Vectors i punts IV

La noció de punt i vector ha anat madurant al llarg del temps. Els matemàtics tenen definicions rigoroses amb una profunditat que supera l'establert per aquest curs.

Els punts i vectors es poden situar particularment dins d'espais de dimensió $n$ del tipus $\mathbb {R} ^{n}.$ En aquesta secció només veurem els vectors per a dos dimensions, és a dir, $n=2:$

• El pla cartesià és el conjunt de punts coordenats simbolitzat com un conjunt del tipus $\mathbb {R} ^{2}$.

• Els elements del pla cartesià són dos nombres reals ordenats, és a dir $\{\,(\,x,\,y\,)\,|\;x\in \mathbb {R} \,\,i\,\,y\in \mathbb {R} \;\}$.

En cursos superiors es veurà que aquesta idea es pot estendre a punts i vectors dins l'espai de 3 o més dimensions, i també es pot estendre a altres objectes més inesperats.

Didàcticament, en aquest tema es començarà la casa per la teulada teòrica, és a dir, s'introduirà com són els punts i vectors, i es deixa de banda el significat d'espai afí(espai de punts) i el d'espai vectorials(espai de vectors) que es deixa per cursos més enllà del batxillerat.

Introducció

Introducció a grans trets del que es pot fer amb els elements que apareixen dins d'aquest tema.

Vectors

Els vector es nomenen amb lletres minúscula amb una fletxa a sobre seu, s'anoten com elements ${\vec {a}}=(\,x,\,y\,)$ del pla $\mathbb {R} ^{2},$ és a dir, que és un parell ordenat de nombres, que:

• Sempre es poden sumar entre ells i donar així un altre vector ${\vec {w}}={\vec {u}}+{\vec {v}}.$

${\begin{array}{rlc}&{\vec {u}}=&(\,u_{1},\,u_{2}\,)\\+&{\vec {v}}=&(\,v_{1},\,v_{2}\,)\\\hline &{\vec {u}}+{\vec {v}}=&(u_{1}+v_{1},\,u_{2}+v_{2})\end{array}}\,\,\,\,\,$ o bé $(u_{1},\,u_{2})+(v_{1},\,v_{2})=(u_{1}+v_{1},\,u_{2}+v_{2}).$

${\begin{array}{rlcl}&{\vec {u}}=&(\,\,\,2,\,-1\,)\\+&{\vec {v}}=&(\,-4,\,\,\,8\,)\\\hline &{\vec {w}}=&(2-4,-1+8)&=(-2,7)\end{array}}$

• Sempre es poden multiplicar per un nombre real, $\lambda ,$ i donar així un altre vector ${\vec {w}}=\lambda \cdot {\vec {u}}.$

${\begin{array}{rlc}&{\vec {u}}=&(\,u_{1},\,u_{2}\,)\\\times &\lambda \\\hline &\lambda \cdot {\vec {u}}=&(\lambda \cdot u_{1},\lambda \cdot u_{2})\end{array}}\,\,\,\,\,$ o bé $\lambda \cdot (u_{1},u_{2})=(\lambda \cdot u_{1},\,\lambda \cdot u_{2})$

${\begin{array}{rlcl}&{\vec {u}}=&(\,-7,\,\,\,2\,)\\\times &\lambda =&4'1\\\hline &{\vec {w}}=&(4'1\times (-7),4'1\times 2)&=(-28'7,8'2)\end{array}}$

L'únic element neutre respecte la suma

Un vector és l'element neutre si quan es suma amb un altre el deixa igual.

$(a,\;b)+(0,\;0)=(a,\;b)$ clarament el $(0,\;0)$ és l'element neutre respecte la suma i clarament no hi ha cap més.

Notació d'un vector negatiu

${\vec {u}}=(2,\;3)$ llavors $-{\vec {u}}=(-1)\cdot (2,\;3)=((-1)\cdot 2,\;(-1)\cdot 3)=(-2,\;-3)$

Un vector és l'oposat additiu, és a dir, que és un vector negatiu a un altre, si en sumar-los dona l'element neutre respecte la suma.

