Vectors i punts IV

La noció de punt i vector s'ha anat modificant al llarg del temps. En aquest moment els matemàtics ja porten un bon temps amb definicions rigoroses que tenen una profunditat que supera l'establert per aquest curs, per això presentem una comparativa fàctica de les seves propietats en el cas molt i molt particular del seu ús i les seves definicions en el pla cartesià també simbolitzat per $\mathbb {R} ^{2}$ on els punts són dos nombres reals ordenats.

Introducció

Si parlem de vector llavors parlem de elements que:

• Es poden sumar.

Sempre hi ha un vector suma de altres dos ${\vec {w}}={\vec {v}}+{\vec {w}}$

• Es poden multiplicar per un nombre.

Sempre hi ha un vector que surt de multiplicar un altre per un nombre real ${\vec {w}}=\lambda \cdot {\vec {w}}$

No tenen un lloc assignat fins que no li assignin un.

Si parlem de punts llavors parlem de elements que:

• Són un lloc estàtic en el pla.

De bon principi no es poden combinar per fer altres punts.

Definició

La nostra definició de vector al pla és una construcció particular, artificial, molt pràctica i còmoda per treballar amb dues coordenades.

Definició: anomenem vector del punt a al punt b a un element ${\vec {u}}$ tal que:

${\vec {v}}=b-a$

Notació: ${\vec {u}}={\vec {ab}}$

S'ha establert una definició de vector construït partint de les coordenades de dos punts, casualment podem aïllar la incògnita que vulguem:

${\vec {v}}=b-a$

${\vec {v}}+a=b$

$a=b-{\vec {v}}$

Veiem exemples pràctics:

Exemple:

1) Quin vector surt del punt $a=(2,\,3)$ i arriba al punt $b=(-1,\,-4)$? És important dibuixar els punts amb el vector.

Solució: És el vector ${\vec {v}}={\vec {ab}}=b-a=(-1,\,-4)-(2,\,3)=(-1-2,\,-4-3)=(-3,\,-7)$

Es pot fer així per comoditat abusant de la notació: ${\begin{array}{r}(&-1,&-4)\\-(&2,&3)\\\hline (&-3,&-7)\end{array}}$

El podeu dibuixar com una fletxa recta que surt des de a amb la punta del cap sobre b.

2) Quin vector surt del punt $a=(4,\,0)$ i arriba al punt $b=(-1,\,2)$? És important dibuixar els punts amb el vector.

Solució: És el vector ${\vec {v}}={\vec {ab}}=b-a=(-1,\,2)-(4,\,0)=(-1-4,\,2-0)=(-5,\,2)$

3) Construcció unint tots els punts finals partint sempre d'un mateix punt $a=(1,\,2)$ cada cop.

a) Vèrtex d'una casa: ${\vec {v_{1}}}=(-3,\,-3)$, ${\vec {v_{2}}}=(3,\,-3)$, ${\vec {v_{3}}}=(3,\,3)$, ${\vec {v_{4}}}=(0,\,5)$ i ${\vec {v_{5}}}=(-3,\,3).$

b) Vèrtex d'una porta: ${\vec {u_{1}}}=(-2,\,-3)$, ${\vec {u_{2}}}=(-1,\,-3)$, ${\vec {u_{3}}}=(-1,\,-1)$ i ${\vec {u_{4}}}=(-2,\,-1).$

c) Vèrtex d'una finestra: ${\vec {w_{1}}}=(0,\,-2)$, ${\vec {w_{2}}}=(0,\,-1)$, ${\vec {w_{3}}}=(2,\,-1)$ i ${\vec {w_{4}}}=(2,\,-2).$

d) Vèrtex d'una placa solar: ${\vec {s_{1}}}=(-2,\,1)$, ${\vec {s_{2}}}=(-2,\,3)$, ${\vec {s_{3}}}=(2,\,3)$ i ${\vec {s_{4}}}=(2,\,1)$

"translate(1,2)" aquest és el punt a. d="M-3,-3L3,-3 3,3 0,5 -3,3z" La majúscula "L" fa que els vectors reiniciïn la posició del punt a.

4) Construcció dibuixant vectors successivament partint un sol cop del punt $b=(3,\,3)$ com si fos un cuc de terra de fletxes. El dibuix es una imatge simètrica, per tant és més fàcil veure els errors.

${\vec {u_{1}}}=(1,\,2)$, ${\vec {u_{2}}}=(0,\,2)$, ${\vec {u_{3}}}=(-1,\,1)$, ${\vec {u_{4}}}=(-1,\,-1)$, ${\vec {u_{5}}}=(0,\,-2)$, ${\vec {u_{6}}}=(2,\,-4)$, ${\vec {u_{5}}}$, ${\vec {u_{4}}}$, ${\vec {u_{3}}}$, ${\vec {u_{2}}}$, ${\vec {u_{1}}}$, ${\vec {u_{7}}}=(2,\,1)$, ${\vec {u_{8}}}=(2,\,0)$, ${\vec {u_{9}}}=(1,\,-1)$, ${\vec {u_{4}}}$, ${\vec {u_{10}}}=(-2,\,0)$, ${\vec {u_{11}}}=(-4,\,2)$, ${\vec {u_{10}}}$, ${\vec {u_{4}}}$, ${\vec {u_{9}}}$, ${\vec {u_{8}}}$ i ${\vec {u_{7}}}.$

d="M3,3l1,2 0,2 -1,1 -1,-1 0,-2 2,-4 0,-2 -1,-1 -1,1 0,2 1,2 2,1 2,0 1,-1 -1,-1 -2,0 -4,2 -2,0 -1,-1 1,-1 2,0 2,1" La primera parella M3,3 és el punt b. La L minúscula "l" fa que els vectors formin cadenes que surten del punt b.

5) Exercici de construcció d'un castell simple, uns 10 punts, aplicat sobre un dibuix SVG donat.

Primer: Descàrrega del arxiu Clica aquí per obrir-lo i descarregar-lo.

Segon: Editeu amb el bloc de notes la cadena d="M3,3l1,2 0,2 -1,1 -1,-1 ... per substituir-los per els vostres vectors aquest cop vectors successius, es a dir un darrera l'altre.

Tercer: Paral·lelament per veure el progrès del dibuix, només cal obrir el mateix arxiu amb un navegador bo i veure el nostre dibuix com es va fent.

Quart: un cop ha quedat el castellet petit, l'imprimiu(blanc i negre).

Dimensió

En aquesta secció només volem fer un esborrany de la forma com es veuen les dimensions des del punt de vista pràctic usant coordenades.

• Quan tenim una sola coordenada vol dir que només podem determinar la posició dins un fil per exemple. No el treballarem.

• Quan tenim dos coordenades vol dir que només podem determinar la posició dins d'un full per exemple.

• Quan tenim tres coordenades vol dir que només podem determinar la posició al espai 3D. No el treballarem.

• Quan tenim quatre coordenades vol dir que determinem punts en 3D+temps. No el treballarem.

Operacions amb vectors

Suma de vectors ${\vec {u}}=(a_{1},\,a_{2})$ i ${\vec {v}}=(b_{1},\,b_{2})$, el resultat dona un altre vector ${\vec {w}}={\vec {u}}+{\vec {v}}$, equival a encadenar dos vectors:

${\begin{array}{rc}&(\;a_{1}\;,\;a_{2}\;)\\+&(\;b_{1}\;,\;b_{2}\;)\\\hline &(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2})\end{array}}$

Producte de vector amb un nombre real qualsevol $\lambda$, el resultat dona un altre vector ${\vec {w}}=\lambda \cdot {\vec {u}}$:

${\begin{array}{rr}&(a_{1},a_{2})\\\times &\lambda \\\hline &(\lambda \cdot a_{1},\lambda \cdot a_{2})\end{array}}$

Producte de dos vectors a escalar, el resultat és un nombre real $s={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$:

${\begin{array}{rc}&(a_{1},a_{2})\\\times &(b_{1},b_{2})\\\hline &a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}\end{array}}$

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO