Integració adaptació Ll1

Lliçó amb temari per integrals indefinides i definides.

Integrals indefinides

Havíem vist les derivades com la funció pendent d'una funció f, és a dir, que podíem calcular-la com un límit

$\lim _{s\rightarrow x}{\frac {f(s)-f(x)}{s-x}}$ $={\frac {a}{b}}$ $=f'(x)$

També es pot escriure substituint s per x+h:

$\lim _{x+h\rightarrow x}{\frac {f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}$ $=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ $=f'(x)$

Podem canviar el límit per la notació ${\frac {df}{dx}}$ molt més utilitzada:

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ $={\frac {d(f(x))}{dx}}$ $={\frac {d}{dx}}f(x)$ $=f'(x)$

Integrar és fer el contrari, és a dir, exclusivament de les pendents volem trobar la funció. Com sabeu, a partir del pendent no podem construir la recta tangent, perquè necessitem la altura del punt de tangencia que manca, de fet si trobem aquest valor en un punt concret llavors sabrem trobar la funció. Vegem l'exemple d'una funció en verd i la seva integral en blau deduïda a partir del valor de la funció i vegem també que podem començar la integral desde qualsevol altura, aquesta raó prova que situar els eixos de coordenades és arbitrari.

Exemples de integració de derivades que mostra que no podem recuperar tota la funció:

Funció $f(x)$	Derivada $f'(x)$	Integral de $f'(x)$
0	0	c
1	0
a	0
$x$	$f'(x)=g(x)=1+0$	$x+c$
$\ln(x)$	${\frac {1}{x}}+0\;\;\;\;$ amb $x>0$	$\ln(x)+c\;\;\;\;$ amb $x>0$
$\sin(x)$	$\cos(x)+0$	$sin(x)+c$

Definició

Escriurem la integral indefinida de f(x) com:

$\int f(x)dx$ $=F(x)+c$

La seva lectura és: integral $\left(\int \right)$ de f(x) respecte x (dx), és (=) una funció F(x) més una constant (+c) indeterminada o indefinida.

Taula d'integrals

Per confirmar que una integral està ben feta només hem de derivar-lo

1)$\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c$ Demostració: Només cal derivar la seva integral i veure si dona la funció sense integrar $x^{n}$. Per linealitat tenim que: $\left({\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c\right)'$ $={\frac {1}{n+1}}\left(x^{n+1}\right)'+(c)'.$ Derivant sabent que $(x^{n})'=nx^{n-1}$ tenim que la nostra expressió a simplificar és: $={\frac {1}{n+1}}\left((n+1)x^{(n+1)-1}\right)+(0)$ $=x^{n}.$ El domini de x és tots els nombres reals, $\mathbb {R} .$ $\Box$

1.1)$\int 1\;dx=x+c$

1.2)$\int x\;dx={\frac {x^{2}}{2}}+c$

1.3)$\int x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}+c$

2)$\int {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}dx={\sqrt {x}}+c$ Demostració: Derivant la seva integral: $\left({\sqrt {x}}+c\right)'$ $=\left({\sqrt {x}}\right)'+(c)'$ $={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.$ El domini de x és tots els nombres reals positius incloent el zero, $\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}.$ $\Box$

3)$\int {\frac {1}{x}}dx=\ln |x|+c$ Demostració: Derivant la seva integral segons el signe de x, si $x>0$ tenim que $|x|=x$: $\left(\ln(x)+c\right)'$ $=\left(\ln(x)\right)'+(c)'$ $={\frac {1}{x}}.$ Si $x<0$ tenim que $|x|=-x$: $\left(\ln(-x)+c\right)'$ $=\left(\ln(-x)\right)'+(c)'.$ Derivant amb la regla de la cadena tenim: $=\left(\ln(-x)\right)'$ $={\frac {1}{-x}}\cdot (-1)$ $={\frac {1}{x}}.$ Així obtenim la mateixa funció tan pels positius com pels negatius. El domini de x és tots els nombres reals excloent el zero, $\mathbb {R} -\{0\}.$ $\Box$

4)$\int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+c$ Demostració: Derivant la seva integral: $\left({\frac {a^{x}}{\ln a}}+c\right)'$ $={\frac {1}{\ln a}}\left(a^{x}\right)'+(c)'$ $={\frac {1}{\ln a}}\left(\ln a\cdot a^{x}\right)+0$ $=a^{x}.$ El domini de x és tots els nombres reals, $\mathbb {R} .$ $\Box$

4.1)$\int e^{x}dx=e^{x}+c$

5)$\int \sin x\;dx=-\cos x+c$

6)$\int \cos x\;dx=\sin x+c$

7)$\int \tan x\;dx=-\ln |\cos x|+c$

8)$\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx=\arcsin {x}+c$

9)$\int {\frac {1}{1+x^{2}}}dx=\arctan {x}+c$

Una de les propietats més usades per integrar és la linealitat de la integral que permet integrar polinomis de forma inmediata fragmentant totes les sumes i restes d'una integral en sumes i restes de integrals.

Linealitat de la integral

$\int {\Big (}\;f(x)+g(x)\;{\Big )}dx$ $=\int f(x)\;dx+\int g(x)\;dx$

$\int {\Big (}\;a\cdot f(x)\;{\Big )}dx$ $=a\cdot \int f(x)\;dx$

Exemples

1) $\int \;\sin(x)-3x^{5}+e^{x}\;dx$

Primer apliquem la separació en sumes i restes, marcant amb uns parèntesis aquest fet, tot seguit traiem fora de la integral només les constants que multipliquen o divideixen, no s'ha de tocar cap altra constant: $\int {\Big (}\;\sin(x)-3x^{5}+e^{x}\;{\Big )}dx$ $=\int {\Big (}\;\sin(x)\;{\Big )}dx+\int {\Big (}\;-3\cdot x^{5}\;{\Big )}dx+\int {\Big (}\;e^{x}\;{\Big )}dx$ $=\int {\Big (}\;\sin(x)\;{\Big )}dx-3\cdot \int {\Big (}\;x^{5}\;{\Big )}dx+\int {\Big (}\;e^{x}\;{\Big )}dx$ $=-cos(x)-3\cdot {\frac {x^{6}}{6}}+e^{x}+c$ $=-cos(x)-{\frac {x^{6}}{2}}+e^{x}+c$

$\Box$

2) $\int \;{\frac {2}{3x}}-{\frac {1}{{\frac {3}{5}}{\sqrt {x}}}}\;dx$

Primer de tot separem les constants de les funcions integrables, també podem crear constants necessàries com $1={\frac {2}{2}}$: $\int \;{\frac {2}{3x}}-{\frac {1}{{\frac {3}{5}}{\sqrt {x}}}}\;dx$ $=\int \;{\frac {2}{3}}{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{{\frac {3\cdot 2}{5\cdot 2}}{\sqrt {x}}}}\;dx$ $=\int \;{\frac {2}{3}}{\frac {1}{x}}-{\frac {5\cdot 2}{3}}{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\;dx$ Ara ja podem aplicar la linealitat: $\int \;{\frac {2}{3}}{\frac {1}{x}}-{\frac {5\cdot 2}{3}}{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\;dx$ $={\frac {2}{3}}\int \;{\frac {1}{x}}\;dx-{\frac {5\cdot 2}{3}}\int \;{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\;dx$ Finalment utilitzant la taula de integrals trobem que tenim fetes aquestes integrals i només queda arreglar-lo una mica: ${\frac {2}{3}}\int \;{\frac {1}{x}}\;dx-{\frac {5\cdot 2}{3}}\int \;{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\;dx$ $={\frac {2}{3}}\ln |x|-{\frac {5\cdot 2}{3}}{\sqrt {x}}$ $={\frac {2\ln |x|}{3}}-{\frac {10{\sqrt {x}}}{3}}.$

$\Box$

Desfent la regla de la cadena

De la regla de la cadena obtenim el resultat següent:

${\Big (}\;f{\big (}g(x){\big )}\;{\Big )}'$ $=f'{\big (}g(x){\big )}\cdot g'(x)$

$\Rightarrow$

$\int f'{\big (}g(x){\big )}\cdot g'(x)\;dx$ $=f{\big (}g(x){\big )}+c$

Per integrar hem de desfer aquest pas identificant $g'(x)$ i la $g(x)$ d'on ha sortit, per exemple:

Volem $\int f'{\big (}g(x))\cdot g'(x)\;dx$	Identificació de g, g', f' i f	Resultat
$\int (e^{x}-1)^{2}\cdot e^{x}\;dx$	$g(x)=e^{x}-1$ $\Rightarrow g'(x)=e^{x}$ i $f'(x)=(x)^{2}$ $\Rightarrow f(x)={\frac {x^{3}}{3}}$	$f(g(x))$ $={\frac {(e^{x}-1)^{3}}{3}}+c$
$\int (2x^{3}+5)^{4}\cdot 6x^{2}\;dx$	$g(x)=2x^{3}+5$ $\Rightarrow g'(x)=6x^{2}$ i $f'(x)=(x)^{4}$ $\Rightarrow f(x)={\frac {x^{5}}{5}}$	$f(g(x))$ $={\frac {(2x^{3}+5)^{5}}{5}}+c$
$\int {\frac {3}{2{\sqrt {3x+1}}}}\;dx$	$g(x)=3x+1$ $\Rightarrow g'(x)=3$ i $f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ $\Rightarrow f(x)={\sqrt {x}}$	$f(g(x))$ $={\sqrt {3x+1}}+c$
$\int {\frac {2x}{x^{2}+4}}\;dx$	$g(x)=x^{2}+4$ $\Rightarrow g'(x)=2x$ i $f'(x)={\frac {1}{x}}$ $\Rightarrow f(x)=\ln |x|$	$f(g(x))$ $=\ln(x^{2}+4)+c$
$\int e^{5x+1}\cdot 5\;dx$	$g(x)=5x+1$ $\Rightarrow g'(x)=5$ i $f'(x)=e^{(x)}$ $\Rightarrow f(x)=e^{x}$	$f(g(x))$ $=e^{(5x+1)}+c$
$\int \sin(3x^{2}+1)\cdot 6x\;dx$	$g(x)=3x^{2}+1$ $\Rightarrow g'(x)=6x$ i $f'(x)=\sin(x)$ $\Rightarrow f(x)=-\cos(x)$	$f(g(x))$ $=-\cos(3x^{2}+1)+c$
$\int \cos(x^{4})\cdot 4x^{3}\;dx$	$g(x)=x^{4}$ $\Rightarrow g'(x)=4x^{3}$ i $f'(x)=\cos(x)$ $\Rightarrow f(x)=\sin(x)$	$f(g(x))$ $=\sin(x^{4})+c$
$\int {\frac {2x+1}{\cos ^{2}(x^{2}+x)}}\;dx$	$g(x)=x^{2}+x$ $\Rightarrow g'(x)=2x+1$ i $f'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}$ $\Rightarrow f(x)=\tan(x)$	$f(g(x))$ $=\tan(x^{2}+x)+c$

Exemples

1) $\int \cos(x^{2}+1)\;x\;dx$
Pas 1: S'identifica el candidat a $g(x)$ dins la funció $f'(x)$ i per confirmar aquest candidat hem de trobar la seva derivada fora de $f'(x).$ Si $g(x)=x^{2}+1,$ llavors vol dir que $g'(x)=2x,$ però fora hi ha una sola x i li manca un 2, per tant es fabrica un dos multiplicant per 1, sabent que $1={\tfrac {2}{2}}={\tfrac {1}{2}}\cdot 2$ per tant puc dir que: $\int \cos(x^{2}+1)\;x\;dx$ $=\int \cos(x^{2}+1)\;1\cdot x\;dx$ $=\int \cos(x^{2}+1)\;{\tfrac {1}{2}}2\;x\;dx$ Només cal apartar fora de la integral aquest un mig que sobra i ja podem integrar: ${\tfrac {1}{2}}\int \cos(x^{2}+1)\cdot 2\;x\;dx$ Pas 2: S'integra la suposada funció $f'(x).$ $f(x)$ $=\int f'(x)\;dx$ $=\int \cos(x)\;dx$ $=\sin(x)$ Finalment substituint com indica el requadre vermell les funcions obtenim la integral: ${\tfrac {1}{2}}\cdot \int \cos(x^{2}+1)\cdot 2\;x\;dx$ $={\tfrac {1}{2}}\cdot f{\big (}g(x){\big )}+c$ $={\tfrac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+c$ En resum tinc que $\int \cos(x^{2}+1)\;x\;dx$ $={\tfrac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+c.$
	$\Box$
Si no queda clar, consulteu aquest tutorial

2) $\int \;e^{15x}\;dx$
Pas 1: Busquem el candidat a $g(x)$ i la seva derivada: Si $g(x)=15x$ la seva derivada és $g'(x)=15$ però com que només es un nombre que no tenim llavors el podem fabricar amb $1={\frac {15}{15}}$ quedant: $\int \;e^{15x}\;dx$ $=\int \;e^{15x}\cdot 1\;dx$ $=\int \;e^{15x}\cdot {\frac {15}{15}}\;dx$ $={\frac {1}{15}}\int \;\underbrace {\;e^{\;\;\overbrace {15x} ^{g(x)}\;\;}\;} _{f'(x)}\cdot \underbrace {\;15\;} _{g'(x)}\;dx$ Pas 2: Fem la taula: $f'(x)=e^{x}$ $f(x)=e^{x}$ $g(x)=15x$ $g'(x)=15$ Substituint tenim que: ${\frac {1}{15}}\int \;e^{15x}15\;dx$ $={\frac {1}{15}}\;f(g(x))+c$ $={\frac {1}{15}}\;e^{15x}+c$
	$\Box$

3) $\int \;{\frac {1}{2{\sqrt {-7x}}}}\;dx$
Pas 1: Busquem el candidat a $g(x)$ i la seva derivada: Si $g(x)=-7x$ la seva derivada és $g'(x)=-7$ però com que només es un nombre que no tenim llavors el podem fabricar amb $1={\frac {-7}{-7}}$ quedant: $\int \;{\frac {1}{2{\sqrt {-7x}}}}\;dx$ $=\int \;{\frac {1}{2{\sqrt {-7x}}}}\cdot 1\;dx$ $=\int \;{\frac {1}{2{\sqrt {-7x}}}}\cdot {\frac {-7}{-7}}\;dx$ $={\frac {1}{-7}}\int \;{\frac {1}{2{\sqrt {-7x}}}}\cdot -7\;dx$ $={\frac {1}{-7}}\int \;\overbrace {\frac {1}{2{\sqrt {}}{\overline {\underbrace {-7x} _{g(x)}}}}} ^{f'(x)}\cdot \underbrace {-7} _{g'(x)}\;dx$ Pas 2: Fem la taula: $f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ $f(x)={\sqrt {x}}$ $g(x)=-7x$ $g'(x)=-7$ Substituint tenim que: ${\frac {1}{-7}}\int \;{\frac {1}{2{\sqrt {-7x}}}}\cdot -7\;dx$ $={\frac {1}{-7}}\;f(g(x))+c$ $={\frac {1}{-7}}\;{\sqrt {-7x}}+c$
	$\Box$

Integració per parts

El mètode d'integració per parts permet canviar una integral per un altra més senzilla, un cop entès el mètode com es fa rutinàriament, només cal observar els exemples per aprendre a fer-lo servir.

$\int f(x)\;g'(x)\;dx$ $=f(x)\;g(x)-\int f'(x)\;g(x)\;dx$

Exemples

1) Es vol calcular $\int a\;x\;\sin \;x\;dx$ amb el valor $a=30.$
La integral que s'ha de fer és $\int 30\;x\;\sin \;x\;dx$ s'aparta la xifra que multiplica fora de la integral $30\int x\;\sin \;x\;dx$ i seguim els pasos següents: Pas 1.1: S'ha de decidir qui serà la funció $f(x)$ i $g'(x).$ Sigui $f(x)=x$ i $g'(x)=\sin x,$ llavors: Pas 1.2: Es deriva un i s'integra l'altra: $f'(x)=(x)'=1$ $g(x)=\int g'(x)\;dx=\int \sin x\;dx$ $=-\cos x$ Pas 2: Substitució a la fórmula: $30\int x\;\sin \;x\;dx$ $=30(-x\;\cos x-\int -\cos x\;dx)$ $=30(-x\;\cos x+\int \cos x\;dx)$ $=-30\;x\;\cos x+30\;\sin x+c$
	$\Box$

2) $\int \;x^{3}\;\sin \;x\;dx.$
Pas 1: S'ha de decidir qui serà la funció $f(x)$ i $g'(x).$ $f(x)=x^{3}$ $f'(x)=3x^{2}$ $g'(x)=\sin x$ $g(x)=-\cos x$ Pas 2:es substitueix a la fórmula:
	$\Box$

Canvi de variable

Aquest mètode permet fer una substitució de variables que pretenen simplificar les integrals.

Suposem que volem fer $\int f(x)\;dx,$ i no sabem integrar-la directament, però ens adonem que podem substituir funcions que dificulten la integració per una nova funció, quedant:

$\int f(x)\;dx$ $=\int f(g(t))g'(t)dt$

$\int f(h(x))\;dx$ $=\int f(t)\cdot g'(t)\;dt$

S'ha de tenir clar el requadre de derivades següent. Hem de derivar si la variable està totalment aïllada, ja sigui x o bé t.

$x=g(t)$	$h(x)=t$
$dx=g'(t)dt$	$h'(x)dx=dt$

La funció $h'(x)$ no s'utilitza en general.

Exemples

Càlcul d'integrals amb canvi de variable:

1) $\int x{\sqrt {x-1}}\;dx.$
Pas 1: S'ha de intuir el canvi de variable més adequat: Com que no podem fer $\int {\sqrt {x-1}}\;dx,$ però si que podríem fer $\int {\sqrt {x}}\;dx,$ llavors hem de deduir que el canvi més adequat és $t=x-1$ quedant l'esquema o requadre següent per fer substitucions: $t=x-1$ $t+1=x$ $dt=dx$ $dt=dx$ Pas 2: Substituïm la variable quedant la integral: $\int (t+1)\;{\sqrt {t}}\;dt$ $=\int (t+1)\;t^{\frac {1}{2}}\;dt$ $=\int t^{3/2}+t^{1/2}\;dt$ $={\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}+{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}+c.$ Pas 3: S'ha de desfer el canvi de variable: ${\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}+{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}+c$ $={\frac {2}{5}}(x-1)^{\frac {5}{2}}+{\frac {2}{3}}(x-1)^{\frac {3}{2}}+c.$
	$\Box$

2) $\int (x+1)^{8}x\;dx.$
Pas 1: S'ha de intuir el canvi de variable més adequat: Com que no volem desenvolupar $(x+1)^{8}$ però si que podríem fer $\int x^{8}\;dx,$ llavors hem de deduir que el canvi més adequat és $t=x+1$ quedant l'esquema o requadre següent per fer substitucions: $t=x+1$ $t-1=x$ $dt=dx$ $dt=dx$ Pas 2: Substituïm la variable quedant la integral: $\int (t)^{8}\;(t-1)\;dt$ $=\int t^{9}-t^{8}\;dt$ $={\frac {t^{10}}{10}}-{\frac {t^{9}}{9}}+c.$ Pas 3: S'ha de desfer el canvi de variable: ${\frac {t^{10}}{10}}-{\frac {t^{9}}{9}}+c$ $={\frac {(x+1)^{10}}{10}}-{\frac {(x+1)^{9}}{9}}+c.$
	$\Box$

3) $\int {\frac {1-e^{x}}{e^{2x}}}\;dx.$
Pas 1: Per practicar canvi de variable com que es repeteix $e^{x}$ possiblement puc simplificar-lo amb una t quedant l'esquema o requadre següent per fer substitucions: $t=e^{x}$ $\ln t=x$ $dt=e^{x}dx$ ${\frac {1}{t}}dt=dx$ Pas 2: Substituïm la variable quedant la integral: $\int {\frac {1-e^{x}}{e^{2x}}}\;dx$ $=\int {\frac {1-e^{x}}{(e^{x})^{2}}}\;dx$ $=\int {\frac {1-t}{(t)^{2}}}\;{\frac {1}{t}}dt$ $=\int {\frac {1-t}{t^{3}}}dt$ $=\int {\frac {1}{t^{3}}}-{\frac {1}{t^{2}}}\;dt$ $=-{\frac {1}{2t^{2}}}+{\frac {1}{t}}+c.$ Pas 3: S'ha de desfer el canvi de variable: $-{\frac {1}{2t^{2}}}+{\frac {1}{t}}+c$ $=-{\frac {1}{2e^{2x}}}+{\frac {1}{e^{x}}}+c$
	$\Box$

Integrals definides

Regla de Barrow

Càlcul d'àrea dins un interval [a, b] i delimitat per una funció i l'eix de les abscisses.

$\int _{x=a}^{x=b}f(x)\;dx$ $=\int _{a}^{b}f(x)\;dx$ $={\bigg [}F(x){\bigg ]}_{a}^{b}$ $=F(b)-F(a)$

Exemples

1) $\int _{1}^{2}x^{3}-2x^{2}+x+2\;dx$
Seguim els passos de la regla de Barrow: $\int _{1}^{2}x^{3}-2x^{2}+x+2\;dx$ $={\bigg [}{\frac {x^{4}}{4}}-{\frac {2x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}+2x{\bigg ]}_{1}^{2}$ $={\frac {(2)^{4}}{4}}-{\frac {2(2)^{3}}{3}}+{\frac {(2)^{2}}{2}}+2(2)-{\Bigg (}{\frac {(1)^{4}}{4}}-{\frac {2(1)^{3}}{3}}+{\frac {(1)^{2}}{2}}+2(1){\Bigg )}$ $=4-{\frac {16}{3}}+2+4-{\Bigg (}{\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}+2{\Bigg )}$ $={\frac {31}{12}}$
	$\Box$

Àrees entre dues funcions

Es tracta de fer resta d'àrees en una sola integral

$\int _{a}^{b}\;f(x)\;dx-\int _{a}^{b}\;g(x)\;dx=$

$\int _{a}^{b}\;f(x)-g(x)\;dx$

Exemples

1) Calculeu l'àrea delimitada per les funcions donades en cada apartat:

a) $f(x)=x^{2},$ $g(x)={\frac {1}{2}}$ i $h(x)={\frac {1}{x}}$
Per fer l'esquema gràfic hem de veure com es tallen les gràfiques entre elles: I) $f(x)=g(x)$ $\rightarrow x^{2}={\frac {1}{2}}$ $\rightarrow x=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}.$ Llavors aquests dos punts, $\left(-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},\;{\tfrac {1}{2}}\right)$ i $\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}},\;{\tfrac {1}{2}}\right)$, determinen una regió A, pintat en verd a la imatge. II) $g(x)=h(x)$ $\rightarrow {\frac {1}{2}}={\frac {1}{x}}$ $\rightarrow x=2.$ Llavors ja tenim un nou punt que és $\left(2,\;{\tfrac {1}{2}}\right)$, però encara no ha tancat cap regió encara. III) $f(x)=h(x)$ $\rightarrow x^{2}={\frac {1}{x}}$ $\rightarrow x^{3}=1$ $\rightarrow x={\sqrt[{3}]{1}}=1.$ Aquest punt (1, 1) permet fer la regió B i C de la imatge. Un cop trobades les regions i separades pels punts ja podem fer les tres integrals corresponents a cada regió: $A=\int _{-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}^{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\;{\tfrac {1}{2}}-x^{2}\;dx$ $={\Big [}{\tfrac {x}{2}}-{\tfrac {x^{3}}{3}}{\Big ]}_{-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}^{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ $=\left({\frac {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{2}}-{\frac {\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{3}}{3}}\right)-\left({\frac {-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}{2}}-{\frac {\left(-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{3}}{3}}\right)$ $={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}-{\frac {1}{6{\sqrt {2}}}}+{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}-{\frac {1}{6{\sqrt {2}}}}$ $={\frac {1}{\sqrt {2}}}-{\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}$ $={\frac {2}{3{\sqrt {2}}}}$ $={\frac {\sqrt {2}}{3}}\;\;u^{2}.$ $B=\int _{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}^{1}\;x^{2}-{\tfrac {1}{2}}\;dx$ $={\Big [}{\tfrac {x^{3}}{3}}-{\tfrac {x}{2}}{\Big ]}_{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}^{1}$ $=\left({\tfrac {1^{3}}{3}}-{\tfrac {1}{2}}\right)-\left({\frac {\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{3}}{3}}-{\frac {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{2}}\right)$ $=\left({\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{2}}\right)-\left({\frac {1}{3\cdot 2{\sqrt {2}}}}-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)$ $=-{\tfrac {1}{6}}-{\frac {1}{6{\sqrt {2}}}}+{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}$ $=-{\tfrac {1}{6}}+{\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}$ $=-{\tfrac {1}{6}}+{\frac {\sqrt {2}}{6}}$ $={\frac {{\sqrt {2}}-1}{6}}\;\;u^{2}.$ $C=\int _{1}^{2}\;{\tfrac {1}{x}}-{\tfrac {1}{2}}\;dx$ $={\Big [}\ln |x|-{\tfrac {x}{2}}{\Big ]}_{1}^{2}$ $=\left(\ln |2|-{\tfrac {2}{2}}\right)-\left(\ln |1|-{\tfrac {1}{2}}\right)$ $=\ln 2-1+{\tfrac {1}{2}}$ $=\ln 2-{\tfrac {1}{2}}\;\;u^{2}$ Per tant l'àrea total és $A+B+C$ $={\frac {\sqrt {2}}{3}}+{\frac {{\sqrt {2}}-1}{6}}+\ln 2-{\tfrac {1}{2}}$ $={\frac {3{\sqrt {2}}-4}{6}}+\ln 2\;\;u^{2}$
	$\Box$

Treballs

En aquesta secció es pengen els treballs que es proposin:

• Treball diversificat d'integrals indefinides i definides