Intervals IV

From Wikiversity
Jump to navigation Jump to search
Símbol de tots els nombres reals

Els intervals són molt útils per agrupar en conjunts i analitzar els nombres en la recta real.

Real Number Line.PNG

Per estudiar els intervals es fa una introducció curta i acurada de les semirectes, uns elements usats per determinar més tard els intervals i altres productes amb més rigor.

Lògica d'intervals[edit]

En aquesta secció veurem com es treballen les condicions matemàtiques sobre la recta real. Concretament identificarem formes d'ajuntar condicions, escriure-les, descriure-les i representar-les matemàticament.

Les suposicions[edit]

En matemàtiques fem suposicions o hipòtesis quan volem donar per fet coses molt diverses, en aquest cas es tracta de donar per fet petites condicions que posteriorment es poden agrupar contínuament.

A continuació fem la presentació de les quatre condicions més habituals en aquesta secció mitjançant els quatre exemples següents:

Exemple 1[edit]

Suposició matemàtica: suposem la condició i volem analitzar on pot ser-hi aquesta

Significat de  : parla dels valors de que pot ser un valor més gran que 10.

Representació descriptiva sobre la recta real:

10
SemiRectaA.svg
Descripció verbal: Aquesta representació assenyala en la recta real els valors més grans que deu, i indica amb una rodona buida que no es vol assenyalar el deu, ja que el deu no pot ser més gran que deu, i per tant, el deu no està dintre dels possibles valors de

Notació o escriptura matemàtica simple:

Descripció verbal: Conjunt de tots els nombres possibles entre deu i infinit positiu, amb el deu exclòs amb el parèntesi (. El seu nom és semirecta oberta.

Exemple 2[edit]

Suposició matemàtica:

Significat: el valor de pot ser un valor més petit o igual que -3.

Representació descriptiva sobre la recta real:

-3
SemiRectaBC.svg
Descripció verbal: Aquesta representació assenyala els valors més petits que -3, i indica amb una rodona plena que es vol assenyalar el -3.

Notació o escriptura matemàtica simple:

Descripció verbal: Conjunt de tots els nombres possibles entre infinit negatiu i menys tres, amb aquest últim inclòs amb la clau ]. El seu nom és semirecta tancada.

Exemple 3[edit]

Suposició matemàtica:

Significat: el valor de pot ser un valor més gran o igual que -1.

Representació descriptiva sobre la recta real:

-1
SemiRectaAC.svg
Descripció verbal: Aquesta representació assenyala els valors més grans que -1, i indica amb una rodona plena que es vol assenyalar el -1.

Notació o escriptura matemàtica simple:

Descripció verbal: Conjunt de tots els nombres possibles entre menys un i infinit positiu, amb el menys un inclòs amb el parèntesi [. El seu nom és semirecta tancada.

Exemple 4[edit]

Suposició matemàtica:

Significat: el valor de pot ser un valor més petit que 7.

Representació descriptiva sobre la recta real:

7
SemiRectaB.svg
Descripció verbal: Aquesta representació assenyala els valors més petits que 7, i indica amb una rodona buida que no es vol assenyalar el 7.

Notació o escriptura matemàtica simple:

Descripció verbal: Conjunt de tots els nombres possibles entre infinit negatiu i set, amb aquest últim exclòs amb la clau ). El seu nom és semirecta oberta.
Exemples:[edit]

Representeu i escriviu la seva notació:

1)

2)

3)

Operacions[edit]

Les suposicions bàsiques es poden combinar de dos formes principalment buscant coincidències o unint possibilitats. Ens interessa analitzar les conseqüències d'aquestes dues combinacions, per això utilitzarem operacions amb notació matemàtica.

Mentre llegiu alguns exemples fixeu-vos en el que succeeix:

  • Feu atenció, es pinta la part interior del nostre "recipient" de nombres, es com un contenidor on les vores s'han d'especificar bé si estan dintre o fora del nostre recipient.
Fora
Dins
Fora
SemiRectaVc.svgSemiRectaFut2.svgSemiRectaVc.svg
  • Feu atenció també que en els nostres "recipients" de nombres no tenen que estar enganxats físicament.
SemiRectaVc.svgSemiRectaFut2.svgSemiRectaVc.svgSemiRectaFut2.svgSemiRectaVc.svgSemiRectaFut2.svg

Intersecció[edit]

IntersecciónAB.svg

Per fer una intersecció només s'ha de indicar que els nombres compleixin dues suposicions a la vegada. Veiem les possibles combinacions que es poden fer:

Exemple 1[edit]

Suposem que i també afegim que llavors, representarem sobre la recta només els valors que compleixen les dues suposicions simultàniament es a dir:

1
3
SemiRectaA.svgSemiRectaB.svg
Suposicions: i
Operacions deductives:

Ara només cal escriure la notació matemàtica:

Vol dir que assenyalem el conjunt de tots els valors entre l'1 i el 3, sense incloure aquests dos nombres.