$(a,\;b)+(-(a,\;b))=(a,\;b)+(-a,\;-b)=(a-a,\;b-b)=(0,\;0)$

Punts

El nom dels punts es posen amb lletres majúscules o minúscules segons l'ús, en aquesta secció s'utilitza majúscules preferentment, la notació d'un punt com a element del pla $\mathbb {R} ^{2}$ és $A=(\,x,\,y\,)$ i:

• Designen llocs estàtics al pla.

• No hi ha punts més destacats que uns altres.

Punts amb vectors

Conceptes i normes per barrejar vectors i punts:

• Translació o vector lliure: Un vector, com a translació, permet anar d'un punt a un altre punt; l'operació que permet això és la suma: un punt origen més un vector translació és un punt destí, $A+{\vec {v}}=B.$

${\begin{array}{rlc}&A=&(\,A_{1},\,A_{2}\,)\\+&{\vec {v}}=&(\,v_{1},\,v_{2}\,)\\\hline &A+{\vec {v}}=&(A_{1}+v_{1},A_{2}+v_{2})\end{array}}$

${\begin{array}{rlcl}&A=&(\,\,\,5,\,\,\,3\,)\\+&{\vec {v}}=&(\,-2,\,\,\,1\,\,\,)\\\hline &B=&(5-2,3+1)&=(3,\,4)\end{array}}$

• Vector fix: L'element que uneix dos punts és un vector, l'operació que permet obtenir aquest vector està definit per l'operació resta de coordenades entre dos punts: un punt destí menys un punt origen és un únic vector, ${\overrightarrow {AB}}=B-A.$ Un conjunt de vectors és considera fix, si uneixen un mateix punt origen amb la resta de punts de destí.

${\begin{array}{rlc}&B=&(\,B_{1},\,B_{2}\,)\\-&A=&(\,A_{1},\,A_{2}\,)\\\hline &A-B=&(B_{1}-A_{1},B_{2}-A_{2})\end{array}}$

${\begin{array}{rlc}&B=&(\,\,\,1,\,\,\,2\,)\\-&A=&(\,-3,\,\,\,1\,)\\\hline &{\overrightarrow {BA}}=&(1-(-3),2-1)&=(4,1)\end{array}}$

Cal remarcar que aquesta distinció és artificiosa per ajudar a lligar conceptes en dues situacions particulars.

Exemples elementals

1) Estem al lloc $A=(3,\,2)$ i ens traslladem a un lloc $B$ amb el vector ${\vec {v}}=(-1,\,1).$ En quin lloc estic?

L'únic que s'ha de fer és escriure la situació i la solució surt directament: $A+{\vec {v}}={\text{¿}}B?$ $\Rightarrow (3,\,2)+(-1,\,1)=(3-1,\,2+1)=(2,\,3)$ $\Rightarrow B=(2,\,3).$

2) Quin vector surt del punt $a=(2,\,-3)$ i arriba al punt $b=(-1,\,-4)$? És important dibuixar els punts amb el vector.

Sabem que $a+{\text{¿}}{\vec {v}}?=b,$ llavors només cal aïllar el vector i queda com ${\text{¿}}{\vec {v}}?=b-a$ per tant només cal fer aquesta operació: ${\vec {v}}={\vec {ab}}=b-a=(-1,\,-4)-(2,\,-3)=\left(-1-2,\,-4-(-3)\right)=(-3,\,-1)$ També es pot fer la operació com: ${\begin{array}{rcr}&(-1,-4)\\-&(2,-3)\\\hline &(-1-2,-4-(-3))&=(-3,\,-1)\end{array}}$ Es pot dibuixar com una fletxa recta que surt des de a amb la punta o cap sobre b.

3) Estic al punt $a=(4,\,0),$ em trasllado amb el vector ${\vec {v}}$ després amb el vector ${\vec {u}}=(-1,1)$ i finalment estic al punt $b=(-1,\,2).$ Quin és el vector ${\vec {v}}$? És important dibuixar els punts amb el vector.

Es planteja l'equació $a+{\text{¿}}{\vec {v}}?+{\vec {u}}=b$ i aïllant es té: ${\vec {v}}=b-{\vec {u}}-a=(-1,\,2)-(4,\,0)-(-1,1)=(-1-4+1,\,2-0-1)=(-4,\,1)$

4) Construcció d'una casa en format *.svg unint tots els punts finals partint sempre d'un mateix punt $a=(1,\,2)$ cada cop i sumant els vectors següents per cada element de la casa. a) Casa: ${\vec {v_{1}}}=(-3,\,-3)$, ${\vec {v_{2}}}=(3,\,-3)$, ${\vec {v_{3}}}=(3,\,3)$, ${\vec {v_{4}}}=(0,\,5)$ i ${\vec {v_{5}}}=(-3,\,3).$ b) Porta: ${\vec {u_{1}}}=(-2,\,-3)$, ${\vec {u_{2}}}=(-1,\,-3)$, ${\vec {u_{3}}}=(-1,\,-1)$ i ${\vec {u_{4}}}=(-2,\,-1).$ c) Finestra: ${\vec {w_{1}}}=(0,\,-2)$, ${\vec {w_{2}}}=(0,\,-1)$, ${\vec {w_{3}}}=(2,\,-1)$ i ${\vec {w_{4}}}=(2,\,-2).$ d) Placa solar: ${\vec {s_{1}}}=(-2,\,1)$, ${\vec {s_{2}}}=(-2,\,3)$, ${\vec {s_{3}}}=(2,\,3)$ i ${\vec {s_{4}}}=(2,\,1)$

Els dos darrers nombres de la matriu matrix indica el punt a=(1,2) és l'origen. <g transform="matrix(1,0,0,1,1,2)"> <path id="casa" d="M-3,-3L3,-3 3,3 0,5 -3,3z" stroke="#f8f" fill="none" stroke-width="0.1"/> </g> El camí de línies és una d="M on la majúscula M indica que el camí s'inicia en a. El -3,-3 no és més que el vector ${\vec {v_{1}}}=(-3,\,-3),$ on han estalviat cada parèntesi. La majúscula L fa que tots els vectors es reiniciïn des de la posició a unint-los amb línies rectes. La resta de nombres 3,-3 3,3 0,5 -3,3 són els 4 vectors següents també des del punt a. La z és per tancar el dibuix.

5) Construcció en un arxiu vectorial SVG d'una figura dibuixant amb vectors successivament partint un sol cop del punt origen $b=(4,\,4),$ és semblant un cuc de fletxes. El dibuix és una imatge simètrica, per tant, és més fàcil veure'n els errors.

${\vec {u_{1}}}=(1,\,2)$, ${\vec {u_{2}}}=(0,\,2)$, ${\vec {u_{3}}}=(-1,\,1)$, ${\vec {u_{4}}}=(-1,\,-1)$, ${\vec {u_{5}}}=(0,\,-2)$, ${\vec {u_{6}}}=(2,\,-4)$, ${\vec {u_{5}}}$, ${\vec {u_{4}}}$, ${\vec {u_{3}}}$, ${\vec {u_{2}}}$, ${\vec {u_{1}}}$, ${\vec {u_{7}}}=(2,\,1)$, ${\vec {u_{8}}}=(2,\,0)$, ${\vec {u_{9}}}=(1,\,-1)$, ${\vec {u_{4}}}$, ${\vec {u_{10}}}=(-2,\,0)$, ${\vec {u_{11}}}=(-4,\,2)$, ${\vec {u_{10}}}$, ${\vec {u_{4}}}$, ${\vec {u_{9}}}$, ${\vec {u_{8}}}$ i ${\vec {u_{7}}}.$

Codi resultat amb un dibuix vectorial SVG:

d="M4,4l1,2 0,2 -1,1 -1,-1 0,-2 2,-4 0,-2 -1,-1 -1,1 0,2 1,2 2,1 2,0 1,-1 -1,-1 -2,0 -4,2 -2,0 -1,-1 1,-1 2,0 2,1"

La primera parella de valors M4,4 serà el punt origen b.

La ela minúscula "l" fa que els vectors formin una cadena que surt del punt origen b fent un camí amb tots els punts.

S'observa que aquest escrit per dibuixar vectors successius estalvia tots els parèntesis deixant simplement espais.

Nota: la imatge del dibuix es pot descarregar en *.svg i dibuixar canviant els valors dels vectors amb qualsevol editor de text sense format: Llibreta, Notes o "aquest editor text".

Exercicis

1) Tenint en compte l'exemple 4: 1r Dibuixeu el vostre prototip de casa sobre paper: un perfil, una porta i una finestra. 2n Descarregueu l'arxiu de la casa en una carpeta o escriptori: Clica aquí per obrir-lo i descarregar-lo o "desar com a". 3r Obriu l'arxiu descarregat amb "obrir com" i busqueu l'elecció de "llibreta" o "bloc de notes", pels que tenen Chromebook utilitzeu editor web. 4t Editeu-lo segons el vostre dibuix desant-lo cada cop i amb el navegador aneu mirant els canvis visuals desats. 5è Un cop finalitzada la edició es desa com a NomCognom.svg obligat afegir svg i obligat seleccionar l'opció "tots els fitxers", sinó el editor fa el que vol. 6è Penjar-lo al classroom directament com a arxiu, no feu cas de la interpretació del classroom ja que s'obriran amb una carpeta per a la revisió. 2) Exercici de construcció d'un castell simple, uns 10 punts, aplicat sobre un dibuix SVG donat. Primer: Descàrrega del arxiu Clica aquí per obrir-lo i descarregar-lo. Segon: Editeu amb el bloc de notes la cadena d="M3,3l1,2 0,2 -1,1 -1,-1 ... per substituir-los pels vostres vectors aquest cop vectors successius, és a dir, un darrere l'altre. Tercer: Paral·lelament, per veure el progrés del dibuix, només cal obrir el mateix arxiu amb un navegador bo i veure el nostre dibuix com es va fent. Quart: un cop ha quedat el castellet petit, l'imprimiu(blanc i negre). 3) Estic al punt $A=(-4,\,-1),$ puc arribar a casa meva en línia recta utilitzant el vector ${\vec {u}}=(2,\,1)$ i en repetir-ho 2'3 vegades. On està casa meva B? M'he trobat un amic que anava des de casa seva situat al punt $C=(-3,\,4)$ en direcció a la biblioteca al punt $D=(0,\,-2)$ en línia recta On ens hem trobat? 4) Visc al punt $A=(-1,\,1),$ sé que a mig camí de casa meva i el punt $B=(-3'5,\,2'4)$ tinc amagat un tresor. On tinc el tresor? Quan he fet la tercera part del camí de A a B he ensopegat. On he ensopegat?

Longitud d'un vector

Com que els nostres vectors uneixen 2 punts o ens envien del primer punt al segon punt, direm que la seva longitud o mòdul serà la distància entre aquests dos punts.

$Longitud({\vec {u}})=\|(u_{1},\,u_{2})\|$ $={\sqrt {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}}$

Angle respecte l'horitzontal

L'angle d'un vector en sentit antihorari respecte l'horitzontal és:

$\theta =Angle({\vec {u}})$ $=Angle(u_{1},\,u_{2})$ $=\arctan \left({\frac {u_{2}}{u_{1}}}\right)$ $=\tan ^{-1}\left({\frac {u_{2}}{u_{1}}}\right)$

Si el vector té alguna coordenada negativa la reconstrucció de l'angle es fa seguint l'esquema següent donat, només hem de saber reconstruir un triangle rectangle amb base la coordenada x, altura la coordenada y i calcular l'angle del triangle considerant els costats positius sempre.

Si ens demanen l'angle $\theta$ per a construir-lo en coordenades polars llavors hem de fer les operacions indicades a l'esquema que depenen del quadrant.

En cursos superiors es pot simplificar l'esquema investigant el comportament de les fórmules trigonomètriques que ens permetran utilitzar coordenades negatives amb propietat.

Exemples

1) Calculeu el mòdul i l'angle respecte l'horitzontal del vectors donats:

a) ${\vec {u}}=(6,\,6).$

b) ${\vec {v}}=(-3,\,4).$

c) ${\vec {w}}=(-2,\,-2).$

d) ${\vec {a}}=(12,\,-5).$

2) Dibuixa els vectors amb el triangle per calcular el modul i després calcula l'angle $\theta$ per situar-lo en coordenades polars.

a) ${\vec {u}}=(5,\,-1).$

b) ${\vec {v}}=(-3,\,-5).$

c) ${\vec {w}}=(-2'5,\,2'5).$

d) ${\vec {a}}=(1,\,5).$

3) Reconstrueix els vectors segons les dades de $\theta _{\vec {u}}$ i longitud o mòdul $L_{\vec {u}}:$
	a) Vector de $\theta _{\vec {u}}=45^{\circ }$ i de $L_{\vec {u}}={\sqrt {\,2\,}}.$
	El valor de l'angle de $45^{\circ }$ ens indica que estem al primer quadrant, I, i només cal reconstruir el triangle sobre el pla cartesià de tal manera que la hipotenusa serà el vector ${\vec {u}}=(u_{1},\,u_{2})$ a reconstruir: $u_{1}={\sqrt {\,2\,}}\cdot \cos(45^{\circ })=2.$ $u_{2}={\sqrt {\,2\,}}\cdot \sin(45^{\circ })=2.$ Per tant el vector és ${\vec {u}}=(2,\,2).$
	b) Vector de $\theta _{\vec {v}}=200^{\circ }$ i de $L_{\vec {v}}={\sqrt {\,2\,}}.$
	El valor de l'angle de $200^{\circ }$ ens indica que estem al tercer quadrant, III, i només cal reconstruir el triangle de tal manera que la hipotenusa serà el vector ${\vec {u}}=(u_{1},\,u_{2})$ a reconstruir amb les mides positives i després situar-lo al pla cartesià afegint els signes corresponents a posteriori: $u_{1}={\sqrt {\,2\,}}\cdot \cos(200^{\circ })=-1'328\,926u.$ $u_{2}={\sqrt {\,2\,}}\cdot \sin(200^{\circ })=-0'483\,689u.$ Per tant el vector és ${\vec {u}}=(-1'328\,926,\,-0'483\,689).$
	c) Vector de $\theta _{\vec {w}}=300^{\circ }$ i de $L_{\vec {w}}=5.$
	El valor de l'angle de $300^{\circ }$ ens indica que estem al quart quadrant, IV, i només cal reconstruir el triangle de tal manera que la hipotenusa serà el vector ${\vec {u}}=(u_{1},\,u_{2})$ a reconstruir amb les mides positives i després situar-lo al pla cartesià afegint els signes corresponents a posteriori: $u_{1}=5\cdot \cos(300^{\circ })=2,5u.$ $u_{2}=5\cdot \sin(300^{\circ })=-4,330\,124u.$ Per tant el vector és ${\vec {u}}=(2'5,\,-4'330\,124).$
	d) Vector de $\theta _{\vec {a}}=90^{\circ }$ i de $L_{\vec {a}}=2.$
	El valor de l'angle de $90^{\circ }$ ens indica que estem la ordenada a la part positiva on el vector és de la forma ${\vec {u}}=(0,\,L_{\vec {a}})$ de fet amb el mateix procediment queda: $u_{1}=2\cdot \cos(90^{\circ })=0u.$ $u_{2}=2\cdot \sin(90^{\circ })=2u.$ Per tant el vector és ${\vec {u}}=(0,\,2).$
	e) Vector de $\theta _{\vec {b}}=180^{\circ }$ i de $L_{\vec {b}}=2\,cm.$
	El valor de l'angle de $180^{\circ }$ ens indica que estem la abscissa a la part negativa on el vector és de la forma ${\vec {u}}=(-L_{\vec {a}},\,0)$ de fet amb el mateix procediment queda: $u_{1}=2\cdot \cos(180^{\circ })=-2\,cm.$ $u_{2}=2\cdot \sin(180^{\circ })=0\,cm.$ Per tant el vector és ${\vec {u}}=(-2,\,0).$

4) Hem fet una quadrícula $10\times 10$ amb coordenades al terra i sabem que una formiga situada al punt $A=(-3,\,1)$ es mou exclusivament utilitzant tots múltiples del vector ${\vec {u}}=(1,-1).$ Es vol determinar el lloc geomètric del seu moviment, dibuixant de tots els punts on es pot moure la formiga. Per això s'introdueix el multiplicador $\lambda$ al vector ${\vec {u}}$ i que pot prendre qualsevol valor que es vulgui.

Quina és l'equació d'aquest fet com a punt i vector?. S'ha de dibuixar també.

Hem de fer el que diu l'enunciat i ja hem acabat: $(x,y)=A+\lambda \cdot {\vec {u}}$ El que tenim en realitat és la coneguda com equació paramètrica i $\lambda$ és el seu paràmetre: $(x,y)=(-3,\,1)+\lambda \cdot (1,\,-1).$

Es pot simplificar la variable $\lambda$?.

Operant la multiplicació i sumant el punt obtenim: $(x,y)=(-3,\,1)+(\,\lambda \cdot 1,\,\lambda \cdot (-1)\,)$ $\Rightarrow \,(x,y)=(-3+\lambda \cdot 1,1+\lambda \cdot (-1))$ El que es fa és separar aquestes dues coordenades d'aquesta equació obtenint dues equacions: Per la primera coordenada: $x=-3+\lambda \cdot 1$ Per la segona coordenada: $y=1+\lambda \cdot (-1)$ Hem de fer substitució aïllant $\lambda$ d'una equació i substituir-la a l'altra: De la primera equació obtenim que $\lambda =x+3$ Substituint a la segona obtenim $y=1+(x+3)\cdot (-1)$ i operant tenim: $y=1-x-3$ $\Rightarrow y=-2-x$

En cas de simplificar-la, que em queda?. S'ha de comprovar també

El que em queda és una recta en funció de x i y. $y=-2-x$ D'aquest vector ${\vec {u}}$ se'n diu vector director d'aquesta recta. Només cal comprovar si els dos punts, $(x,\,y)=(-3,\,1)$ i $(x,\,y)=(-2,\,0)$, que surt al dibuixar, estan dins la recta fent substitució d'aquests valor a la recta: $(1)=-2-(-3)\Rightarrow 1=1$ És cert, per tant, aquest punt sí està sobre la recta. $(0)=-2-(-2)\Rightarrow 0=0$ És cert, per tant, aquest punt també està sobre la recta. Ja hem acabat la comprovació.

5) Calcula la recta que passa pel punt $B=(2,\,-2)$ i té com a vector director ${\vec {v}}=(1,\,3).$

6) Calcula la recta que passa pel punt $C=(-3,\,4)$ i té com a vector director ${\vec {w}}=(2,\,-3).$

7) Partint del punt $A=(-1,\,-2)$ volem veure quantes vegades hem d'utilitzar els vectors ${\vec {v}}=(1,\,0)$ i ${\vec {u}}=(0,\,1)$ per arribar al punt $B=(5,\,7).$

Ens està demanant construir una combinació lineal de vectors i això es fa utilitzant una incògnita per a cada vector i per obtenir un vector únic suma: $B=A+\lambda \,{\vec {u}}+\gamma \,{\vec {v}}$ $\Rightarrow (5,\,7)=(-1,\,-2)+\lambda \,(0,\,1)+\gamma \,(1,\,0)$ Separant per coordenades com a dues equacions i únicament aïllant les incògnites o paràmetres surt el valor: ${\begin{cases}5=-1+\,\,\,0\,\,\,+\gamma \cdot 1\\7=-2+\lambda \cdot 1+\,\,\,0\,\,\,\end{cases}}$ $\,\,\Rightarrow \,\,{\begin{cases}5+1=\gamma \\7+2=\lambda \end{cases}}$ $\,\,\Rightarrow \,\,{\begin{cases}\gamma =6\\\lambda =9\end{cases}}$ Per tant per sortir d'A i arribar a B cal utilitzar 6 vegades el vector ${\vec {v}}$ i 9 vegades el vector ${\vec {u}}.$

Dimensió

En aquesta secció només volem fer un esborrany de la forma com es veuen les dimensions des del punt de vista pràctic usant coordenades.

• Quan tenim una sola coordenada vol dir que només podem determinar la posició dins un fil per exemple. No el treballarem.

• Quan tenim dues coordenades vol dir que només podem determinar la posició dins d'un full per exemple.

• Quan tenim tres coordenades vol dir que només podem determinar la posició a l'espai 3D. No el treballarem.

• Quan tenim quatre coordenades vol dir que determinem punts en 3D+temps. No el treballarem.

Operacions amb vectors

Recull de possibles operacions que es veuen als cursos de secundaria particularment.

Producte escalar

Producte de dos vectors a escalar, el resultat és un nombre real $s={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$:

${\begin{array}{rc}&(a_{1},a_{2})\\\times &(b_{1},b_{2})\\\hline &a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}\end{array}}$

Producte vectorial

Producte de dos vectors a vector, dona un com a resultat un vector perpendicular als dos vectors inicials. Aquesta operació apareix als següents cursos, però, evidentment amb 3 dimensions.

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO