Sistemes d'equacions IV

En aquesta secció començarem pel significat de solució d'una equació per donar pas a a interpretació dels sistemes d'equacions.

Equació

Una equació és una condició d'igualtat que sotmet dos expressions amb incògnites.

$1+{\frac {2-x}{3}}+3\,\,\,=\,\,\,x-{\frac {x-3}{5}}$

Les solucions d'una equació són els valors de les incògnites que fan complir la condició d'igualtat. Les equacions ens diuen com ha de ser cadascuna de les possibles solucions. Les equacions poden no tenir solució, tenir una quantitat finita de solucions, tenir una quantitat infinita numerable o no de solucions, o poden alliberar les incògnites quan aquestes desapareixen de l'equació.

De vegades les equacions es poden subdividir en altres equacions.

$(1-x)(x+2)=0\Rightarrow {\begin{cases}(1-x)=0&\Rightarrow 1=x\\\\(x+2)=0&\Rightarrow x=2\end{cases}}$

Equació d'una incògnita

Donada una equació de la forma ax+b=0, on "a" i "b" són coneguts, la incògnita x es calcula aïllant-la:

$ax+b=0$ $\Rightarrow ax=-b$ $\Rightarrow x=-{\frac {b}{a}}$

Exemple:

1) Calcula cada valor de x que compleix l'equació demanada:

a) $3x-6=0$ $\Rightarrow 3x=6$ $\Rightarrow x={\frac {6}{3}}$ $\Rightarrow x=2.$

b) ${\frac {2}{3}}+{\frac {1-{\frac {x}{5}}+2}{3}}-{\frac {1}{3}}=2$ $\Rightarrow {\frac {2+1-{\frac {x}{5}}+2-1}{3}}=2$ $\Rightarrow 2+1-{\frac {x}{5}}+2-1=6$ $\Rightarrow -{\frac {x}{5}}=2$ $\Rightarrow x=-10$

Sistemes d'equacions

Es diu sistema d'equacions al conjunt de més d'una equació que presumptament cooperen per establir el valor de les incògnites.

Dos equacions de dos incògnites

En aquest cas cadascuna de les dues equacions es pot representar com rectes, aïllant una de les incògnites i fent les seves taules. Aquest fet facilita la comprensió del sistema d'equacions i què significa buscar la solució del sistema.

Exemple abstracte

Sabem que cada equació és una recta de punts al pla, per tant ajuntant dues equacions s'indica amb una clau:

${\begin{cases}ax+by=c\\dx+ey=f\end{cases}}$, on x i y són les incògnites.

Es pot escriure amb la conjunció i: $ax+by=c$ i $dx+ey=f$ També es pot escriure com a conjunts del tipus: { àmbit de les incògnites | condicions sobre les incògnites } Com: $\{x,y\in \mathbb {R} |ax+by=c,dx+ey=f\}$ $\{x\in \mathbb {R} \land y\in \mathbb {R} |ax+by=c\land dx+ey=f\}$

això vol dir que busquem punts sobre una recta i l'altra a la vegada, és a dir, busquem la intersecció de les dues rectes si és que en té.

Si aïllem una de les incògnites, per exemple la "y", llavors obtenim:

$\left.{\begin{array}{rl}y&={\frac {c-ax}{b}}\\dx+ey&=f\end{array}}\right\}$

Ara ja podem substituir el valor de "y" dins de la segona equació

$dx+e({\frac {c-ax}{b}})=f$

i aïllant la "x" tenim el seu valor exacte, després el substituïm dins de qualsevol equació amb la incògnita "y" per així obtenir el seu valor.

Aquest mètode és el més llarg, però deixa veure la intenció per arribar a la solució.

Exemples numèrics

1) Representeu i calculeu els punts d'intersecció de cada sistema:

a) $\left.{\begin{array}{rl}y=&2x-3\\y=&3-x\end{array}}\right\}$

Solució

En aquest cas ja tenim aïllada la "y", per tant, només cal substituir el seu valor dins l'altra $(2x-3)=3-x$ $\Rightarrow 2x-3=3-x$ $\Rightarrow 2x+x=3+3$ $\Rightarrow 3x=6$ $\Rightarrow x=2.$ Ara substituint el valor de "x" en una que tingui "y": $y=3-x$ $\Rightarrow y=3-(2)$ $\Rightarrow y=1.$ La solució és el punt $(\,x,\,y\,)$ amb els valors: ${\begin{array}{|c|}\hline x=2\\y=1\\\hline \end{array}}$ Deixo la representació com a deures, indicant amb un cercle vermell el punt d'intersecció.

b) $\left.{\begin{array}{rl}y=&x^{2}\\y=&4\end{array}}\right\}$

Solució

En aquest cas ja tenim aïllada la "y", per tant, només cal substituir el seu valor dins l'altra $(x^{2})=4$ $\Rightarrow x^{2}=4$ $\Rightarrow x=\pm {\sqrt {4}}$ $\Rightarrow x=\pm 2.$ No cal substituir el valor de "x" per que ja tenim el valor "y". La solució és el punt $(\,x,\,y\,)$ amb els valors: ${\begin{array}{|c|}\hline x=\pm 2\\y=4\\\hline \end{array}}$ Deixo la representació com a deures, indicant amb un cercle vermell els dos punts d'intersecció.

c) $\left.{\begin{array}{rl}y=&-x^{2}\\y=&-2+x\end{array}}\right\}$

d) $\left.{\begin{array}{rl}y=&x^{2}\\y=&3x-x^{2}\end{array}}\right\}$

Exercicis

Ara mirem de aplicar el que hem vist anteriorment:

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO