Trigonometria IV

Taula de l'astrònom alemany Matthias Bernegger de 1619. Va ser habitual expressar els valors de les funcions com a enters de 8 xifres.

La necessitat de les funcions trigonomètriques apareix quan, a partir de mesures angulars volem calcular mides longitudinals i a l'invers.

Cada funció trigonomètrica és una taula on a partir de l'angle en calcula proporcions al triangle rectangle i a l'invers. De fet cada funció amaga unes taules enormes de valors i pels últims decimals encara es podria fer una aproximació. Només cal veure els decimals que hi ha per adonar-se de la importància que té la precisió.

Les funcions trigonomètriques ens ajuden a relacionar dades al triangle rectangle, es a dir a partir d'un angle i una longitud podem calcular la resta de dades, o a partir de dues longituds podem calcular la resta de dades.

Intent de fer una taula de 15 valors del triangle rectangle allà per l'any 1800 a.c. observem que a la fila 11, la 5a començant per avall, en la seva notació sexagesimal i després en la nostra notació decimal tenim:

Brot Catet Hipot. 1,33:45 45 1:15 1,5625 3 5

A la actualitat aquest triangle rectangle el coneixem com la tripleta 3,4,5 i és el triangle rectangle més conegut que hi ha. El triangle rectangle 3,4,5 és pitagòric ja que $3^2+4^2=5^2$ per tant 3 i 4 són els catets i 5 és la hipotenusa.

En resum, fa 3800 anys els babilonis ja sabien de la seva importància i tenien les seves investigacions amb una profunditat i precisió de mil milionèsimes que avui dia encara és increïble.

Introducció

Triangle rectangle amb la hipotenusa de longitud 1 on s'assenyala com calcular directament el valor exacte de cada catet a partir de l'angle α.

Al dibuix s'ha de veure el següent:

• La longitud del catet oposat a l'angle es calcula sempre amb la funció sinus: $\sin (\alpha ).$

• La longitud del catet contigu a l'angle es calcula sempre amb la funció cosinus: $\cos (\alpha ).$

• Els dos valors sempre són més petits que la hipotenusa de valor 1.

• Treballarem el sinus i cosinus amb graus sexagesimals, és a dir que cal assegurar-se que la calculadora fa $\sin (90^{\circ })=1$ ja que hi ha de més tipus.

Exemple

Donat un triangle rectangle amb una hipotenusa de longitud 1 metre i un angle de $23^{\circ }$ llavors tenim que:

• El catet oposat mesura $\sin (23^{\circ })=0,390731$ metres.

• El catet contigu mesura $\cos (23^{\circ })=0,920505$ metres.

Exercicis bàsics

1) S'ha de calcular les mesures del triangle rectangle de hipotenusa 1 i un angle $\alpha =45^{\circ }.$ $\sin (\alpha )=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=0,7071$ $\cos (\alpha )=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=0,7071$ El triangle és el 45°, 45° i 90°. 2) S'ha de calcular les mesures del triangle rectangle $\alpha =30^{\circ }.$ $\sin (\alpha )=\frac{1}{2}=0,5$ $\cos (\alpha )=\frac{\sqrt{3}}{2}=0,866$ El triangle és el 30°, 60° i 90°. 3) Suposem que tenim el triangle anterior i el angle és $\alpha =25^{\circ }.$ per tant tenim: $\sin (\alpha )=0,4226$ $\cos (\alpha )=0,9063$ El triangle és el 25°, 65° i 90°.

Hem d'anar en compte de que els triangles no es presenten en la mateixa posició que el dibuix per això es faran exercicis de pràctica amb diferents posicions durant la explicació del contingut.

Amb calculadores

Recordeu ajustar la calculadora amb Mode Fix fins que $\sin (90)=1.$

Les funcions $\sin (\alpha )$ i $\cos (\alpha )$ estan definides a les calculadores científiques.

Recordeu posar parèntesis, per tecles escrivim: "sin", "(", 35° i ")".

Recordeu que per calcular l'angle partint de la longitud escriviu: "inv", "sin", "(", 0.823 i ")".

Hi ha calculadores que a les inverses anomenen ${\sin }^{-1}$ o simplement ArcSin. El mateix per cosinus i tangent.

