La funció recta IV

En aquesta secció es detallen les qualitats més rellevants de les rectes a quart d'ESO. Entenem com a rectes les funcions que tenen expressions com $f(x)=mx+d$ i també les equacions que tenen una expressió del tipus $ax+by=c$.

Recordem que donada la equació de la recta amb la incògnita $y$ podem aïllar-la i obtenim la seva funció:

$ax+by=c$ $\Rightarrow by=c-ax$ $\Rightarrow y=\frac{c-ax}{b}$ $\Rightarrow f(x)=\frac{c-ax}{b}$ $\Rightarrow f(x)=\frac{c}{b}-\frac{a}{b}x.$

Introducció

Aquesta secció desenvolupa petites eines per treballar-les amb les rectes en general en qualsevol de les dues formes:

$f(x)=mx+d$

o

$ax+by=c$

Aquestes eines són bàsiques per fer seguiment de cursos posteriors on les funcions no són rectes.

Els punts de la recta

Tota recta està formada per punts, el mètode per escollir-ne un punt es la prova més senzilla que hi ha, per exemple:

Donada la recta $f(x)=3x+4,$ volem un punt dins ella, suposem $x=2$ $\Rightarrow f(2)=3(2)+4$ $\Rightarrow f(2)=10$ per tant $y=10$ i obtenim el punt $(2,10)$ que sabem que està sobre la recta.

Donada la recta $2x-y=3,$ volem un punt dins ella, suposem $x=1$ $\Rightarrow 2(1)-y=3$ $\Rightarrow 2-y=3$ $\Rightarrow -y=3-2$ $\Rightarrow -y=1$ $\Rightarrow y=-1$ i obtenim el punt $(1,-1)$ que sabem que està sobre la recta.

Recta per dos punts

Partint de dos punts qualssevol sobre la recta, es poden calcular o deduir molts elements, conceptes i eines, realment contenen la mateixa informació, vegeu-ne uns quants.

Vector director

El vector director d'una recta és un vector "paral·lel" a la recta. Podem obtenir vectors directors utilitzant dos punts qualssevol.

Donats dos punts qualssevol $A=(x_1,y_1)$ i $B=(x_2,y_2)$, el vector $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{(x_2-x_1,y_2-y_1)}=\overrightarrow{(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)}$ és vector director.

Exemples

1) Vector director de $f(x)=\frac{5}{21}x+3^{\prime }1416,$ només cal escriure la fracció que acompanya la "x" d'aquesta manera $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{(21,5)}.$

2) Vector director de $3x-7y=4^{\prime }6,$ només cal escriure desordenadament els nombres que apareixen amb un únic canvi de signe $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{(7,3)}.$

Pendent d'una recta

El pendent d'una recta és la tangent de l'angle d'aquesta recta o del vector director respecte l'horitzontal.

L'angle es calcula còmodament amb la tangent: $m=\tan \theta =\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$ $\Rightarrow \theta ={\tan }^{-1}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}.$

Construcció de la recta

Per construir una recta de la forma $f(x)=mx+d,$ només cal traslladar-la sobre un dels seus punts com $(x_1,y_1)$ donant $f(x)=m(x-x_1)+y_1,$ es pot arreglar per que tingui millor aspecte.

Per construir una recta de la forma $ay+bx=c,$ fem el mateix i afegim $f(x)=y=mx+d,$ $\Rightarrow -mx+y=d.$

Exemples

1) Donats els punts $(1,2)$ i $(4,4)$ d'una recta, calculeu el vector director, el pendent, l'angle respecte l'horitzontal i la recta per aquest dos punts.

Vector director és $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{(4-1,4-2)}=\overrightarrow{(3,2)},$

Pendent de la recta és $m=\frac{2}{3},$

Angle respecte l'horitzontal $\theta ={\tan }^{-1}\frac{2}{3}=33,69^{\circ },$

Recta pels punts és $y=\frac{2}{3}x$ però traslladat, és a dir, $y=\frac{2}{3}(x-x_1)+y_1$ $\Rightarrow y=\frac{2}{3}(x-1)+2$ $\Rightarrow 3y=2(x-1)+6$ $\Rightarrow 3y=2x-2+6$ $\Rightarrow 3y-2x=4,$ per tant, arreglant una mica podem tenir aquestes dues expressions de la mateixa recta:

$f(x)=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3},$

$-2x+3y=4.$

2)Donada la recta $f(x)=\frac{3}{5}x+{23}^{\prime }1$ calculeu el pendent, vector director i l'angle respecte l'horitzontal.

Vector director és $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{(5,3)},$

Pendent de la recta és $m=\frac{3}{5},$

Angle respecte l'horitzontal $\theta ={\tan }^{-1}\frac{3}{5}=30,964^{\circ }.$

Recta perpendicular a un altra

Per obtenir una recta inclinada amb un pendent concret havíem vist que era necessari, entre d'altres eines, un vector director.

Vectors perpendiculars

Donat un vector $(a,b),$ volem buscar un altre vector $(x,y)$ que sigui perpendicular, és a dir, apliquem aquesta eina de vectors:

Dos vectors no nuls són perpendicular si els seu producte és zero, es a dir, $(a,b)\cdot (x,y)=0$.

Desenvolupant el producte tenim $(a,b)\cdot (x,y)=ax+by=0$ vegem la nostra cerca ens ha donat una recta on els punts d'aquesta recta tenen les coordenades dels vectors perpendiculars.

• Per tant el vector $(a,b)$ és perpendicular a qualsevol recta del tipus $ax+by=c,$ sigui quin sigui el valor de c.

• Un truc per calcular-los tots és intercanviar les coordenades i un únic signe com $(b,-a)$ (gir cap a la dreta) ja que llavors $(a,b)\cdot (b,-a)=ab+b(-a)=ab-ab=0$.

• Podem multiplicar o dividir el vector $(b,-a)$ pel valor n no nuls que vulguem ja que $(a,b)\cdot (nb,-na)=anb+b(-na)=n(ab-ab)=n0=0$.

• Per tant una recta perpendicular a la recta $ax+by=c$ és una recta de la forma $bx-ay=d$.

Exemple:

1) Donat el vector $(2,5),$ el seu vector perpendicular està sobre la recta $2x+5y=0$ i per tant és $(5,-2).$

2) Donada la recta $2x-3y=10,$ el seu vector perpendicular és $(2,-3)$ amb vector perpendicular $(3,2),$ aquest últim amb recta perpendicular $3x+2y=0.$

Si fem un dibuix s'entén millor ja que veuríem clarament el procediment directe per passar de $2x-3y=10$ directament a $3x+2y=0.$

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO