Hình tròn

Loại Hình tròn

Hình tròn hệ số thực

Hình tròn hệ số phuc

Với
R - Bán kính vòng tròn
D - Đường kính vòng tròn
O - Tâm của đường tròn

Hàm số hình tròn

Hàm số hình tròn bán kính Z đơn vị

Hệ số thực

$X^{2}+Y^{2}=Z^{2}$

Hệ số phức

$Z=X+jY=Z(\cos \theta +j\sin \theta )=ze^{j\theta }$

$Z^{*}=X-jY=Z(\cos \theta -j\sin \theta )=ze^{-j\theta }$

Hàm số hình tròn bán kính 1 đơn vị

Hệ số thực

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$

Hệ số phức

${\frac {X+jY}{Z}}=\cos \theta +j\sin \theta =e^{j\theta }=1$

Vector đường tròn

Đường tròn hệ số thực

${\vec {R}}={\vec {Z}}={\vec {X}}+{\vec {Y}}$

Voi

${\vec {X}}=X{\vec {i}}$

${\vec {Y}}=Y{\vec {j}}$

$X=x-x_{o}=Z\cos \theta$

$Y=y-y_{o}=Z\sin \theta$

$Z={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$

Đường tròn hệ số thực

$Z=X+jY=z(\cos \theta +j\sin \theta )=ze^{j\theta }$

$Z^{*}=X-jY=z(\cos \theta -j\sin \theta )=ze^{-j\theta }$

Phương trình đường tròn

Phương trình hình tròn hệ số thực

$X^{2}+Y^{2}=0$

$X={\sqrt {-Y^{2}}}=\pm jY$

$Y={\sqrt {-X^{2}}}=\pm jX$

Phương trình hình tròn hệ số phức

$X+jY=0$

$X=-jY$

$jY=-X$

$Y=jX$

$X-jY=0$

$X=jY$

$jY=X$

$Y=-jX$

Cung tròn

Cung trong hình học (ký hiệu: ⌒) là đoạn đóng của một đường cong khả vi trong một đa tạp. Cung tròn là một phần của đường tròn hay là một phần của chu vi (biên) của hình tròn.

Chu vi		$P=\theta r$
Diện tích		$S=r^{2}.\pi$ hay $A=(d^{2}.\pi )/4$
Thể tích

Độ dài cung tròn

Độ dài cung tròn của đường tròn bán kính $r$, chắn góc ở tâm $\theta \,\!$ (đo bằng radian) được tính bằng công thức $\theta r\,\!$. Điều này là vì

${\frac {L}{\mathrm {chuvi} }}={\frac {\theta }{2\pi }}.\,\!$

tương đương

${\frac {L}{2\pi r}}={\frac {\theta }{2\pi }},\,\!$

tương đương

$L=\theta r.\,\!$

Nếu số đo góc ở tâm là $\alpha$ độ thì sẽ có số đo bằng radian là:

$\theta ={\frac {\alpha }{180}}\pi ,\,\!$

Thế vào phương trình trên, thu được công thức tương đương

$L={\frac {\alpha \pi r}{180}}.\,\!$

Một cách thực hành tính độ dài cung tròn là vẽ hai đoạn thẳng từ hai đầu mút giới hạn cung tròn đến tâm đường tròn, đo góc tạo bởi hai đoạn thẳng đó rồi từ đó nhân chéo để tính ra độ dài L:

số đo góc (tính bằng độ)/360 = L/Chuvi.

Ví dụ: cho số đo góc là 60 độ, chu vi là 24 cm

${\frac {60}{360}}={\frac {L}{24}}$

$360L=1440$

$L=4$ (cm).

Diện tích cung tròn

Diện tích phần giới hạn bởi cung tròn và tâm đường tròn (tức hình quạt tròn) là:

$A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta .$

Chia hai vế cho ${\pi r^{2}}$

Tỷ lệ giữa diện tích $A$ và diện tích phần giới hạn trong đường tròn bằng với tỷ lệ giữa số đo góc $\theta$ và số đo góc cả đường tròn

${\frac {A}{\pi r^{2}}}={\frac {\theta }{2\pi }}.$

Giản lược $\pi$ ở cả hai vế

${\frac {A}{r^{2}}}={\frac {\theta }{2}}.$

Nhân hai vế với $r^{2}$, thu được

$A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta .$

Tương tự phần trên, công thức tương đương nếu số đo góc đo bằng độ:

$A={\frac {\alpha }{360}}\pi r^{2}.$

Bán kính cung tròn

Có thể tính được bán kính $r$ của đường tròn nếu biết chiều cao $H$ và chiều rộng $W$ của cung tròn qua việc áp dụng định lý dây cung giao cắt (còn gọi là định lý cát tuyến tiếp tuyến):

Xét dây trương cung của một cung tròn, tạm gọi là dây cung số 1. Đường trung trực của nó là một dây cung khác và là đường kính hình tròn, tạm gọi là dây cung số 2. Dây cung số 1 có độ dài là $W$ và được dây cung số 2 chia làm hai nửa bằng nhau; mỗi phần có độ dài là ${\frac {W}{2}}$. Dây cung số 2 có độ dài $2r$ và được dây cung số 1 chia làm hai phần: một phần gọi là chiều cao cung tròn, ký hiệu là $H$; phần còn lại có độ dài là $(2r-H)$. Áp dụng định lý dây cung giao cắt:

$H(2r-H)=\left({\frac {W}{2}}\right)^{2}$

suy ra:

$2r-H={\frac {W^{2}}{4H}}$

do đó:

$r={\frac {W^{2}}{8H}}+{\frac {H}{2}}.$

Đồ thị Rθ

Đồ Thị Vòng Tròn là một cách hiển thị tọa độ của một điểm trên một vòng tròn có bán kín R ở Góc độ θ . Khi một đường thẳng có độ dài R cắt đường chân trời (đường thẳng ngang) tại một điểm và tạo thành một góc θ. Trên mặt phẳng Rθ, đường bán kín R cắt đường chân trời tại một điểm gốc (R,0) .

Trên mặt phẳng Rθ, Một điểm chuyển động theo vòng tròn sẻ có một tọa độ A(R,θ) và được biểu hiện như một đường thẳng nghiêng có đường dài bằng bán kín vòng tròn ở một góc độ nghiêng như sau

$R\angle \theta ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\angle Tan^{-1}{\frac {y}{x}}$

Chuyển đổi từ Rθ sang XY

${\frac {X}{R}}=\cos \theta$ . ${\frac {Y}{R}}=\sin \theta$

$X=R\cos \theta$

$Y=R\sin \theta$

Công thức vòng tròn

Hình tròn hệ số thực		Với R - Bán kính vòng tròn D - Đường kính vòng tròn O - Tâm của đường tròn
Hình tròn hệ số phức		Với R - Bán kính vòng tròn D - Đường kính vòng tròn O - Tâm của đường tròn

Chu vi	$P$	$P=d\pi =2r\pi$
Diện tích	$A$	$S=r^{2}.\pi$ hay $A=(d^{2}.\pi )/4$
Thể tích	$V$	$S=r^{3}\pi$
Hàm số vòng tròn có bán kín Z đơn vị	$R=Z$	Hệ số thực $X^{2}+Y^{2}=Z^{2}$ Hệ số phức $Z=X+jY=Z(\cos \theta +j\sin \theta )=ze^{j\theta }$
Hàm số vòng tròn có bán kín 1 đơn vị	$R=1$	Hệ số thực $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$ Hệ số phức $1={\frac {X+jY}{Z}}=\cos \theta +j\sin \theta =e^{j\theta }$
Vector Đường tròn có bán kín Z đơn vị	$R=Z$	Hệ số thực ${\vec {Z}}={\vec {X}}+{\vec {Y}}=\nabla \cdot {\vec {Z}}+\nabla \times {\vec {Z}}$ ${\vec {X}}=X{\vec {i}}=\nabla \cdot {\vec {Z}}$ ${\vec {Y}}=Y{\vec {j}}=\nabla \times {\vec {Z}}$ Với $X=x-x_{o}=Z\cos \theta$ $Y=y-y_{o}=Z\sin \theta$ $Z={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$
Đường tròn hệ số thực có bán kín Z đơn vị	$R=1$	$Z=X+jY=z(\cos \theta +j\sin \theta )=ze^{j\theta }$
Phương trình hình tròn		Phương trình hình tròn hệ số thực $X^{2}+Y^{2}=0$ $X={\sqrt {-Y^{2}}}=\pm jY$ $Y={\sqrt {-X^{2}}}=\pm jX$ Phương trình hình tròn hệ số phức $X+jY=0$ $X=-jY$ $jY=-X$ $Y=jX$

x