Sinus, cosinus i tangent

Taula de les fórmules amb l'aïllament corresponent a cada valor:

	$\sin (\alpha )=\frac{c}{a}$	$\cos (\alpha )=\frac{b}{a}$	$\tan (\alpha )=\frac{c}{b}$
	$\alpha ={\sin }^{-1}\left(\frac{c}{a}\right)$	$\alpha ={\cos }^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$	$\alpha ={\tan }^{-1}\left(\frac{c}{b}\right)$
	$c=\sin (\alpha )\cdot a$	$b=\cos (\alpha )\cdot a$	$c=\tan (\alpha )\cdot b$
	$a=\frac{c}{\sin (\alpha )}$	$a=\frac{b}{\cos (\alpha )}$	$b=\frac{c}{\tan (\alpha )}$
Per semblança podem deduir com identificar el sinus, cosinus i la tangent partint del triangle inicial: $\stackrel{\times \frac{1}{a}}{\to }$ $\stackrel{}{\to }$ $\stackrel{}{\to }$ Com $\sin (\alpha )=\frac{c}{a}$ i $\cos (\alpha )=\frac{b}{a}$ I per definició de la tangent tenim que $\tan (\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}$ només cal saber que: $\tan (\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}=\frac{\frac{c}{a}}{\frac{b}{a}}=\frac{c}{b}$ Per tant és correcta la fórmula $\tan (\alpha )=\frac{c}{b}.$

Esquema que suprimeix els noms referint-se a la posició que ocupa respecte l'angle desitjat dins un mateix triangle rectangle, tenint en compte:

• Catet Oposat ( CO ) és el costat que està davant del mateix angle.

• Catet Adjacent ( CA ) és el costat que uneix el mateix angle i l'angle recte.

• Hipotenusa ( H ) és el costat més llarg que està davant de l'angle recte del mateix triangle.

	$\sin (angle)=\frac{CatetOposat}{Hipotenusa}$
	$\cos (angle)=\frac{CatetAdjacent}{Hipotenusa}$
	$\tan (angle)=\frac{CatetOposat}{CatetAdjacent}$

Exercicis

Exemples

1) Calculeu tots els valors desconeguts proposats: Per calcular tot un triangle rectangle només necessito un parell de dades, per tant, puc calcular el triangle rectangle més petit: $\cos (60^{\circ })=\frac{50}{b}\Rightarrow$ $b=\frac{50}{\cos (60^{\circ })}$ = 100m. $\tan (60^{\circ })=\frac{c}{50}\Rightarrow$ $c=\tan (60^{\circ })\cdot 50$ = 86,6m. Ara ja podem calcular el costat a del triangle rectangle més gran, perquè tenim el catet c, per tant: $\sin (35^{\circ })=\frac{86,6}{a}\Rightarrow$ $a=\frac{86,6}{\sin (35^{\circ })}$ = 150,98m. $\tan (35^{\circ })=\frac{86,6}{x+50}\Rightarrow$ $x+50=\frac{86,6}{\tan (35^{\circ })}$ = 123,6m. x=123,6-50=73,6m és la distància buscada. 2) Calculeu el valor de x que és la distància entre les illes del dibuix: Clarament tenim dues dades per calcular-ho tot, però, per arribar a x hem de passar d'un triangle al altre ràpidament saltant de catet en catet: $\tan (60^{\circ })=\frac{b}{500}\Rightarrow$ $b=\tan (60^{\circ })\cdot 500$ = 866,0254 m. $\tan (35^{\circ })=\frac{x}{866,0254}\Rightarrow$ $x=\tan (35^{\circ })\cdot 866,0254$ =606,3975 m és la distància entre les illes del dibuix.

Relació circular entre el sinus i cosinus

Aplicant Pitàgores al triangle rectangle trigonomètric obtenim la relació:

$1^2=sin(\alpha {)}^2+cos(\alpha {)}^2$

Mode simplificat d'escriure el mateix:

$1=si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha$

Aquestes fórmules cobreixen tots els possibles triangles mesurant l'angle que fa la hipotenusa des de la semirecta horitzontal positiva. La semirecta horitzontal s'inicia al punt (0, 0) i s'allarga per sobre del punt (1, 0).

Codi desplegable del programa que permet fer una imatge interactiva. Es pot fer l'arxiu Trig.SVG amb qualsevol editor de text.

<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="400" height="200" onload="startup()" onmousemove="moveIt(evt)"> <script><![CDATA[ function startup(){ Gx=document.getElementById("vx"); Gy=document.getElementById("vy"); Gd=document.getElementById("vd"); An=document.getElementById("ang"); txAlf=document.getElementById("alf"); cos=document.getElementById("atx"); sin=document.getElementById("aty"); cAlf=document.getElementById("alfC"); } function moveIt(evt){ x=evt.pageX-100; y=evt.pageY-100; z=Math.sqrt(x*x+y*y); if(z==0){x=0;y=0;g=0;} else{x=x/z;a=x*20;cos.firstChild.nodeValue="x = "+x; y=y/z;b=y*20;sin.firstChild.nodeValue="y = "+(-y); g=-Math.asin(y)/3.1415926535897932384626433832795*180;if(x<=0){g=180-g;};if(g<0){g=g+360;} g1=Math.trunc(g); ga=(g-g1)*60; g2=Math.trunc(ga); gb=(ga-g2)*60; g3=Math.trunc(gb); gc=(gb-g3)*60; g4=Math.trunc(gc); gd=(gc-g4)*60; g5=Math.trunc(gd); } x=x*90;y=y*90; txAlf.firstChild.nodeValue="α = "+(g)+"º"; cAlf.firstChild.nodeValue=(g1)+"º"+(g2)+"'"+(g3)+"''"+g4+"'''"+g5+"''''"; if(x>=0){Gx.setAttributeNS(null,"d","m100,100h"+x+"l-10,-3m0,6l10,-3");} else{ Gx.setAttributeNS(null,"d","m100,100h"+x+"l10,-3m0,6l-10,-3");} if(y>0){ Gy.setAttributeNS(null,"d","m100,100v"+y+"l-3,-10m6,0l-3,10");} else{ Gy.setAttributeNS(null,"d","m100,100v"+y+"l3,10m-6,0l3,-10"); } Gd.setAttributeNS(null,"transform","rotate("+(-g)+")"); if(b<0){ An.setAttributeNS(null,"d","m100,100l20,0a20,20 0,0,0 "+(a-20)+","+(b)+"z");} else{ An.setAttributeNS(null,"d","m100,100l20,0a20,20 0,1,0 "+(a-20)+","+(b)+"z");} } ]]></script> <g transform="translate(0.5,0.5)"> <circle cx="100" cy="100" r="90" fill="none" stroke="black" stroke-width="1"/> <path id="ang" d="" fill="#8f8" stroke-width="1" stroke="#fa0"/> <path d="m0,100h200M100,0v200" fill="none" stroke="black" stroke-width="1"/> <path id="vx" d="" fill="none" stroke-width="1" stroke="#f00"/> <path id="vy" d="" fill="none" stroke-width="1" stroke="#00f"/> <g transform="translate(100,100)"><g id="vd" transform="rotate(0)"> <path d="m0,0h90l-10,5m0,-10l10,5" fill="none" stroke-width="1" stroke="#fa0"/> </g></g> </g> <text id="alf" x="200" y="20">α = 0º</text><text id="alfC" x="225" y="40">0º</text> <text id="atx" x="200" y="60">x</text><text id="aty" x="200" y="80">y</text> </svg>

Veure l'aplicació activa

Exemples

1) Construeix els triangles rectangles d'angles 40°, 120°, 230° i -50° dins la circumferència unitat. Solució: Els triangles sempre queden definits amb els tres punts $(0,0),(\cos \alpha ,0)$ i $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ sobre el pla amb coordenades. Dibuixa'l. 2) Calculeu l'altura h del castell proposat: Solució: Aplicant tangent als dos angles obtenim una equació fàcil de resoldre: $\tan 70^{\circ }=\frac{h}{fossat}\Rightarrow$ $h=\tan 70^{\circ }\cdot fossat$ $\tan 30^{\circ }=\frac{h}{100+fossat}\Rightarrow$ $h=\tan 30^{\circ }\cdot (100+fossat)$ Igualem i tenim: $h=\tan 70^{\circ }\cdot fossat=\tan 30^{\circ }\cdot (100+fossat)$ Distribuint: $\tan 70^{\circ }\cdot fossat=\tan 30^{\circ }\cdot 100+\tan 30^{\circ }\cdot fossat$ Aïllant: $\tan 70^{\circ }\cdot fossat-\tan 30^{\circ }\cdot fossat=\tan 30^{\circ }\cdot 100$ Factor comú fossat i aïllant: $fossat=\frac{\tan 30^{\circ }\cdot 100}{\tan 70^{\circ }-\tan 30^{\circ }}$ = 26,6m Finalment: $h=\tan 70^{\circ }\cdot fossat=\tan 70^{\circ }\cdot 26,6$ = 73,1m 3) Calculeu el valor de x en el dibuix següent: Solució: Apliquem successivament tangent per passar de catet en catet: $\tan 40^{\circ }=\frac{a}{20}\Rightarrow$ $a=\tan 40^{\circ }\cdot 20$ = 16,78cm $\tan 50^{\circ }=\frac{16,78}{b}\Rightarrow$ $b=\frac{16,78}{\tan 50^{\circ }}$ = 14,1cm $\tan 70^{\circ }=\frac{14,1}{x}\Rightarrow$ $x=\frac{14,1}{\tan 70^{\circ }}$ = 5,13cm 4) Ens donen la distancia entre la terra i el sol, la Unitat Astronòmica (1UA = 149597870700) i ens demanen el diàmetre del sol tenint en compte que l'angle amb el que es veu és 0,53°. 5) Càlcul de l'alçada total d'un edifici: Solució: Veiem que verticalment el camp visual del espectador forma dos triangles rectangles i que el catet entre els angles coneguts mesura 10m. $\tan 50^{\circ }=\frac{a}{10}\Rightarrow$ $a=\tan 50^{\circ }\cdot 10$ = 11,9m $\tan 70^{\circ }=\frac{b}{10}\Rightarrow$ $b=\tan 70^{\circ }\cdot 10$ = 27,47m Per tant l'alçada total és de 39,4 metres. 6)

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO