Ký số
Ký số La Mã
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
Ký số Ả rập
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ký số Trung quốc
-
=
Giá trị
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Toán đại số dùng chữ cái a-z, A-Z đại diện cho các con số số học từ 0 đến 9. Thí dụ như A = 3 , B = 2 . Các chữ cái đại diện cho các con số số học được gọi là Biến số.
Số đại số được phân loai thành các loại số dưới đây
Loai số đại số Định nghỉa Ký hiệu Thí dụ
Số tự nhiên
N
{\displaystyle N}
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
{\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Số chẳn Mọi số chia hết cho 2
2
n
{\displaystyle 2n}
2
,
4
,
6
,
{\displaystyle 2,4,6,}
Số lẻ Mọi số không chia hết cho 2
2
n
+
1
{\displaystyle 2n+1}
1
,
3
,
5
,
7
,
9
{\displaystyle 1,3,5,7,9}
Số nguyên tố Mọi số chia hết cho 1 và cho chính nó
p
{\displaystyle p}
1
,
3
,
5
,
7
{\displaystyle 1,3,5,7}
Số lũy thừa
a
n
=
a
×
a
×
a
.
.
.
×
a
{\displaystyle a^{n}=a\times a\times a...\times a}
a
n
{\displaystyle a^{n}}
2
3
=
2
×
2
×
2
=
8
{\displaystyle 2^{3}=2\times 2\times 2=8}
Số căn
n
a
{\displaystyle n{\sqrt {a}}}
a
1
n
{\displaystyle a^{\frac {1}{n}}}
n
a
{\displaystyle n{\sqrt {a}}}
a
1
n
{\displaystyle a^{\frac {1}{n}}}
Số log
L
o
g
a
b
=
c
{\displaystyle Log_{a}b=c}
a
c
=
b
{\displaystyle a^{c}=b}
L
o
g
a
b
{\displaystyle Log_{a}b}
L
o
g
10
100
=
2
{\displaystyle Log_{10}100=2}
Số nguyên
I
=
+
I
,
−
I
,
0
{\displaystyle I=+I,-I,0}
I
{\displaystyle I}
+
1
,
−
1
,
0
{\displaystyle +1,-1,0}
Phân số Số có dạng một số trên một số khác
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
Số thập phân
0.
a
b
c
d
{\displaystyle 0.abcd}
0.5
{\displaystyle 0.5}
Số hửu tỉ
Số vô tỉ
Số phức
Z
=
a
±
j
b
{\displaystyle Z=a\pm jb}
Z
{\displaystyle Z}
2
±
j
3
{\displaystyle 2\pm j3}
Số thực
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
2
{\displaystyle 2}
Số ảo
j
/
i
=
−
1
{\displaystyle j/i={\sqrt {-1}}}
i
,
j
{\displaystyle i,j}
±
j
3
{\displaystyle \pm j3}
Hằng số Số đại số có giá trị không đổi
c
{\displaystyle c}
π
,
e
{\displaystyle \pi ,e}
[ edit ] Các phép toán đại số thực thi trên các số đại số bao gồm
Toán Ký Hiệu Công Thức Định Nghỉa
Toán cộng
+
{\displaystyle +}
A
+
B
{\displaystyle A+B}
Toán Cộng hai số đại số
Toán trừ
−
{\displaystyle -}
A
−
B
{\displaystyle A-B}
Toán Trừ hai số đại số
Toán nhân
x
{\displaystyle x}
A
×
B
{\displaystyle A\times B}
Toán Nhân hai số đại số
Toán chia
/
{\displaystyle /}
A
/
B
{\displaystyle A/B}
Toán Chia hai số đại số
Toán lũy thừa
a
n
{\displaystyle a^{n}}
a
n
=
a
×
a
×
a
.
.
.
{\displaystyle a^{n}=a\times a\times a...}
Toán tìm tích n lần của chính số nhân
Toán căn
{\displaystyle {\sqrt {}}}
a
=
b
{\displaystyle {\sqrt {a}}=b}
b
n
=
a
{\displaystyle b^{n}=a}
Toán lủy thừa nghịch
Toán log
L
o
g
,
L
n
{\displaystyle Log,Ln}
L
o
g
10
a
=
b
{\displaystyle Log_{10}a=b}
10
b
=
a
{\displaystyle 10^{b}=a}
Toán Toán lủy thừa nghịch của một lủy thừa
[ edit ] Số nguyên
I
=
I
<
0
,
I
=
0
,
I
>
0
{\displaystyle I={I<0,I=0,I>0}}
a
n
=
a
×
a
×
a
×
a
.
.
.
×
a
{\displaystyle a^{n}=a\times a\times a\times a...\times a}
n
a
=
b
{\displaystyle n{\sqrt {a}}=b}
a
=
b
n
{\displaystyle a=b^{n}}
L
o
g
a
b
=
c
{\displaystyle Log_{a}b=c}
a
c
=
b
{\displaystyle a^{c}=b}
Toán Log Công thức
Viết tắc
L
o
g
=
L
o
g
10
{\displaystyle Log=Log_{10}}
L
n
=
L
o
g
2
{\displaystyle Ln=Log_{2}}
Log 1
L
o
g
(
1
)
=
0
{\displaystyle Log(1)=0}
Log lũy thừa
L
o
g
n
(
A
)
n
=
A
{\displaystyle Log_{n}(A)^{n}=A}
Lũy thừa log
B
L
o
g
B
(
A
)
=
A
{\displaystyle B^{Log_{B}(A)}=A}
Log của tích số
L
o
g
(
A
B
)
=
L
o
g
A
+
L
o
g
B
{\displaystyle Log(AB)=LogA+LogB}
Log của thương số
L
o
g
(
A
B
)
=
L
o
g
A
−
L
o
g
B
{\displaystyle Log({\frac {A}{B}})=LogA-LogB}
Log của lủy thừa
L
o
g
(
A
n
)
=
n
L
o
g
A
{\displaystyle Log(A^{n})=nLogA}
Đổi nền log
L
o
g
a
x
=
L
o
g
x
L
o
g
a
{\displaystyle Log_{a}x={\frac {Logx}{Loga}}}
[ edit ] Số phức được biểu diển như ở dưới đây
Số phức Thuận
Z
{\displaystyle Z}
Nghịch
Z
∗
{\displaystyle Z^{*}}
Biểu diển dưới dạng xy
Z
=
x
+
j
y
{\displaystyle Z=x+jy}
Z
=
x
−
j
y
{\displaystyle Z=x-jy}
Biểu diển dưới dạng Zθ
Z
∠
θ
=
x
2
+
y
2
∠
t
a
n
−
1
y
x
{\displaystyle Z\angle \theta ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\angle tan^{-1}{\frac {y}{x}}}
Z
∠
θ
=
x
2
+
y
2
∠
−
t
a
n
−
1
y
x
{\displaystyle Z\angle \theta ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\angle -tan^{-1}{\frac {y}{x}}}
Biểu diển dưới dạng hàm số lượng giác
Z
=
z
(
c
o
s
θ
+
j
s
i
n
θ
)
{\displaystyle Z=z(cos\theta +jsin\theta )}
Z
=
z
(
c
o
s
θ
−
j
s
i
n
θ
)
{\displaystyle Z=z(cos\theta -jsin\theta )}
Biểu diển dưới lũy thừa của e
Z
=
z
e
j
θ
{\displaystyle Z=ze^{j\theta }}
Z
=
z
e
−
j
θ
{\displaystyle Z=ze^{-j\theta }}
Toán số phức được thực thi như sau
Toán Số phức Toán cộng Toán trừ Toán nhân Toán chia
x
+
j
y
{\displaystyle x+jy}
x
−
j
y
{\displaystyle x-jy}
2
x
{\displaystyle 2x}
2
y
{\displaystyle 2y}
x
2
−
y
2
{\displaystyle x^{2}-y^{2}}
x
2
−
y
2
x
−
j
y
{\displaystyle {\frac {x^{2}-y^{2}}{x-jy}}}
x
+
j
y
{\displaystyle x+jy}
x
−
j
y
{\displaystyle x-jy}
2
x
{\displaystyle 2x}
2
y
{\displaystyle 2y}
x
2
−
y
2
{\displaystyle x^{2}-y^{2}}
x
2
−
y
2
x
−
j
y
{\displaystyle {\frac {x^{2}-y^{2}}{x-jy}}}
x
+
j
y
{\displaystyle x+jy}
x
−
j
y
{\displaystyle x-jy}
2
x
{\displaystyle 2x}
2
y
{\displaystyle 2y}
x
2
−
y
2
{\displaystyle x^{2}-y^{2}}
x
2
−
y
2
x
−
j
y
{\displaystyle {\frac {x^{2}-y^{2}}{x-jy}}}
Z
=
z
e
j
θ
{\displaystyle Z=ze^{j\theta }}
Z
=
z
e
−
j
θ
{\displaystyle Z=ze^{-j\theta }}
z
(
e
j
θ
+
e
−
j
θ
)
{\displaystyle z(e^{j\theta }+e^{-j\theta })}
z
(
e
j
θ
−
e
−
j
θ
)
{\displaystyle z(e^{j\theta }-e^{-j\theta })}
z
2
{\displaystyle z^{2}}
e
j
2
θ
{\displaystyle e^{j2\theta }}
Định lý Demoive
(
Z
∠
θ
)
n
=
Z
n
∠
n
θ
{\displaystyle (Z\angle \theta )^{n}=Z^{n}\angle n\theta }
Dải Số là một chuổi số có định dạng . Thí dụ
Dải số của các số tự nhiên
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
.
.
.
.
,
n
{\displaystyle 1,2,3,4,5,....,n}
Dải số của các số tự nhiên chẳn
2
,
4
,
6
,
8
,
10
,
.
.
.
,
2
n
{\displaystyle 2,4,6,8,10,...,2n}
Dải số của các số tự nhiên lẻ
1
,
3
,
5
,
7
,
.
.
.
,
2
n
+
1
{\displaystyle 1,3,5,7,...,2n+1}
Chuổi sô Định nghỉa Ký hiệu Thí dụ
Chuổi số
phép toán tìm tổng của một dải số
S
=
∑
{\displaystyle S=\sum }
S
n
=
∑
i
=
1
n
a
i
=
1
+
2
+
⋯
+
n
=
1
+
2
+
3
+
.
.
.
+
n
=
k
(
1
+
n
)
{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=1+2+\cdots +n=1+2+3+...+n=k(1+n)}
[ edit ] Dạng tổng quát
a
+
(
a
+
d
)
+
(
a
+
2
d
)
+
.
.
.
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
=
∑
k
=
0
∞
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
{\displaystyle a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]=\sum _{k=0}^{\infty }[a+(n-1)d]}
Chứng minh
∑
k
=
0
∞
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
=
a
+
(
a
+
d
)
+
(
a
+
2
d
)
+
.
.
.
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
=
n
2
(
2
a
+
(
n
−
1
)
d
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }[a+(n-1)d]=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]={\frac {n}{2}}(2a+(n-1)d)}
S
=
a
+
(
a
+
d
)
+
(
a
+
2
d
)
+
.
.
.
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
{\displaystyle S=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]}
S
=
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
+
.
.
.
+
(
n
−
1
)
d
]
+
a
{\displaystyle S=[a+(n-1)d]+...+(n-1)d]+a}
2
S
=
[
2
a
+
(
n
−
1
)
d
]
n
{\displaystyle 2S=[2a+(n-1)d]n}
S
=
[
2
a
+
(
n
−
1
)
d
]
n
2
{\displaystyle S=[2a+(n-1)d]{\frac {n}{2}}}
Thí dụ
Dải số cấp số cộng có dạng tổng quát
1
,
2
,
3
,
.
.
.9
{\displaystyle 1,2,3,...9}
Tổng số của dải số
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
.
.
.9
=
50
{\displaystyle 1+2+3+4+5+...9=50}
Cách giải
S
=
(
1
+
9
)
+
(
2
+
8
)
+
(
3
+
7
)
+
(
4
+
6
)
+
(
5
+
5
)
=
10
(
5
)
=
50
{\displaystyle S=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+(5+5)=10(5)=50}
[ edit ] Dạng tổng quát
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
a
r
4
+
…
+
a
r
n
=
∑
k
=
0
∞
(
a
r
k
)
{\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }(ar^{k})}
Chứng minh
∑
k
=
0
∞
(
a
r
k
)
=
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
a
r
4
+
…
+
a
r
n
=
a
(
1
−
r
n
)
1
−
r
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(ar^{k})=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots +ar^{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}
S
=
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
.
.
.
+
a
r
n
−
1
{\displaystyle S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}}
r
S
=
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
a
r
4
+
.
.
.
+
a
r
n
{\displaystyle rS=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...+ar^{n}}
S
−
r
S
=
a
−
a
r
n
{\displaystyle S-rS=a-ar^{n}}
S
=
a
(
1
−
r
n
)
1
−
r
{\displaystyle S={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}
S
=
a
1
−
r
{\displaystyle S={\frac {a}{1-r}}}
n
<
1
{\displaystyle n<1}
Thí dụ
1
+
1.1
+
1.1
2
+
1.1
3
=
4
{\displaystyle 1+1.1+1.1^{2}+1.1^{3}=4}
1
+
1.2
+
1.2
2
+
1.2
3
=
1
+
2
+
4
+
8
=
15
{\displaystyle 1+1.2+1.2^{2}+1.2^{3}=1+2+4+8=15}
[ edit ] Công thức tổng quát lũy thừa n của một tổng
(
x
+
y
)
n
=
∑
r
=
0
n
(
n
r
)
x
r
y
n
−
r
{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}x^{r}y^{n-r}}
(
x
+
y
)
n
=
(
n
0
)
x
0
y
n
+
(
n
1
)
x
1
y
n
−
1
+
(
n
2
)
x
2
y
n
−
2
+
⋯
+
(
n
n
−
2
)
x
n
−
2
y
2
+
(
n
n
−
1
)
x
n
−
1
y
1
+
(
n
n
)
x
n
y
0
{\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{0}y^{n}+{n \choose 1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+{n \choose {n-1}}x^{n-1}y^{1}+{n \choose n}x^{n}y^{0}}
(
x
+
y
)
n
=
y
n
+
n
x
y
n
−
1
+
(
n
2
)
x
2
y
n
−
2
+
⋯
+
(
n
n
−
2
)
x
n
−
2
y
2
+
n
x
n
−
1
y
+
x
n
{\displaystyle (x+y)^{n}=y^{n}+nxy^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+nx^{n-1}y+x^{n}}
Với
(
n
r
)
=
n
!
r
!
(
n
−
r
)
!
{\displaystyle {n \choose r}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}}
Thí dụ
(
x
+
1
)
1
=
{\displaystyle (x+1)^{1}=}
1
x
+
1
{\displaystyle 1x+1}
(
x
+
1
)
2
=
{\displaystyle (x+1)^{2}=}
1
x
2
+
2
x
+
1
{\displaystyle 1x^{2}+2x+1}
(
x
+
1
)
3
=
{\displaystyle (x+1)^{3}=}
1
x
3
+
3
x
2
+
3
x
+
1
{\displaystyle 1x^{3}+3x^{2}+3x+1}
(
x
+
1
)
4
=
{\displaystyle (x+1)^{4}=}
1
x
4
+
4
x
3
+
6
x
2
+
4
x
+
1
{\displaystyle 1x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1}
(
x
+
1
)
5
=
{\displaystyle (x+1)^{5}=}
1
x
5
+
5
x
4
+
10
x
3
+
10
x
2
+
5
x
+
1
{\displaystyle 1x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+5x+1}
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
[ edit ] Dạng tổng quát
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
″
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
f
‴
(
a
)
3
!
(
x
−
a
)
3
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}
[ edit ] Tổng chuổi số Fourier đại diện cho tổng chuổi số hàm số sóng sine
s
N
(
x
)
=
A
0
2
+
∑
n
=
1
N
A
n
⋅
sin
(
2
π
n
x
P
+
ϕ
n
)
,
for integer
N
≥
1.
