Lực hấp dẫn

Thuyết hấp dẫn của Newton

Năm 1687, nhà toán học người Anh Sir Isaac Newton đã xuất bản tác phẩm Principia, trong đó đưa ra giả thuyết về định luật nghịch đảo bình phương của trọng lực phổ quát. Newton viết, "Tôi đã suy luận rằng các lực giữ các hành tinh trong quỹ đạo của chúng phải [tương ứng] với nhau như bình phương khoảng cách của chúng từ các trung tâm mà chúng quay tròn: và do đó so sánh lực cần thiết để giữ Mặt trăng trong quỹ đạo của nó với lực hấp dẫn ở bề mặt Trái Đất và thấy chúng gần như vậy. " Phương trình như sau:

$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\$

Trong đó

F là lực,

m₁ và m₂ là khối lượng của các vật tương tác,

r là khoảng cách giữa tâm của khối lượng và G là hằng số hấp dẫn.

Lý thuyết của Newton đã tận hưởng thành công lớn nhất của nó khi nó được sử dụng để dự đoán sự tồn tại của sao Hải Vương dựa trên các chuyển động của sao Thiên Vương không thể giải thích được bằng hành động của các hành tinh khác. Tính toán của cả John Couch Adams và Urbain Le Verrier đã dự đoán vị trí chung của hành tinh này và tính toán của Le Verrier là điều khiến Johann Gottfried Galle phát hiện ra sao Hải Vương.

Một sự khác biệt trong quỹ đạo của sao Thủy đã chỉ ra những sai sót trong lý thuyết của Newton. Vào cuối thế kỷ 19, người ta đã biết rằng quỹ đạo của nó cho thấy những nhiễu loạn nhỏ không thể giải thích hoàn toàn theo lý thuyết của Newton, nhưng tất cả các tìm kiếm cho một vật thể nhiễu loạn khác (như một hành tinh quay quanh Mặt trời thậm chí gần hơn Sao Thủy) đã được không có kết quả Vấn đề đã được giải quyết vào năm 1915 bởi thuyết tương đối mới của Albert Einstein, tính toán cho sự khác biệt nhỏ trong quỹ đạo của Sao Thủy. Sự khác biệt này là sự tiến bộ trong sự đi nhanh hơn của Sao Thủy với chênh lệch 42,98 giây cung trong mỗi thế kỷ.

Mặc dù lý thuyết của Newton đã được thay thế bởi thuyết tương đối rộng của Albert Einstein, nhưng hầu hết các phép tính hấp dẫn không tương đối hiện đại vẫn được thực hiện bằng lý thuyết của Newton bởi vì nó đơn giản hơn để làm việc và nó cho kết quả đủ chính xác cho hầu hết các ứng dụng có khối lượng, tốc độ và năng lượng đủ nhỏ.

Lực hấp dẫn

Trọng lực

Theo Newton, mọi vật đều rơi xuống đất do có lực hút của Trái Đất lên vật. Lực này được gọi là Trọng lực. Newton thí nghiệm cho thấy lực hút của Trái Đất trên mọi vật về hướng trái đất tỉ lệ nghịch với khoảng cách bình phương giửa Trái Đất và tỉ lệ thuận với khối lượng vật và khối lượng của Trái đất

$F_{g}~{\frac {1}{r^{2}}}$

Theo định luật này, vật có khối lượng m sẽ bị kéo về Trái đất với gia tốc:

$g={\frac {GM}{r^{2}}}$

Với

Trọng lượng

$g={\frac {GM}{r^{2}}}=9,80665m/s2(32,1740ft/s2)$

Lực hấp dẩn Theo định luật 2 Newton, vật có khối lượng m chịu lực hấp dẫn có độ lớn:

$F=mg$

Năng lực hấp dẩn

$W=Fd=mgh$

Mọi hành tinh (bao gồm cả Trái Đất) được bao quanh bởi trường hấp dẫn của chính nó, có thể được khái niệm hóa với vật lý Newton như tác dụng một lực hấp dẫn lên tất cả các vật thể. Giả sử một hành tinh đối xứng hình cầu, sức mạnh của trường này tại bất kỳ điểm nào trên bề mặt tỷ lệ thuận với khối lượng của hành tinh và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ tâm của vật thể.

Lực tĩnh điện

Lực tỉnh điện đại diện cho lực hút điện tích khác loại . Theo Coulomb, Lực tỉnh điện được tính bằng công thức

$F_{Q}=K{\frac {Q_{+}Q_{-}}{r^{2}}}$

Với 2 điện tích cùng loại có cùng Điện lượng

$F_{Q}=K{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}$

Tạo ra Điện trường

$E={\frac {F}{Q}}=K{\frac {Q}{r^{2}}}$

Có năng lực điện trường

$W=\int Edr=K{\frac {Q}{r}}$

Có năng lượng điện trường

$-U=\nabla E$

Phương trình trường hấp dẫn Einstein

Phương trình trường hấp dẫn Einstein có thể được viết theo dạng

$R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$

Trong đó:

• $R_{\mu \nu }\,$: tenxơ độ cong Ricci
• $R\,$: độ cong vô hướng (vô hướng Ricci)
• $g_{\mu \nu }\,$: tenxơ mêtric
• $\Lambda \,$: hằng số vũ trụ học
• $G\,$: hằng số hấp dẫn (giống như hằng số hấp dẫn trong định luật hấp dẫn của Newton)
• $c\,$: tốc độ của ánh sáng trong chân không
• $T_{\mu \nu }\,$: tenxơ ứng suất-năng lượng.

Tenxơ đối xứng chỉ chứa 10 thành phần độc lập, phương trình tenxơ của Einstein tương đương với 1 hệ 10 phương trình vô hướng độc lập. Cùng với 4 đồng nhất thức Bianchi, tương ứng với cách chọn 4 tọa độ tự do, làm cho thực sự có 6 phương trình độc lập không suy biến khi viết phương trình trường Einstein dưới dạng tường minh.

Tenxơ Einstein được định nghĩa bằng:

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu },$

Nó là một tenxơ đối xứng hạng hai và là hàm của tenxơ mêtric. Phương trình Einstein khi đó viết thành

$G_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.$

Cho biết trước một sự sắp đặt vật chất, tức là biết tenxơ năng lượng-xung lượng T_μν, có thể coi phương trình này tìm nghiệm tenxơ mêtric g_μν (đại diện cho không thời gian và cũng thể hiện trường hấp dẫn), do tenxơ Ricci và vô hướng Ricci đều phụ thuộc vào g_μν một cách phức tạp.

Biết được tenxơ mêtric g_μν, có thể biết được một chất điểm tự do đi theo đường trắc địa trong không thời gian tương ứng với g_μν như nào. Trong thuyết tương đối rộng, chất điểm tự do không chịu ngoại lực tác động, và lực hấp dẫn không được coi là một ngoại lực tác động lên vật mà chỉ là hiệu ứng của đường trắc địa cong trong không thời gian cong; đường đi cong của chất điểm tự do có thể coi như tác động của lực hấp dẫn trong cơ học cổ điển.

Việc giải phương trình Einstein và hiểu các nghiệm là công việc cơ bản trong môn vũ trụ học. Một số lời giải cho các trường hợp đặc biệt có thể kể đến là nghiệm Schwarzschild (chân không xung quanh một thiên thể không quay, không tích điện), nghiệm Reissner-Nordström và nghiệm Kerr. Khi không thời gian hoàn toàn là chân không (không có vật chất), lời giải thu về mêtric Minkowski của không thời gian phẳng.

Phương trình trường Einstein tiệm cận về định luật vạn vật hấp dẫn Newton trong phép xấp xỉ trường yếu và xấp xỉ chuyển động chậm (so với tốc độ ánh sáng). Thực tế là hằng số hấp dẫn và các hằng số khác được dùng trong phương trình trường Einstein để khớp nó với định luật vạn vật hấp dẫn Newton trong hai phép xấp xỉ trên.

Cân bằng

$W_{t}=W_{v}-W_{g}={\frac {1}{2}}mv^{2}-mgh=0$

${\frac {1}{2}}mv^{2}=mgh$

$v={\sqrt {2gh}}$

$W_{t}=W_{v}-W_{g}-W_{\mu }={\frac {1}{2}}mv^{2}-mgh-\mu F_{N}=0$

${\frac {1}{2}}mv^{2}=mgh+\mu F_{N}$

$v={\sqrt {2(mgh+\mu F_{N})}}$

$W_{t}=W_{v}-W_{g}={\frac {mv^{2}}{r}}-mgh=0$

${\frac {mv^{2}}{r}}=mgh$

$v={\sqrt {rgh}}$