Trigonometria IV
La necessitat de les funcions trigonomètriques apareix quan, a partir de mesures angulars volem calcular mides longitudinals i a l'invers.
Cada funció trigonomètrica és una taula on a partir de l'angle en calcula proporcions al triangle rectangle i a l'invers. De fet cada funció amaga unes taules enormes de valors i pels últims decimals encara es podria fer una aproximació. Només cal veure els decimals que hi ha per adonar-se de la importància que té la precisió.
Les funcions trigonomètriques ens ajuden a relacionar dades al triangle rectangle, es a dir a partir d'un angle i una longitud podem calcular la resta de dades, o a partir de dues longituds podem calcular la resta de dades.
Introducció
[edit]Triangle rectangle amb la hipotenusa de longitud 1 on s'assenyala com calcular directament el valor exacte de cada catet a partir de l'angle α.
Al dibuix s'ha de veure el següent:
- La longitud del catet oposat a l'angle es calcula sempre amb la funció sinus:
- La longitud del catet contigu a l'angle es calcula sempre amb la funció cosinus:
- Els dos valors sempre són més petits que la hipotenusa de valor 1.
- Treballarem el sinus i cosinus amb graus sexagesimals, és a dir que cal assegurar-se que la calculadora fa ja que hi ha de més tipus.
- Exemple
Donat un triangle rectangle amb una hipotenusa de longitud 1 metre i un angle de llavors tenim que:
- El catet oposat mesura metres.
- El catet contigu mesura metres.
Exercicis bàsics |
1) S'ha de calcular les mesures del triangle rectangle de hipotenusa 1 i un angle
2) S'ha de calcular les mesures del triangle rectangle
3) Suposem que tenim el triangle anterior i el angle és per tant tenim:
|
Hem d'anar en compte de que els triangles no es presenten en la mateixa posició que el dibuix per això es faran exercicis de pràctica amb diferents posicions durant la explicació del contingut.
Amb calculadores
- Recordeu ajustar la calculadora amb Mode Fix fins que
- Les funcions i estan definides a les calculadores científiques.
- Recordeu posar parèntesis, per tecles escrivim: "sin", "(", 35° i ")".
- Recordeu que per calcular l'angle partint de la longitud escriviu: "inv", "sin", "(", 0.823 i ")".
- Hi ha calculadores que a les inverses anomenen o simplement ArcSin. El mateix per cosinus i tangent.
Sinus, cosinus i tangent
[edit]Taula de les fórmules amb l'aïllament corresponent a cada valor:
Esquema que suprimeix els noms referint-se a la posició que ocupa respecte l'angle desitjat dins un mateix triangle rectangle, tenint en compte:
- Catet Oposat ( CO ) és el costat que està davant del mateix angle.
- Catet Adjacent ( CA ) és el costat que uneix el mateix angle i l'angle recte.
- Hipotenusa ( H ) és el costat més llarg que està davant de l'angle recte del mateix triangle.
- Exercicis
Exemples |
1) Calculeu tots els valors desconeguts proposats:
2) Calculeu el valor de x que és la distància entre les illes del dibuix:
|
Relació circular entre el sinus i cosinus
[edit]Aplicant Pitàgores al triangle rectangle trigonomètric obtenim la relació:
Mode simplificat d'escriure el mateix:
Aquestes fórmules les hem generat per cobrir tots els possibles triangles mesurant l'angle que fa la hipotenusa des de la semirecta horitzontal positiva. Recordem que aquesta semirecta horitzontal s'inicia al punt (0, 0) i s'allarga per sobre del punt (1, 0).
Codi desplegable del programa que permet fer una imatge interactiva.
Es pot fer l'arxiu Trig.SVG amb qualsevol editor de text. |
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="400" height="200" onload="startup()" onmousemove="moveIt(evt)">
<script><![CDATA[
function startup(){
Gx=document.getElementById("vx"); Gy=document.getElementById("vy");
Gd=document.getElementById("vd"); An=document.getElementById("ang");
txAlf=document.getElementById("alf"); cos=document.getElementById("atx");
sin=document.getElementById("aty"); cAlf=document.getElementById("alfC");
}
function moveIt(evt){
x=evt.pageX-100; y=evt.pageY-100; z=Math.sqrt(x*x+y*y);
if(z==0){x=0;y=0;g=0;}
else{x=x/z;a=x*20;cos.firstChild.nodeValue="x = "+x;
y=y/z;b=y*20;sin.firstChild.nodeValue="y = "+(-y);
g=-Math.asin(y)/3.1415926535897932384626433832795*180;if(x<=0){g=180-g;};if(g<0){g=g+360;}
g1=Math.trunc(g); ga=(g-g1)*60; g2=Math.trunc(ga); gb=(ga-g2)*60; g3=Math.trunc(gb);
gc=(gb-g3)*60; g4=Math.trunc(gc); gd=(gc-g4)*60; g5=Math.trunc(gd);
}
x=x*90;y=y*90;
txAlf.firstChild.nodeValue="α = "+(g)+"º"; cAlf.firstChild.nodeValue=(g1)+"º"+(g2)+"'"+(g3)+"''"+g4+"'''"+g5+"''''";
if(x>=0){Gx.setAttributeNS(null,"d","m100,100h"+x+"l-10,-3m0,6l10,-3");}
else{ Gx.setAttributeNS(null,"d","m100,100h"+x+"l10,-3m0,6l-10,-3");}
if(y>0){ Gy.setAttributeNS(null,"d","m100,100v"+y+"l-3,-10m6,0l-3,10");}
else{ Gy.setAttributeNS(null,"d","m100,100v"+y+"l3,10m-6,0l3,-10"); }
Gd.setAttributeNS(null,"transform","rotate("+(-g)+")");
if(b<0){ An.setAttributeNS(null,"d","m100,100l20,0a20,20 0,0,0 "+(a-20)+","+(b)+"z");}
else{ An.setAttributeNS(null,"d","m100,100l20,0a20,20 0,1,0 "+(a-20)+","+(b)+"z");}
}
]]></script>
<g transform="translate(0.5,0.5)">
<circle cx="100" cy="100" r="90" fill="none" stroke="black" stroke-width="1"/>
<path id="ang" d="" fill="#8f8" stroke-width="1" stroke="#fa0"/>
<path d="m0,100h200M100,0v200" fill="none" stroke="black" stroke-width="1"/>
<path id="vx" d="" fill="none" stroke-width="1" stroke="#f00"/>
<path id="vy" d="" fill="none" stroke-width="1" stroke="#00f"/>
<g transform="translate(100,100)"><g id="vd" transform="rotate(0)">
<path d="m0,0h90l-10,5m0,-10l10,5" fill="none" stroke-width="1" stroke="#fa0"/>
</g></g>
</g>
<text id="alf" x="200" y="20">α = 0º</text><text id="alfC" x="225" y="40">0º</text>
<text id="atx" x="200" y="60">x</text><text id="aty" x="200" y="80">y</text>
</svg>
|
Exemples |
1) Construcció dels triangles rectangles d'angles 40°, 120°, 230° i -50°.
2) Calculeu l'altura h del castell proposat:
3) Calculeu el valor de x en el dibuix següent:
4) Ens donen la distancia entre la terra i el sol, la Unitat Astronòmica (1UA = 149597870700) i ens demanen el diàmetre del sol tenint en compte que l'angle amb el que es veu és 0,53°. 5) Càlcul de l'alçada total d'un edifici:
6) |