Funcions bàsiques IV

Aquesta secció pretén mostrar la idea bàsica del concepte de funció.

Introducció

Cal fixar-se en els gràfics més senzills per assimilar aquest concepte, com per exemple:

Observacions:

Aquest gràfic mostra un circuit de 157 kilòmetres de llargària, des de Lleida fins a Andorra, indicant l'altura també en kilòmetres.

1) Per a cada kilòmetre ens indica una única altura en kilòmetres.

2) Les mesures horitzontals comprenen tots els possibles valors des del kilòmetre 0 fins el kilòmetre 157 on finalitza el circuit.

3) Les mesures verticals comprenen totes les possibles altures que hom té en cada lloc del circuit compresos entre 0,15 km i els 2,015 km.

4) Fixeu-vos que la representació dels valors verticals i horitzontals són kilòmetres, però amb mides diferents per que s'ha modificat la proporció entre ells donant un efecte visual de circuit de muntanya.

Definicions

Una funció f ha de permetre determinar o assignar per cada valor horitzontal un únic valor vertical.(1)

Anomenarem domini de f a tots els possibles valors horitzontals on f treballa.(2)

Anomenarem recorregut o imatge de f a tots els valors capaços de ser determinats per la funció f.(3)

Determinació de funcions

Per determinar una funció necessitem fixar les dades del seu domini i del seu recorregut, i que determinin correctament la funció.

• Per parlar d'un element a l'atzar del domini escriurem simplement x.

• Per parlar d'un element del recorregut escriurem f(x) o també y, és aquesta raó que porta a escriure:

$y=f(x)$

Aquestes lletres x i y que permeten parlar d'elements sense dir de qui es tracta se'n diuen variables o desconegudes, i de la variable y direm també que és dependent de x.

Gràfica d'una funció

Per obtindre la gràfica d'una funció nomes cal tenir en compte quin és el domini i quin és el recorregut:

El domini en verd el trobarem a l'eix horitzontal anomenat eix d'abscisses. El recorregut en vermell el trobarem a l'eix vertical anomenat eix d'ordenades.

Cada cop que es calcula un punt $(\;x,\;y\;)$ el que fem es trobar un punt del gràfic de la funció dibuixat en blau.

Exemples

1) Donada una funció definida per la següent taula: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) 0 3 1 4 2 0 3 1 2

Aquesta taula té dues files sempre horitzontals: la primera fila encapçalada per x recull tots els valors de x com 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8 que podrien ser dies. La segona fila encapçalada per f(x) recull dades associades a les anteriors que podrien ser martells venuts. S'observa que el dia 2 ha venut 1 martell, el dia 6 ha venut 3 martells, el dia 7 ha tornat a vendre només un martell i així successivament. La taula també pot estar disposada verticalment sense cap problema, només caldrà llegir-la per columnes sempre verticals.

Es demana construir la seva gràfica. Per construir la funció només cal identificar els punts del tipus $(\;x,\;f(x)\;)$ dins del pla de coordenades: El domini són els valors $\{0,\;1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;7,\;8\;\}.$ El recorregut són els valors $\{0,\;1,\;2,\;3,\;4\;\}.$ S'observa que el seu gràfic només són els nou punts blaus resultants. Si parlen dels punts del tipus $(\;x,\;f(x)\;)$ vol dir que podem extreure de la taula els valors aparellats verticalment i són els següents: $(0,\;0),$ $(1,\;3),$ $(2,\;1),$ $(3,\;4),$ $(4,\;2),$ $(5,\;0),$ $(6,\;3),$ $(7,\;1)$ i $(8,\;2),$ per tant vol dir que es poden representar com a punts en un pla amb coordenades.

2) Donada una funció definida per la seva representació gràfica: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x)

Es demana omplir la taula donada. Per omplir la taula només cal identificar els punts del tipus $(\;x,\;f(x)\;)$ dins del pla de coordenades: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) 1 0 1 3 0 2 3 2 1 Si parlen dels punts del tipus $(\;x,\;f(x)\;)$ vol dir que podem extreure de la taula els valors aparellats verticalment i són els següents: $(0,\;1),$ $(1,\;0),$ $(2,\;1),$ $(3,\;3),$ $(4,\;0),$ $(5,\;2),$ $(6,\;3),$ $(7,\;2)$ i $(8,\;1),$ per tant vol dir que podem omplir la taula amb els punts del pla.

3) Donada una funció definida per la seva representació gràfica:

Es demana determinar el domini i recorregut. Per deduir els intervals del domini i recorregut, cal identificar la línia blava com punts del tipus $(\;x,\;f(x)\;),$ els possibles valors de x que serà el domini i els possibles valors de f(x) que parlen del recorregut: La x parla del domini i per tant només cal fixar-se en els valors que pot prendre, clarament els valors van des de el -1 fins al 3, però també del 4 fins al 7. La rodona blanca amb coordenada x=3 vol dir que no hem d'incloure aquest 3 com un valor de dins de l'interval. Solució: El domini de la funció són els valors dels intervals [-1, 3) i [4,7] que escrit conjuntament és $[-1,\;3)\cup [4,\;7].$ La f(x) parla del recorregut i per tant només cal fixar-se en els seus valors, els valors que observen a l'eix d'ordenades van des de el 1 fins al 2, i també des de el 3 fins al 4. Solució: El recorregut de la funció són els valors dels intervals [1, 2] i [3, 4] que escrit conjuntament és $[1,\;2]\cup [3,\;4].$ Observeu que la bola blanca en el punt (3, 1) no canvia res al recorregut ja que el punt (-1, 1) es ple i per tant aquest f(x)=1 li pertany.

4) Construeix una representació d'una funció que tingui: El domini $[-2,0)\cup (1,2]$ El recorregut $[-2,-1]\cup [0,2)$

Exercicis

Exercicis de de funcions a trossos