El seu nom és interval obert.

Exemple 2[edit]

Suposem que i que :

-2
1
SemiRectaA.svgSemiRectaBC.svg
Operació amagada:

El resultat és:

El seu nom és interval obert per l'esquerra i tancat per la dreta.

Exemple 3[edit]
IntersecciónABincluida.svg

Suposem que i que llavors, representarem sobre la recta només els valors que compleixen les dues suposicions simultàniament es a dir:

-5
0
SemiRectaB.svgSemiRectaVc.svg

En aquest cas el que succeeix és que una intersecció d'un interval dintre d'un altre acaba guanyant el que sembla més petit.

Operacions amagades:

El resultat és:

El seu nom és semirecta oberta.

Exemple 4[edit]
IntersecciónABvacia.svg

Suposem que i que llavors, representarem sobre la recta només els valors que compleixen les dues suposicions simultàniament es a dir:

-1
3
SemiRectaVc.svgSemiRectaVc.svg

En aquest cas les suposicions inicials són contradictòries arreu de la recta real, per tant, no tenen cap coincidència, es a dir, que ens queda un conjunt sense nombres, és a dir, un conjunt buit i que evidentment no podem pintar res.

Operacions amagades:

El resultat és:

El seu nom és conjunt buit.

Exemple 5[edit]

Suposem que i que llavors, representarem sobre la recta només els valors que compleixen les dues suposicions simultàniament, és a dir:

9
SemiRectaDot.svg

En aquest cas la única coincidència es el nou, que és un punt fronterer, i per tant es l'únic element que compleix les dues suposicions.

Operacions amagades:

El resultat és:

El seu nom és punt o conjunt d'un sol element.

Unió[edit]

UniónAB.svg

Per fer una unió dels diferents objectes trobats només s'ha de indicar que els diferents objectes estan junts encara que hi hagi forats, després només arreglem els trams superposats quan apareguin com a un de sol. Es proposa anar directament a la notació matemàtica per anar més ràpid.

Exemple 1[edit]

Unió de semirectes: i

Operació:

Resultat: casualment queda igual per que no es pot arreglar més:

Representació:

8
9
SemiRectaB.svgSemiRectaAC.svg

Descripció: el resultat segueix sent dues semirectes.

Exemple 2[edit]

Unió de semirectes: i

Operació:

Resultat: veiem que és gairebé tota la recta real, excepte el -2, no es pot arreglar més:

Representació:

-2
SemiRectaFut.svg

Descripció: el resultat també son dues semirectes, però, vegeu que són tots els nombres reals sense un punt, el -2, es a dir, l'indicat amb una rodona buida.

Exemple 3[edit]

Unió de semirectes: i

Operació:

Resultat: veiem que en ajuntar les dues semirectes no deixen cap forat, per tant el resultat es tots els nombres entre i es a dir

Representació i descripció: s'hauria de pintar tota la recta sense forats.

SemiRectaFut2.svg
Exemple 4[edit]

Unió dels objectes A i B: i

Operació:

Resultat:

Representació: només hem de pintar A i B, i veure que dona aquest resultat.

0
3
4
7
SemiRectaA.svgSemiRectaBC.svgSemiRectaA.svgSemiRectaBC.svg

Exercicis[edit]

  1. Busquem un valor que és major que deu i menor que catorze, o major que quinze i menor que setze. Representeu els valors acuradament.
  2. Escriu la notació dels intervals representats a continuació:
-11
-10
-4
4
5
6
7
11
SemiRectaAC.svgSemiRectaBC.svgSemiRectaA.svgSemiRectaB.svgSemiRectaA.svgSemiRectaBC.svgSemiRectaAC.svgSemiRectaB.svg

Resum lèxic[edit]

Noms apareguts sense matisar si és obert o tancat però que hem de conèixer:

  • Semirecta (part de la recta que queda a un mateix cantó d'un punt)
  • Interval (part de la recta delimitada per dos punts)
  • Punt (quan ens referim a un únic nombre real)
  • Buit (que no hi ha res, cap nombre real)

Vegis també[edit]

Escola secundària

Notes i referències[edit]