Vectors i punts IV

La noció de punt i vector ha anat madurant al llarg del temps. Els matemàtics tenen definicions rigorosa amb una profunditat que supera l'establert per aquest curs.

• El pla cartesià és el conjunt simbolitzat pel conjunt $\mathbb {R} ^{2}$.

• Els elements del pla cartesià són dos nombres reals ordenats, és a dir $\{\,(\,x,\,y\,)\,|\;x\in \mathbb {R} \,\,i\,\,y\in \mathbb {R} \;\}$.

En cursos superiors es veurà que aquesta idea es pot estendre a punts i vectors dins l'espai de 3 o més dimensions, i també es pot estendre a altres objectes més inesperats.

Didàcticament aquest tema començarà la casa per la teulada teòrica, és a dir s'introduirà com són els punts i vectors, i es deixa de banda el significat d'espai afí(espai de punts) i el d'espai vectorials(espai de vectors) que es deixa per cursos més enllà del batxillerat.

Introducció

Introducció a grans trets del que es pot fer amb els elements que apareixen dins d'aquest tema.

Els vector es nomenen amb lletres minúscula amb una fletxa a sobre seu, s'anoten com elements ${\vec {a}}=(\,x,\,y\,)$ del pla $\mathbb {R} ^{2},$ és a dir que és un parell ordenat de nombres, que:

• Sempre es poden sumar entre ells i donar així un altre vector: ${\vec {w}}={\vec {u}}+{\vec {v}}.$

${\begin{array}{rc}&(u_{1},u_{2})\\+&(v_{1},v_{2})\\\hline &(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2})\end{array}}$ Exemple ${\begin{array}{rc}&{\vec {u}}=&(2,-1)\\+&{\vec {v}}=&(-4,8)\\\hline &{\vec {w}}=&(-2,7)\end{array}}$

• Sempre es poden multiplicar per un nombre real, $\lambda ,$ i donar així un altre vector: ${\vec {w}}=\lambda \cdot {\vec {u}}.$

${\begin{array}{rr}&(u_{1},u_{2})\\\times &\lambda \\\hline &(\lambda \cdot u_{1},\lambda \cdot u_{2})\end{array}}$ Exemple ${\begin{array}{rr}&{\vec {u}}=&(-7,2)\\\times &\lambda =&4'1\\\hline &{\vec {w}}=&(-28'7,8'2)\end{array}}$

Els punts es nomenen amb lletres majúscules o minúscules segons l'ús, s'anoten com elements $A=(\,x,\,y\,)$ del pla $\mathbb {R} ^{2},$ que:

• Designen llocs estàtics al pla.

Conceptes i normes per barrejar vectors i punts:

• Translació o vector lliure: Un vector, com a translació, permet d'anar d'un punt a un altre punt; l'operació que permet això és la suma: un punt origen més un vector translació és un punt destí.

$A+{\vec {\,v\,}}=B$

${\begin{array}{rc}&(A_{1},A_{2})\\+&(v_{1},v_{2})\\\hline &(A_{1}+v_{1},A_{2}+v_{2})\end{array}}$ Exemple ${\begin{array}{rc}&A=&(5,3)\\+&{\vec {v}}=&(-2,1)\\\hline &B=&(3,4)\end{array}}$

• Vector fix: L'element que uneix dos punts és un vector si l'operació que permet obtenir aquest vector és definint la resta de punts: un punt destí menys un punt origen és un únic vector. Un conjunt de vectors es fix si uneixen un mateix punt amb la resta de punts.

${\vec {\,AB\,}}=B-A$

${\begin{array}{rc}&(B_{1},B_{2})\\-&(A_{1},A_{2})\\\hline &(B_{1}-A_{1},B_{2}-A_{2})\end{array}}$ Exemple ${\begin{array}{rc}&B=&(1,2)\\-&A=&(-3,1)\\\hline &{\vec {BA}}=&(4,1)\end{array}}$

Cal remarcar que aquesta distinció és artificiosa per ajudar a lligar conceptes en dues situacions particulars.

Exemple

1) Quin vector surt del punt $a=(2,\,3)$ i arriba al punt $b=(-1,\,-4)$? És important dibuixar els punts amb el vector.

Solució: És el vector ${\vec {v}}={\vec {ab}}=b-a=(-1,\,-4)-(2,\,3)=(-1-2,\,-4-3)=(-3,\,-7)$

Es pot fer així per comoditat abusant de la notació: ${\begin{array}{r}(&-1,&-4)\\-(&2,&3)\\\hline (&-3,&-7)\end{array}}$

El podeu dibuixar com una fletxa recta que surt des de a amb la punta del cap sobre b.

2) Quin vector surt del punt $a=(4,\,0)$ i arriba al punt $b=(-1,\,2)$? És important dibuixar els punts amb el vector.

Solució: És el vector ${\vec {v}}={\vec {ab}}=b-a=(-1,\,2)-(4,\,0)=(-1-4,\,2-0)=(-5,\,2)$

3) Construcció unint tots els punts finals partint sempre d'un mateix punt $a=(1,\,2)$ cada cop.

a) Vèrtex d'una casa: ${\vec {v_{1}}}=(-3,\,-3)$, ${\vec {v_{2}}}=(3,\,-3)$, ${\vec {v_{3}}}=(3,\,3)$, ${\vec {v_{4}}}=(0,\,5)$ i ${\vec {v_{5}}}=(-3,\,3).$

b) Vèrtex d'una porta: ${\vec {u_{1}}}=(-2,\,-3)$, ${\vec {u_{2}}}=(-1,\,-3)$, ${\vec {u_{3}}}=(-1,\,-1)$ i ${\vec {u_{4}}}=(-2,\,-1).$

c) Vèrtex d'una finestra: ${\vec {w_{1}}}=(0,\,-2)$, ${\vec {w_{2}}}=(0,\,-1)$, ${\vec {w_{3}}}=(2,\,-1)$ i ${\vec {w_{4}}}=(2,\,-2).$

d) Vèrtex d'una placa solar: ${\vec {s_{1}}}=(-2,\,1)$, ${\vec {s_{2}}}=(-2,\,3)$, ${\vec {s_{3}}}=(2,\,3)$ i ${\vec {s_{4}}}=(2,\,1)$

"translate(1,2)" aquest és el punt a. d="M-3,-3L3,-3 3,3 0,5 -3,3z" La majúscula "L" fa que els vectors reiniciïn la posició del punt a.

4) Construcció dibuixant vectors successivament partint un sol cop del punt $b=(3,\,3)$ com si fos un cuc de terra de fletxes. El dibuix es una imatge simètrica, per tant és més fàcil veure els errors.

${\vec {u_{1}}}=(1,\,2)$, ${\vec {u_{2}}}=(0,\,2)$, ${\vec {u_{3}}}=(-1,\,1)$, ${\vec {u_{4}}}=(-1,\,-1)$, ${\vec {u_{5}}}=(0,\,-2)$, ${\vec {u_{6}}}=(2,\,-4)$, ${\vec {u_{5}}}$, ${\vec {u_{4}}}$, ${\vec {u_{3}}}$, ${\vec {u_{2}}}$, ${\vec {u_{1}}}$, ${\vec {u_{7}}}=(2,\,1)$, ${\vec {u_{8}}}=(2,\,0)$, ${\vec {u_{9}}}=(1,\,-1)$, ${\vec {u_{4}}}$, ${\vec {u_{10}}}=(-2,\,0)$, ${\vec {u_{11}}}=(-4,\,2)$, ${\vec {u_{10}}}$, ${\vec {u_{4}}}$, ${\vec {u_{9}}}$, ${\vec {u_{8}}}$ i ${\vec {u_{7}}}.$

d="M3,3l1,2 0,2 -1,1 -1,-1 0,-2 2,-4 0,-2 -1,-1 -1,1 0,2 1,2 2,1 2,0 1,-1 -1,-1 -2,0 -4,2 -2,0 -1,-1 1,-1 2,0 2,1" La primera parella M3,3 és el punt b. La L minúscula "l" fa que els vectors formin cadenes que surten del punt b.

5) Exercici de construcció d'un castell simple, uns 10 punts, aplicat sobre un dibuix SVG donat.

Primer: Descàrrega del arxiu Clica aquí per obrir-lo i descarregar-lo.

Segon: Editeu amb el bloc de notes la cadena d="M3,3l1,2 0,2 -1,1 -1,-1 ... per substituir-los per els vostres vectors aquest cop vectors successius, es a dir un darrera l'altre.

Tercer: Paral·lelament per veure el progrès del dibuix, només cal obrir el mateix arxiu amb un navegador bo i veure el nostre dibuix com es va fent.

Quart: un cop ha quedat el castellet petit, l'imprimiu(blanc i negre).

Dimensió

En aquesta secció només volem fer un esborrany de la forma com es veuen les dimensions des del punt de vista pràctic usant coordenades.

• Quan tenim una sola coordenada vol dir que només podem determinar la posició dins un fil per exemple. No el treballarem.

• Quan tenim dos coordenades vol dir que només podem determinar la posició dins d'un full per exemple.

• Quan tenim tres coordenades vol dir que només podem determinar la posició al espai 3D. No el treballarem.

• Quan tenim quatre coordenades vol dir que determinem punts en 3D+temps. No el treballarem.

Operacions amb vectors

Producte de dos vectors a escalar, el resultat és un nombre real $s={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$:

${\begin{array}{rc}&(a_{1},a_{2})\\\times &(b_{1},b_{2})\\\hline &a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}\end{array}}$

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO