Funcions bàsiques IV

From Wikiversity
Jump to navigation Jump to search

Aquesta secció pretén mostrar la idea bàsica del concepte de funció.

Introducció[edit]

Cal fixar-se en els gràfics més senzills per assimilar aquest concepte, com per exemple:

Recorrido N001.svg

Observacions:

Aquest gràfic mostra un circuit de 157 kilòmetres de llargària, des de Lleida fins a Andorra, indicant l'altura també en kilòmetres.

1) Per a cada kilòmetre ens indica una única altura en kilòmetres.

2) Les mesures horitzontals comprenen tots els possibles valors des del kilòmetre 0 fins el kilòmetre 157 on finalitza el circuit.

3) Les mesures verticals comprenen totes les possibles altures que hom té en cada lloc del circuit compresos entre 0,15 km i els 2,015 km.

4) Fixeu-vos que la representació dels valors verticals i horitzontals són kilòmetres, però amb mides diferents per que s'ha modificat la proporció entre ells donant un efecte visual de circuit de muntanya.

Definicions[edit]

Una funció f ha de permetre determinar o assignar per cada valor horitzontal un únic valor vertical.(1)

Anomenarem domini de f a tots els possibles valors horitzontals on f treballa.(2)

Anomenarem recorregut o imatge de f a tots els valors capaços de ser determinats per la funció f.(3)

Determinació de funcions[edit]

Esquema de aplicación v001.svg

Per determinar una funció necessitem fixar les dades del seu domini i del seu recorregut, i que determinin correctament la funció.

  • Per parlar d'un element a l'atzar del domini escriurem simplement x.
  • Per parlar d'un element del recorregut escriurem f(x) o també y, és aquesta raó que porta a escriure:

Aquestes lletres x i y que permeten parlar d'elements sense dir de qui es tracta se'n diuen variables o desconegudes, i de la variable y direm també que és dependent de x.

Gràfica d'una funció[edit]

Gráfica de función v001.svg

Per obtindre la gràfica d'una funció nomes cal tenir en compte quin és el domini i quin és el recorregut:

  • El domini en verd el trobarem a l'eix horitzontal anomenat eix d'abscisses.
  • El recorregut en vermell el trobarem a l'eix vertical anomenat eix d'ordenades.

Cada cop que es calcula un punt el que fem es trobar un punt del gràfic de la funció dibuixat en blau.

Exemples[edit]
1) Donada una funció definida per la següent taula:
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 0 3 1 4 2 0 3 1 2

Aquesta taula té dues files sempre horitzontals:

  • la primera fila encapçalada per x recull tots els valors de x com 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8 que podrien ser dies.
  • La segona fila encapçalada per f(x) recull dades associades a les anteriors que podrien ser martells venuts.

S'observa que el dia 2 ha venut 1 martell, el dia 6 ha venut 3 martells, el dia 7 ha tornat a vendre només un martell i així successivament.

La taula també pot estar disposada verticalment sense cap problema, només caldrà llegir-la per columnes sempre verticals.

Es demana construir la seva gràfica.
Per construir la funció només cal identificar els punts del tipus dins del pla de coordenades:
Gráfica de función v002.svg
  • El domini són els valors
  • El recorregut són els valors

S'observa que el seu gràfic només són els nou punts blaus resultants.

Si parlen dels punts del tipus vol dir que podem extreure de la taula els valors aparellats verticalment i són els següents: i per tant vol dir que es poden representar com a punts en un pla amb coordenades.
2) Donada una funció definida per la seva representació gràfica:
Gráfica de función v003.svg
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x)
Es demana omplir la taula donada.
Per omplir la taula només cal identificar els punts del tipus dins del pla de coordenades:
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 1 0 1 3 0 2 3 2 1
Si parlen dels punts del tipus vol dir que podem extreure de la taula els valors aparellats verticalment i són els següents: i per tant vol dir que podem omplir la taula amb els punts del pla.
3) Donada una funció definida per la seva representació gràfica:
Gráfica de función v004.svg
Es demana determinar el domini i recorregut.
Per deduir els intervals del domini i recorregut, cal identificar la línia blava com punts del tipus els possibles valors de x que serà el domini i els possibles valors de f(x) que parlen del recorregut:

La x parla del domini i per tant només cal fixar-se en els valors que pot prendre, clarament els valors van des de el -1 fins al 3, però també del 4 fins al 7. La rodona blanca amb coordenada x=3 vol dir que no hem d'incloure aquest 3 com un valor de dins de l'interval. Solució:

  • El domini de la funció són els valors dels intervals [-1, 3) i [4,7] que escrit conjuntament és

La f(x) parla del recorregut i per tant només cal fixar-se en els seus valors, els valors que observen a l'eix d'ordenades van des de el 1 fins al 2, i també des de el 3 fins al 4. Solució:

  • El recorregut de la funció són els valors dels intervals [1, 2] i [3, 4] que escrit conjuntament és

Observeu que la bola blanca en el punt (3, 1) no canvia res al recorregut ja que el punt (-1, 1) es ple i per tant aquest f(x)=1 li pertany.

Exercicis[edit]