Tổng số

Tổng số một phép toán giải tích tìm tổng của một dải số

Thí dụ

Cho một dải số

$1,2,3,...,n$

Tổng của dải số

$1+2+3+...+n=S$

Ký hiệu Tổng số

$\sum$ . Tổng của dải số trên có thể viết như sau

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}=1+2+\cdots +n=S_{n}$.

Tổng chuổi chuổi số

Tổng chuổi số cấp số cộng

Dải số cấp số cộng có dạng tổng quát

$1,2,3,...9$

Thí dụ

Tìm tổng số của dải số

$1+2+3+4+5+...9=50$

Cách giải

$S=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+(5+5)=10(5)=50$

Công thức

$\sum _{k=0}^{\infty }[a+(n-1)d]=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]={\frac {n}{2}}(2a+(n-1)d)$

Chứng minh

$S=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]$

$S=[a+(n-1)d]+...+(n-1)d]+a$

$2S=[2a+(n-1)d]n$

$S=[2a+(n-1)d]{\frac {n}{2}}$

Tổng chuổi số cấp số nhân

Chuổi số cấp số nhân

$a,ar,ar^{2},ar^{3},...,ar^{n-1}$

Tổng chuổi số cấp số nhân

$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}=S$

Công thức

$\sum _{k=0}^{\infty }(ar^{k})=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots +ar^{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

Chứng minh

$S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}$

$rS=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...+ar^{n}$

$S-rS=a-ar^{n}$

$S={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

$S={\frac {a}{1-r}}$ với $n<1$

Tổng chuổi số Pascal

Thí dụ

$(x+1)^{1}=$	$1x+1$
$(x+1)^{2}=$	$1x^{2}+2x+1$
$(x+1)^{3}=$	$1x^{3}+3x^{2}+3x+1$
$(x+1)^{4}=$	$1x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1$
$(x+1)^{5}=$	$1x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+5x+1$

Tam giác Pascal

Tam giác Pascal cho biet so dang truoc bien so luy thua

                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1

$(a+b)^{o}=1$

$(a+b)^{1}=a+b$

$(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

Công thức tổng chuổi số Pascal

• $(x+y)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}x^{r}y^{n-r}$

$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{0}y^{n}+{n \choose 1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+{n \choose {n-1}}x^{n-1}y^{1}+{n \choose n}x^{n}y^{0}$

$(x+y)^{n}=y^{n}+nxy^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+nx^{n-1}y+x^{n}$

Với

${n \choose r}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$

Tổng chuổi số Taylor

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots$

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+\cdots$

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots$

Công thức tổng dải số

$\sum _{k=0}^{n}{c}=nc$ where $c$ is some constant.

$\sum _{k=0}^{n}{k}={\frac {n(n+1)}{2}}$

$\sum _{k=0}^{n}{k^{2}}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

$\sum _{k=0}^{n}{k^{3}}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =e^{x}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots =\ln(1+x)\quad {\text{ for }}|x|<1$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\cos(x)\quad {\text{ for all }}x\in \mathbb {C}$