{\displaystyle s_{N}(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}+\phi _{n}\right),\quad {\text{for integer}}\ N\ \geq \ 1.}
[ edit ]
∑
k
=
0
n
c
=
n
c
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{c}=nc}
c
{\displaystyle c}
∑
k
=
0
n
k
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{k}={\frac {n(n+1)}{2}}}
∑
k
=
0
n
k
2
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{k^{2}}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}
∑
k
=
0
n
k
3
=
n
2
(
n
+
1
)
2
4
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{k^{3}}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}}
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
⋯
=
e
x
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =e^{x}}
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
x
n
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+
⋯
=
ln
(
1
+
x
)
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots =\ln(1+x)\quad {\text{ for }}|x|<1}
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
⋯
=
cos
(
x
)
for all
x
∈
C
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\cos(x)\quad {\text{ for all }}x\in \mathbb {C} }
Biểu thức Đơn thức Đa thức Đẳng thức Bất đẳng thức
2
x
{\displaystyle 2x}
5
x
y
z
{\displaystyle 5xyz}
2
x
+
5
y
{\displaystyle 2x+5y}
5
x
y
−
2
y
{\displaystyle 5xy-2y}
2
x
=
5
y
{\displaystyle 2x=5y}
5
x
y
=
2
y
{\displaystyle 5xy=2y}
2
x
{\displaystyle 2x}
5
y
{\displaystyle 5y}
5
x
y
{\displaystyle 5xy}
2
y
{\displaystyle 2y}
Hằng đẳng thức Công thức
Bình phương tổng 2 số đại số
(
a
+
b
)
2
=
(
a
+
b
)
(
a
+
b
)
=
a
2
+
a
b
+
a
b
+
b
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
Bình phương hiệu 2 số đại số
(
a
−
b
)
2
=
(
a
−
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
−
a
b
−
a
b
+
b
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-ab-ab+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
Tổng 2 bình phương
a
2
+
b
2
=
(
a
+
b
)
2
−
2
a
b
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab}
a
2
+
b
2
=
(
a
−
b
)
2
+
2
a
b
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2ab}
Hiệu 2 bình phương
a
2
−
b
2
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
Tổng 2 lập phương
a
3
+
b
3
=
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}
Hiệu 2 lập phương
a
3
−
b
3
=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}
Hàm số Công thức
Hàm số có dạng tổng quát
f
(
x
,
y
,
z
,
.
.
.
)
{\displaystyle f(x,y,z,...)}
Giá trị hàm số
f
(
x
,
y
,
z
,
.
.
.
)
=
C
{\displaystyle f(x,y,z,...)=C}
Dạng hàm số Công thức Thí dụ
Hàm số tuần hoàn Periodic function
f
(
x
)
=
f
(
x
+
T
)
{\displaystyle f(x)=f(x+T)}
s
i
n
x
=
s
i
n
(
x
+
k
2
π
)
{\displaystyle sinx=sin(x+k2\pi )}
Hàm số chẳn even function
f
(
x
)
=
f
(
−
x
)
{\displaystyle f(x)=f(-x)}
y
(
x
)
=
|
x
|
{\displaystyle y(x)=|x|}
Hàm số lẽ odd function
f
(
x
)
=
−
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)=-f(x)}
y
(
x
)
=
−
y
(
x
)
{\displaystyle y(x)=-y(x)}
Hàm số nghịch đảo inverse function
f
−
1
(
x
)
=
1
f
(
x
)
{\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {1}{f(x)}}}
s
i
n
−
1
x
=
1
s
i
n
x
{\displaystyle sin^{-1}{x}={\frac {1}{sinx}}}
Hàm số trong hàm số composite function
f
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle f(x)=f(g(x))}
Hàm số nhiều biến số parametric function
z
=
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle z=f(x,y)}
Hàm số tương quan/]] recursive function
Với mọi giá trị của x sẻ có một giá trị hàm số của x tương đương . Thí dụ, với hàm số f(x)=x ta có thể thiết lập bảng giá trị tương quan của x và hàm số của x . Khi đặt các giá trị của x và của f(x) trên đồ thị XY ta có thể vẻ được hình đường thẳng có độ góc bằng 1 đi qua điểm gốc ở tọa độ (0,0)
x -2
-1
0
1
2
Hình
F(x)=x -2
-1
0
1
2
100px
x
[ edit ] [ edit ] Với đường thẳng nghiêng đi qua 2 điểm (xo,yo) - (x,y) dưới đây
Ta có thể tính các loại toán sau
Biến đổi hàm số Biến đổi hàm số cho biết tỉ lệ thay đổi biến số y trên thay đổi biến số x có thể biểu diển bằng công thức toán dưới đây
a
=
Δ
y
Δ
x
=
y
−
y
o
x
−
x
o
{\displaystyle a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}}
a
=
Δ
f
(
x
)
Δ
x
=
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
(
x
+
Δ
x
)
−
x
{\displaystyle a={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}}
Với
Δ
x
=
x
−
x
o
=
(
x
+
Δ
x
)
−
x
{\displaystyle \Delta x=x-x_{o}=(x+\Delta x)-x}
Δ
y
=
y
−
y
o
=
Δ
f
(
x
)
=
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
{\displaystyle \Delta y=y-y_{o}=\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)}
Diện tích dưới hình
s
=
Δ
x
y
+
Δ
x
Δ
y
2
=
Δ
x
[
y
+
Δ
y
2
]
=
Δ
x
[
f
(
x
)
+
Δ
f
(
x
)
2
]
{\displaystyle s=\Delta xy+\Delta x{\frac {\Delta y}{2}}=\Delta x[y+{\frac {\Delta y}{2}}]=\Delta x[f(x)+{\frac {\Delta f(x)}{2}}]}
s
=
Δ
x
[
f
(
x
)
+
Δ
f
(
x
)
2
]
=
Δ
x
2
[
2
f
(
x
)
+
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
]
=
Δ
x
2
[
f
(
x
)
+
f
(
x
+
Δ
x
)
]
{\displaystyle s=\Delta x[f(x)+{\frac {\Delta f(x)}{2}}]={\frac {\Delta x}{2}}[2f(x)+f(x+\Delta x)-f(x)]={\frac {\Delta x}{2}}[f(x)+f(x+\Delta x)]}
Với mọi đường cong bên dưới
150px Ta có thể tính các loại toán sau
Đạo hàm hàm số đường cong
150px|Tích phân được định nghĩa như diện tích S dưới đường cong y =f (x ) với x chạy từ a đến b
d
d
x
f
(
x
)
=
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
∑
Δ
f
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
∑
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}
Tích phân xác định đường cong
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}
Tích phân bất định đường cong
∫
f
(
x
)
d
x
=
lim
Δ
x
→
0
∑
(
f
(
x
)
+
Δ
f
(
x
)
2
)
Δ
x
=
F
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int f(x)dx=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum (f(x)+{\frac {\Delta f(x)}{2}})\Delta x=F(x)+C}
[ edit ] Phương trình có dạng tổng quát
f
(
x
,
y
,
z
,
.
.
.
)
=
0
{\displaystyle f(x,y,z,...)=0}
Phương trình lũy thừa Dạng tổng quát
Phương trình lũy thừa bậc 1
a
x
+
b
=
0
{\displaystyle ax+b=0}
Giải phương trình lũy thừa bậc 2
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
Giải phương trình lũy thừa bậc n
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
.
.
.
+
a
1
x
+
a
o
=
0
{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{o}=0}
[ edit ] [ edit ]
Ký hiệu Thí dụ
Điểm
•
Điểm A
Đường thẳng là một đường nối liền giửa 2 điểm tạo từ nhiều đoạn thẳng
A
B
=
A
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
B
{\displaystyle AB=A-----------B}
A
B
=
A
−
−
C
−
−
D
−
−
E
−
−
B
=
A
C
+
C
D
+
D
E
+
E
B
{\displaystyle AB=A--C--D--E--B=AC+CD+DE+EB}
Đường thẳng là một đường nối liền giửa 2 điểm (xo,yo) - (x,y)
Có độ dóc tính bằng
a
=
y
−
y
o
x
−
x
o
{\displaystyle a={\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}}
Có thể biểu diển bằng hàm số toán đại số dưới đây
y
=
y
o
+
a
(
x
−
x
o
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle y=y_{o}+a(x-x_{o})=ax+b}
| Đường thẳng vuông góc ||
|Đường thẳng song song ||
Mọi vector đường thẳng đều có thể biểu diển
A
→
=
A
a
→
{\displaystyle {\vec {A}}=A{\vec {a}}}
Với
A
→
=
A
a
→
{\displaystyle {\vec {A}}=A{\vec {a}}}
a
→
=
A
→
A
{\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\vec {A}}{A}}}
A
=
A
→
a
→
{\displaystyle A={\frac {\vec {A}}{\vec {a}}}}
Cộng 2 vector
Hiệu 2 vector
Tích 2 vector
Thương 2 vector
Góc Định nghỉa Ký hiệu Đơn vị Thí dụ
Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm
∠
{\displaystyle \angle }
1
r
a
d
=
180
o
π
{\displaystyle 1rad={\frac {180^{o}}{\pi }}}
1
o
=
π
180
o
{\displaystyle 1^{o}={\frac {\pi }{180^{o}}}}
∠
A
=
30
0
=
π
6
r
a
d
{\displaystyle \angle A=30^{0}={\frac {\pi }{6}}rad}
Góc Hình Định nghỉa
Góc nhọn
200px Góc nhọn là góc nhỏ hơn 90°
Góc vuông
100px Góc vuông là góc bằng 90° (1/4 vòng tròn);
Góc tù
200px Góc tù là góc lớn hơn 90° nhưng nhỏ hơn 180°
Góc bẹt
200px Góc bẹt là góc 180° (1/2 vòng tròn).
Góc phản
200px Góc phản là góc lớn hơn 180° nhưng nhỏ hơn 360°
Góc đầy
200px Góc đầy là góc bằng 360° (toàn bộ vòng tròn).
Một tam giác với các thành phần trong định lý sin|right
3 điểm .
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
3 cạnh .
A
B
,
B
C
,
C
A
{\displaystyle AB,BC,CA}
3 góc .
∠
A
,
∠
B
,
∠
C
{\displaystyle \angle A,\angle B,\angle C}
[ edit ]
Chu vi
Diện tích
Thể tích
a
+
b
+
c
{\displaystyle a+b+c}
b
a
2
{\displaystyle {\frac {ba}{2}}}
a
b
h
2
{\displaystyle ab{\frac {h}{2}}}
Một tam giác với các thành phần trong định lý sin Trong lượng giác , định lý sin (hay định luật sin , công thức sin ) là một phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác bất kì với sin của các góc tương ứng. Định lý sin được biểu diễn dưới dạng
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\!}
trong đó a , b , c là chiều dài các cạnh, và A , B , C là các góc đối diện (xem hình vẽ). Phương trình cũng có thể được viết dưới dạng nghịch đảo:
sin
A
a
=
sin
B
b
=
sin
C
c
.
{\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}.\!}
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
α
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \,}
b
2
=
a
2
+
c
2
−
2
a
c
cos
β
{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \,}
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}
Tam giác vuông là một loại tam giác có 2 cạnh vuông góc với nhau cắt nhau tại một điểm tạo nên một góc vuông bằng
90
o
{\displaystyle 90^{o}}
c - Cạnh huyền
a - Cạnh đối
b - Cạnh kề
Tam giác có 2 cạnh vuông góc với nhau tạo ra một góc vuông 90o
∠
C
=
90
o
{\displaystyle \angle C=90^{o}}
A
C
¯
⊥
C
B
¯
{\displaystyle {\overline {AC}}\perp {\overline {CB}}}
[ edit ] Tam giác có 1 góc vuông là tam giác vuông
Tam giác có 2 góc nhọn phụ nhau là tam giác vuông
Tam giác có bình phương độ dài 1 cạnh bằng tổng bình phương độ dài 2 cạnh kia là tam giác vuông (định lý Pytago đảo)
Tam giác có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy là tam giác vuông
Tam giác nội tiếp đường tròn có 1 cạnh là đường kính thì tam giác đó vuông
Tam giác có cạnh đối diện góc 30° bằng một nửa một cạnh khác trong tam giác thì tam giác đó vuông. Định lý Pytago phát biểu rằng:
Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trên cạnh kề của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền của tam giác này . Nó được thể hiện bằng phương trình
a
2
+
b
2
=
c
2
{\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
Trong đó, c là chiều dài của cạnh huyền và a và b là chiều dài của hai cạnh còn lại.
Tương quan các cạnh và góc
Hàm số góc lượng giác Tỉ lệ cạnh Đồ thị
Cosine
X
Z
=
cos
θ
{\displaystyle {\frac {X}{Z}}=\cos \theta }
100px
Sine
Y
Z
=
sin
θ
{\displaystyle {\frac {Y}{Z}}=\sin \theta }
100px
Cosine
1
X
=
sec
θ
{\displaystyle {\frac {1}{X}}=\sec \theta }
Cosecant
1
Y
=
csc
θ
{\displaystyle {\frac {1}{Y}}=\csc \theta }
100px
Tangent
Y
X
=
tan
θ
{\displaystyle {\frac {Y}{X}}=\tan \theta }
100px
Cotangent
X
Y
=
cot
θ
{\displaystyle {\frac {X}{Y}}=\cot \theta }
100px
[ edit ]
Hàm số cạnh
Độ dài cạnh ngang
X
=
Y
Z
{\displaystyle X={\frac {Y}{Z}}}
x
−
x
o
{\displaystyle x-x_{o}}
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
Z
cos
θ
{\displaystyle Z\cos \theta }
Độ dài cạnh dọc
Y
=
Z
X
{\displaystyle Y=ZX}
y
−
y
o
{\displaystyle y-y_{o}}
Δ
y
{\displaystyle \Delta y}
Z
sin
θ
{\displaystyle Z\sin \theta }
Độ dóc
Z
=
Y
X
{\displaystyle Z={\frac {Y}{X}}}
y
−
y
o
x
−
x
o
{\displaystyle {\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}}
Δ
y
Δ
x
{\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}
T
a
n
θ
{\displaystyle Tan\theta }
Độ nghiêng
θ
=
tan
−
1
Z
{\displaystyle \theta =\tan ^{-1}Z}
θ
=
tan
−
1
Y
X
{\displaystyle \theta =\tan ^{-1}{\frac {Y}{X}}}
Vector đương thẳng ngang
X
→
=
x
i
→
{\displaystyle {\vec {X}}=x{\vec {i}}}
(
x
−
x
o
)
i
→
{\displaystyle (x-x_{o}){\vec {i}}}
Z
cos
θ
i
→
{\displaystyle Z\cos \theta {\vec {i}}}
Vector đương thẳng dọc
Y
→
=
y
i
→
{\displaystyle {\vec {Y}}=y{\vec {i}}}
(
y
−
y
o
)
i
→
{\displaystyle (y-y_{o}){\vec {i}}}
Z
sin
θ
i
→
{\displaystyle Z\sin \theta {\vec {i}}}
Vector đương thẳng nghiêng
Z
→
=
z
k
→
{\displaystyle {\vec {Z}}=z{\vec {k}}}
(
z
−
z
o
)
k
→
{\displaystyle (z-z_{o}){\vec {k}}}
Hàm số Đường thẳng nghiêng ở độ dóc Z
Y
=
Z
X
{\displaystyle Y=ZX}
y
=
y
o
+
Z
(
x
−
x
o
)
{\displaystyle y=y_{o}+Z(x-x_{o})}
Z
∠
θ
=
X
2
+
Y
2
∠
T
a
n
−
1
Y
X
{\displaystyle Z\angle \theta ={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\angle Tan^{-1}{\frac {Y}{X}}}
s
=
X
(
y
o
+
Y
2
)
=
X
(
y
o
+
Z
X
2
)
=
X
(
y
−
Z
X
2
)
=
y
2
−
y
o
2
2
Z
{\displaystyle s=X(y_{o}+{\frac {Y}{2}})=X(y_{o}+{\frac {ZX}{2}})=X(y-{\frac {ZX}{2}})={\frac {y^{2}-y_{o}^{2}}{2Z}}}
[ edit ] 6 Công thức hàm số lượng giác cơ bản định nghỉa tương quan giửa các cạnh và góc trong tam giác vuông
Hàm số lượng giác cơ bản
cos
x
{\displaystyle \cos x}
sin
x
{\displaystyle \sin x}
tan
x
{\displaystyle \tan x}
cot
x
{\displaystyle \cot x}
sec
x
{\displaystyle \sec x}
csc
x
{\displaystyle \csc x}
b
c
{\displaystyle {\frac {b}{c}}}
a
c
{\displaystyle {\frac {a}{c}}}
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
b
a
{\displaystyle {\frac {b}{a}}}
1
b
{\displaystyle {\frac {1}{b}}}
1
a
{\displaystyle {\frac {1}{a}}}
sin
(
x
)
=
sin
(
x
+
2
k
π
)
{\displaystyle \sin(x)=\sin(x+2k\pi )\,}
sin
(
−
x
)
=
−
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(-x)=-\sin(x)\,}
sin
(
x
)
=
cos
(
π
2
−
x
)
{\displaystyle \sin(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}
cos
(
x
)
=
cos
(
x
+
2
k
π
)
{\displaystyle \cos(x)=\cos(x+2k\pi )\,}
cos
(
−
x
)
=
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(-x)=\;\cos(x)\,}
cos
(
x
)
=
sin
(
π
2
−
x
)
{\displaystyle \cos(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}
tan
(
x
)
=
tan
(
x
+
k
π
)
{\displaystyle \tan(x)=\tan(x+k\pi )\,}
tan
(
−
x
)
=
−
tan
(
x
)
{\displaystyle \tan(-x)=-\tan(x)\,}
tan
(
x
)
=
cot
(
π
2
−
x
)
{\displaystyle \tan(x)=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}
cot
(
−
x
)
=
−
cot
(
x
)
{\displaystyle \cot(-x)=-\cot(x)\,}
a
sin
x
+
b
cos
x
=
a
2
+
b
2
⋅
sin
(
x
+
φ
)
{\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )}
với
φ
=
{
a
r
c
t
a
n
(
b
/
a
)
,
n
e
^
´
u
a
≥
0
;
π
+
a
r
c
t
a
n
(
b
/
a
)
,
n
e
^
´
u
a
<
0.
{\displaystyle \varphi =\left\{{\begin{matrix}{\rm {arctan}}(b/a),&&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a\geq 0;\;\\\pi +{\rm {arctan}}(b/a),&&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a<0.\;\end{matrix}}\right.\;}
sin
(
2
x
)
=
2
sin
(
x
)
cos
(
x
)
{\displaystyle \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\,}
cos
(
2
x
)
=
cos
2
(
x
)
−
sin
2
(
x
)
=
2
cos
2
(
x
)
−
1
=
1
−
2
sin
2
(
x
)
{\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)\,}
tan
(
2
x
)
=
2
tan
(
x
)
1
−
tan
2
(
x
)
{\displaystyle \tan(2x)={\frac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}}
sin
(
3
x
)
=
3
sin
(
x
)
−
4
sin
3
(
x
)
{\displaystyle \sin(3x)=3\sin(x)-4\sin ^{3}(x)}
cos
(
3
x
)
=
4
cos
3
(
x
)
−
3
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(3x)=4\cos ^{3}(x)-3\cos(x)}
Nếu Tn là đa thức Chebyshev bậc n thì
cos
(
n
x
)
=
T
n
(
cos
(
x
)
)
.
{\displaystyle \cos(nx)=T_{n}(\cos(x)).\,}
công thức de Moivre:
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
=
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
n
{\displaystyle \cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^{n}\,}
Hàm hạt nhân Dirichlet Dn(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:
1
+
2
cos
(
x
)
+
2
cos
(
2
x
)
+
2
cos
(
3
x
)
+
⋯
+
2
cos
(
n
x
)
{\displaystyle 1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)\;}
=
sin
(
(
n
+
1
2
)
x
)
sin
(
x
/
2
)
{\displaystyle ={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}\;}
Hay theo công thức hồi quy:
sin
(
n
x
)
=
2
sin
(
(
n
−
1
)
x
)
cos
(
x
)
−
sin
(
(
n
−
2
)
x
)
{\displaystyle \sin(nx)=2\sin((n-1)x)\cos(x)-\sin((n-2)x)}
cos
(
n
x
)
=
2
cos
(
(
n
−
1
)
x
)
cos
(
x
)
−
cos
(
(
n
−
2
)
x
)
{\displaystyle \cos(nx)=2\cos((n-1)x)\cos(x)-\cos((n-2)x)}
cos
(
x
2
)
=
±
1
+
cos
(
x
)
2
{\displaystyle \cos \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos(x)}{2}}}}
sin
(
x
2
)
=
±
1
−
cos
(
x
)
2
{\displaystyle \sin \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{2}}}}
tan
(
x
2
)
=
sin
(
x
/
2
)
cos
(
x
/
2
)
=
±
1
−
cos
x
1
+
cos
x
.
{\displaystyle \tan \left({\frac {x}{2}}\right)={\sin(x/2) \over \cos(x/2)}=\pm \,{\sqrt {1-\cos x \over 1+\cos x}}.\qquad \qquad }
x , rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:
tan
(
x
2
)
=
±
(
1
−
cos
x
)
(
1
+
cos
x
)
(
1
+
cos
x
)
(
1
+
cos
x
)
=
±
1
−
cos
2
x
(
1
+
cos
x
)
2
{\displaystyle \tan \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {(1-\cos x)(1+\cos x) \over (1+\cos x)(1+\cos x)}}=\pm \,{\sqrt {1-\cos ^{2}x \over (1+\cos x)^{2}}}}
=
sin
x
1
+
cos
x
.
{\displaystyle ={\sin x \over 1+\cos x}.}
Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x , rồi đơn giản hóa:
tan
(
x
2
)
=
±
(
1
−
cos
x
)
(
1
−
cos
x
)
(
1
+
cos
x
)
(
1
−
cos
x
)
=
±
(
1
−
cos
x
)
2
(
1
−
cos
2
x
)
{\displaystyle \tan \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {(1-\cos x)(1-\cos x) \over (1+\cos x)(1-\cos x)}}=\pm \,{\sqrt {(1-\cos x)^{2} \over (1-\cos ^{2}x)}}}
=
1
−
cos
x
sin
x
.
{\displaystyle ={1-\cos x \over \sin x}.}
Suy ra:
tan
(
x
2
)
=
sin
(
x
)
1
+
cos
(
x
)
=
1
−
cos
(
x
)
sin
(
x
)
.
{\displaystyle \tan \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}={\frac {1-\cos(x)}{\sin(x)}}.}
Nếu
t
=
tan
(
x
2
)
,
{\displaystyle t=\tan \left({\frac {x}{2}}\right),}
thì:
sin
(
x
)
=
2
t
1
+
t
2
{\displaystyle \sin(x)={\frac {2t}{1+t^{2}}}}
and
cos
(
x
)
=
1
−
t
2
1
+
t
2
{\displaystyle \cos(x)={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}
and
e
i
x
=
1
+
i
t
1
−
i
t
.
{\displaystyle e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}}.}
sin
(
x
+
y
)
=
sin
x
cos
y
+
cos
x
sin
y
{\displaystyle \sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y}
cos
(
x
+
y
)
=
cos
x
cos
y
−
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}
sin
x
+
sin
y
=
2
sin
(
x
+
y
2
)
cos
(
x
−
y
2
)
{\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)}
cos
x
+
cos
y
=
2
cos
(
x
+
y
2
)
cos
(
x
−
y
2
)
{\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)}
tan
x
+
tan
y
=
sin
(
x
+
y
)
cos
x
cos
y
{\displaystyle \tan x+\tan y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\cos x\cos y}}}
cot
x
+
cot
y
=
sin
(
x
+
y
)
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cot x+\cot y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\sin x\sin y}}}
sin
(
x
−
y
)
=
sin
x
cos
y
−
cos
x
sin
y
{\displaystyle \sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y}
cos
(
x
−
y
)
=
cos
x
cos
y
+
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y}
sin
x
−
sin
y
=
2
cos
(
x
+
y
2
)
sin
(
x
−
y
2
)
{\displaystyle \sin x-\sin y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)}
cos
x
−
cos
y
=
−
2
sin
(
x
+
y
2
)
sin
(
x
−
y
2
)
{\displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)}
tan
x
−
tan
y
=
sin
(
x
−
y
)
cos
x
cos
y
{\displaystyle \tan x-\tan y={\frac {\sin \left(x-y\right)}{\cos x\cos y}}}
cot
x
−
cot
y
=
−
sin
(
x
−
y
)
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cot x-\cot y={\frac {-\sin \left(x-y\right)}{\sin x\sin y}}}
cos
(
x
)
cos
(
y
)
=
cos
(
x
+
y
)
+
cos
(
x
−
y
)
2
{\displaystyle \cos \left(x\right)\cos \left(y\right)={\cos \left(x+y\right)+\cos \left(x-y\right) \over 2}\;}
sin
(
x
)
sin
(
y
)
=
cos
(
x
−
y
)
−
cos
(
x
+
y
)
2
{\displaystyle \sin \left(x\right)\sin \left(y\right)={\cos \left(x-y\right)-\cos \left(x+y\right) \over 2}\;}
sin
(
x
)
cos
(
y
)
=
sin
(
x
−
y
)
+
sin
(
x
+
y
)
2
{\displaystyle \sin \left(x\right)\cos \left(y\right)={\sin \left(x-y\right)+\sin \left(x+y\right) \over 2}\;}
cos
2
(
x
)
=
1
+
cos
(
2
x
)
2
{\displaystyle \cos ^{2}(x)={1+\cos(2x) \over 2}}
sin
2
(
x
)
=
1
−
cos
(
2
x
)
2
{\displaystyle \sin ^{2}(x)={1-\cos(2x) \over 2}}
sin
2
(
x
)
cos
2
2
(
x
)
=
1
−
cos
(
4
x
)
4
{\displaystyle \sin ^{2}(x)\cos ^{2}2(x)={1-\cos(4x) \over 4}}
sin
3
(
x
)
=
2
sin
2
(
x
)
−
sin
(
3
x
)
4
{\displaystyle \sin ^{3}(x)={\frac {2\sin 2(x)-\sin(3x)}{4}}}
cos
3
(
x
)
=
3
cos
(
x
)
+
cos
(
3
x
)
4
{\displaystyle \cos ^{3}(x)={\frac {3\cos(x)+\cos(3x)}{4}}}
[ edit ] [ edit ] Hàm số lượng đường thẳng nghiêng
Z
=
z
∠
θ
=
X
2
+
Y
2
∠
t
a
n
−
1
Y
X
{\displaystyle Z=z\angle \theta ={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\angle tan^{-1}{\frac {Y}{X}}}
Hàm số lượng đường thẳng dọc
Y
=
y
∠
90
{\displaystyle Y=y\angle 90}
Hàm số lượng đường thẳng ngang
X
=
x
∠
0
{\displaystyle X=x\angle 0}
[ edit ] Hàm số lượng đường tròn Z đơn vị
R
=
θ
{\displaystyle R=\theta }
Z
2
=
X
2
+
Y
2
{\displaystyle Z^{2}=X^{2}+Y^{2}}
Hàm số lượng đường tròn 1 đơn vị
1
=
(
X
Z
)
2
+
(
Y
Z
)
2
=
c
o
s
2
x
+
s
i
n
2
x
=
s
e
c
2
x
−
t
a
n
2
x
=
c
s
c
2
x
−
c
o
t
2
x
{\displaystyle 1=({\frac {X}{Z}})^{2}+({\frac {Y}{Z}})^{2}=cos^{2}x+sin^{2}x=sec^{2}x-tan^{2}x=csc^{2}x-cot^{2}x}
![{\displaystyle {\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{mn}]{a}}=a^{\frac {1}{mn}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83064172516d2185efbd65172ed7cc9d3e701284)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372ddb7d13541806e35a6053ba614df98a87b655)
![{\displaystyle a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]=\sum _{k=0}^{\infty }[a+(n-1)d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85c5b6f1d86ff3f156fd65ff5857f5e95f89c10e)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }[a+(n-1)d]=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]={\frac {n}{2}}(2a+(n-1)d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc2a5db1feeaf9814ba2e7c2618c255f45f299a8)
![{\displaystyle S=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63777c0be192f9fe36871fbf7d21970aaed89899)
![{\displaystyle S=[a+(n-1)d]+...+(n-1)d]+a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c376b47de6ed1cfc662cad50bbc979688886f30)
![{\displaystyle 2S=[2a+(n-1)d]n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f47f5f57718103fa0610bc7149959105b3a09039)
![{\displaystyle S=[2a+(n-1)d]{\frac {n}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220eac7734e9963f251e2cac7519edcaf6af5420)
![{\displaystyle s=\Delta xy+\Delta x{\frac {\Delta y}{2}}=\Delta x[y+{\frac {\Delta y}{2}}]=\Delta x[f(x)+{\frac {\Delta f(x)}{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97c1e8dd2152f12fb2ce22cb9e0aa68d4796d786)
![{\displaystyle s=\Delta x[f(x)+{\frac {\Delta f(x)}{2}}]={\frac {\Delta x}{2}}[2f(x)+f(x+\Delta x)-f(x)]={\frac {\Delta x}{2}}[f(x)+f(x+\Delta x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26da47a72c8fdda1d4c93ae221c06fe1ee8d89a5)
