,0)\cup [1,2)$

3) Troba els valors de x tals que $0⩽\frac{x^2-2x}{x^2-2x+1}$

Resolució: Es factoritza els polinomis de grau major que 1, si es pot, en aquest cas sí: $0⩽\frac{x(x-2)}{(x-1)(x-1)}$ Taula Zeros 0 1 2 0 $x$ - 0 + + + + + 2 $x-2$ - - - - - 0 + 1 $\frac{1}{x-1}$ - - - $\mathrm{\infty }$ + + + 1 $\frac{1}{x-1}$ - - - $\mathrm{\infty }$ + + + $f(x)$ + 0 - $\mathrm{\infty }$ - 0 + Esquema de representació, $y⩽f(x)$ Valors que pot prendre la x per aquesta inequació Per deduir els valors de x s'ha de mirar si l'eix x està pintat. $x\in (-\mathrm{\infty },0]\cup [2,+\mathrm{\infty })$ Observació Si la mateixa inequació fos $0⩾f(x)$ llavors $x\in [0,1)\cup (1,2]$

Exercicis

1) Pinta la regió canviant el zero per una y i troba els valors de x a cada cas:

a) $0⩽\frac{(2x+1)(1-x)}{(x+1)(2x-1)}$

b) $0⩾\frac{(x+2)(x-1)}{(x+1)(3-x)}$

c) $0<\frac{-3(x+1)(x+1)(x-1)}{(x+2)(1-3x)}$

d) $0>\frac{(2-x)(1-x)}{-x(x+1)(x+1)}$

e) $0⩾\frac{(x+1)(-x)}{-6(x+1)(3-x)}$

f) $0>(2-x)(1-x)(1-x)(x+1)(x+2)$

g) $0⩽\frac{-1}{(x+1)(1-x)(2x-1)(2x-3)}$