Introducció geomètrica bàsica IV

Aquesta secció fa un recordatori de geometria orientat per introduir com a necessitat les funcions trigonomètriques.

Heu de fixar-vos en la quantitat de procediments que fem servir per determinar cada incògnita.

Semblança

Semblança és utilitzat pels matemàtics com un mètode per comparar objectes de diferents mides, però que mantenen la mateixa forma, com els d'una casa i el seu plànol.

Definició

Direm que dos triangles són semblants quan tenen la mateixa forma però no necessàriament les mateixes mides.

D'aquesta definició surten tres receptes per discriminar quan dos triangles són semblants. Recordeu que estem comparant dos triangles i només volem esbrinar si tenen o no la mateixa forma, independentment de les seves mides o el seu ordre.

Criteris de semblança

Tenim tres casos que ens permeten identificar còmodament la semblança entre triangles

Primer cas: és quan comparteixen dos angles iguals.

Segon cas: és quan comparteixen dos costats proporcionals i un angle igual.

amb ${\frac {a'}{a}}={\frac {b'}{b}}$

Tercer cas: és quan comparteixen tres costats proporcionals.

amb ${\frac {a'}{a}}={\frac {b'}{b}}={\frac {c'}{c}}$

Pensem ara que qualsevol de les fraccions, com ${\frac {a'}{a}}$, ens dona la raó de semblança $r$ entre dos triangles. Aquesta raó és un valor $r={\frac {a'}{a}}$ que permet passar totes les mides del primer triangle al segon.

Exercici

1) Esbrineu quins dels triangles no són semblants:

2) Calculeu els valors desconeguts i digueu quins costats són semblants.

Igualtat entre triangles

Es pot trobar informació sobre un estudi més general de casos conegut com a congruències de geometria.

És l'objectiu de la trigonometria fer igualtat de triangles i els següents criteris ajuden a reforçar la igualtat.

Definició

Direm que dos triangles són iguals quan totes les seves dades queden unívocament determinades amb el mateix valor.

Criteris d'igualtat

Per fer igualtat entre triangles es demana també tres casos.

Primer cas: donat un triangle amb un costat i dos angles, llavors coneixem la resta de dades.

• 
  A.L.A.
• 
  A.A.L.

Segon cas: donat un triangle amb dos costats i l'angle entre ells, llavors coneixem la resta de dades.

Tercer cas: donat un triangle amb els seus tres costats, llavors coneixem la resta de dades.

Exercici (dia 22e)

1) Calculeu totes les dades possibles de la figura:

Càlculs En aquest cas podem calcular tots els costats: El primer triangle per Pitàgores té de costats 12, 15 i 9 ja que $9={\sqrt {15^{2}-12^{2}}}$. Els dos triangles són semblants per què hi ha una correspondència entre els angles del triangle gran i el petit ja que hi ha un angle recte que els uneix i per tant $\alpha +\beta =90^{\circ }.$ Fent cas als noms tenim que el costat 9 li correspon el costat 3 per tant amb una simple regla de tres podem fer les següents troballes, és a dir que el triangle petit té costats 3, 4 i 5.

2) Calculeu totes les dades possibles de la figura:

Càlculs En aquest cas podem calcular només angles, per tant només hem de traslladar els angles sabent que "els angles d'un triangle sumen 180°" i que "els angles oposats són igual". Aquestes dues frases són molt conegudes i es poden trobar a qualsevol cercador web. $40^{\circ }+90^{\circ }+\alpha =180^{\circ }\Rightarrow \alpha =50$ Ara només cal identificar els angles oposats sense càlculs.

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO