Trigonometria IV

Les funcions trigonomètriques ens ajuden a relacionar dades al triangle rectangle.

Introducció

Veiem la relació angle-catet quan la hipotenusa es de longitud 1.

Aquí tenim una forma senzilla en la que un angle informa ¡directament! de la longitud dels catets, tenint en compta una hipotenusa de longitud 1:

$\sin(\alpha )$ és la longitud del catet oposat al angle.

$\cos(\alpha )$ és la longitud del catet al costat del angle.

Exercici (dia 24e)

1) Mesures del triangle rectangle $\alpha =45^{\circ }.$ $\sin(\alpha )={\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}=0,7071$ $\cos(\alpha )={\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}=0,7071$ El triangle és el 45°, 45° i 90°. 2) Mesures del triangle rectangle $\alpha =30^{\circ }.$ $\sin(\alpha )={\frac {1}{2}}=0,5$ $\cos(\alpha )={\frac {\sqrt {3}}{2}}=0,866$ El triangle és el 30°, 60° i 90°. 3) Suposem que tenim el triangle anterior i el angle és $\alpha =25^{\circ }.$ per tant tenim: $\sin(\alpha )=0,4226$ $\cos(\alpha )=0,9063$ El triangle és el 25°, 65° i 90°.

Hem d'anar en compte de que els triangles no es presenten en la mateixa posició que el dibuix per això es faran exercicis de pràctica amb diferents posicions durant la explicació del contingut.

Amb calculadores

Recordeu ajustar la calculadora amb Mode Fix fins que $\sin(90)=1.$

Les funcions $\sin(\alpha )$ i $\cos(\alpha )$ estan definides a les calculadores científiques.

Recordeu posar parèntesis, per tecles escrivim: "sin", "(", 35° i ")".

Recordeu que per calcular l'angle partint de la longitud escriviu: "inv", "sin", "(", 0.823 i ")".

Hi ha calculadores que a les inverses anomenen $\sin ^{-1}$ o simplement ArcSin. El mateix per cosinus i tangent.

Sinus cosinus i tangent

$\sin(\alpha )={\frac {c}{a}}$	$\cos(\alpha )={\frac {b}{a}}$	$\tan(\alpha )={\frac {c}{b}}$
$\alpha =\sin ^{-1}\left({\frac {c}{a}}\right)$	$\alpha =\cos ^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)$	$\alpha =\tan ^{-1}\left({\frac {c}{b}}\right)$
$c=\sin(\alpha )\cdot a$	$b=\cos(\alpha )\cdot a$	$c=\tan(\alpha )\cdot b$
$a={\frac {c}{\sin(\alpha )}}$	$a={\frac {b}{\cos(\alpha )}}$	$b={\frac {c}{\tan(\alpha )}}$

Partint del triangle anterior es pot deduir les següents raons trigonomètriques, i inclús més que no tractarem.

Ara estem davant d'una generalització enfocant el problema com a raons de semblança pròpiament dites en geometria:

$\sin(\alpha )={\frac {c}{a}}$

$\cos(\alpha )={\frac {b}{a}}$

$\tan(\alpha )={\frac {c}{b}}$

Tutorials:

• ¿Com saber quan usar sinus o cosinus? en 4 minuts.

Exercicis (dia 25 i 29e)

1) Calculeu tots els valors desconeguts proposats: Per calcular tot un triangle rectangle només necessito un parell de dades, per tant, puc calcular el triangle rectangle més petit: $\cos(60^{\circ })={\frac {50}{b}}\Rightarrow$ $b={\frac {50}{\cos(60^{\circ })}}$ = 100m. $\tan(60^{\circ })={\frac {c}{50}}\Rightarrow$ $c=\tan(60^{\circ })\cdot 50$ = 86,6m. Ara ja podem calcular el costat a del triangle rectangle més gran, perquè tenim el catet c, per tant: $\sin(35^{\circ })={\frac {86,6}{a}}\Rightarrow$ $a={\frac {86,6}{\sin(35^{\circ })}}$ = 150,98m. $\tan(35^{\circ })={\frac {86,6}{x+50}}\Rightarrow$ $x+50={\frac {86,6}{\tan(35^{\circ })}}$ = 123,6m. x=123,6-50=73,6m és la distància buscada. 2) Calculeu el valor de x que és la distància entre les illes del dibuix: Clarament tenim dues dades per calcular-ho tot, però, per arribar a x hem de passar d'un triangle al altre ràpidament saltant de catet en catet: $\tan(60^{\circ })={\frac {b}{50}}\Rightarrow$ $b=\tan(60^{\circ })\cdot 50$ =86,6m $\tan(35^{\circ })={\frac {x}{86,6}}\Rightarrow$ $x=\tan(35^{\circ })\cdot 86,6$ =60,6m és la distància entre les illes del dibuix.

Relació circular entre el sinus i cosinus

Aplicant Pitàgores al triangle rectangle trigonomètric obtenim la relació:

$1^{2}=sin(\alpha )^{2}+cos(\alpha )^{2}$

Mode simplificat d'escriure el mateix:

$1=sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha$

Aquestes fórmules les hem generat per cobrir tots els possibles triangles mesurant l'angle que fa la hipotenusa des de la semirecta horitzontal positiva. Recordem que aquesta semirecta horitzontal s'inicia al punt (0, 0) i s'allarga per sobre del punt (1, 0).

Exercicis:(dia 4f, 5f i 7f)

1) Construcció dels triangles rectangles d'angles 40°, 120°, 230° i -50°.

Solució: Els triangles queden definits amb els tres punts $(0,0),(\cos \alpha ,0)$ i $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ sobre el pla amb coordenades.

2) Calculeu la altura h del castell proposat:

Solució:

Aplicant tangent als dos angles obtenim una equació fàcil de resoldre:

$\tan 70^{\circ }={\frac {h}{fossat}}\Rightarrow$ $h=\tan 70^{\circ }\cdot fossat$

$\tan 30^{\circ }={\frac {h}{100+fossat}}\Rightarrow$ $h=\tan 30^{\circ }\cdot (100+fossat)$

Igualem i tenim: $h=\tan 70^{\circ }\cdot fossat=\tan 30^{\circ }\cdot (100+fossat)$

Distribuint: $\tan 70^{\circ }\cdot fossat=\tan 30^{\circ }\cdot 100+\tan 30^{\circ }\cdot fossat$

Aïllant: $\tan 70^{\circ }\cdot fossat-\tan 30^{\circ }\cdot fossat=\tan 30^{\circ }\cdot 100$

Factor comú fossat i aïllant: $fossat={\frac {\tan 30^{\circ }\cdot 100}{\tan 70^{\circ }-\tan 30^{\circ }}}$ = 26,6m

Finalment: $h=\tan 70^{\circ }\cdot fossat=\tan 70^{\circ }\cdot 26,6$ = 73,1m

3) Calculeu el valor de x en el dibuix següent:

Solució:

Apliquem successivament tangent per passar de catet en catet:

$\tan 40^{\circ }={\frac {a}{20}}\Rightarrow$ $a=\tan 40^{\circ }\cdot 20$ = 16,78cm

$\tan 50^{\circ }={\frac {16,78}{b}}\Rightarrow$ $b={\frac {16,78}{\tan 50^{\circ }}}$ = 14,1cm

$\tan 70^{\circ }={\frac {14,1}{x}}\Rightarrow$ $x={\frac {14,1}{\tan 70^{\circ }}}$ = 5,13cm

4) Ens donen la distancia entre la terra i el sol, la Unitat Astronòmica (1UA = 149597870700) i ens demanen el diàmetre del sol tenint en compte que l'angle amb el que es veu és 0,53°.

5) Càlcul de l'alçada total d'un edifici:

Solució:

Veiem que verticalment el camp visual del espectador forma dos triangles rectangles i que el catet entre els angles coneguts mesura 10m.

$\tan 50^{\circ }={\frac {a}{10}}\Rightarrow$ $a=\tan 50^{\circ }\cdot 10$ = 11,9m

$\tan 70^{\circ }={\frac {b}{10}}\Rightarrow$ $b=\tan 70^{\circ }\cdot 10$ = 27,47m

Per tant l'alçada total és de 39,4 metres.

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO