Equacions IV

L'Aritmètica de Diofant introdueix el simbolisme algebraic per resoldre equacions pel segle III a.C.

Secció destinada a continuar les equacions de primer grau i segon grau, aprofundint el mètode de Ruffini.

S'integrarà sistemes de representació com a mètode de valoració polinòmica, comprovació i supervisió com a connexió entre conceptes.

L'ordre històric va ser diferent perquè succeeix de forma abstracta, a vegades casual i aplicat a successos molt concrets. Es deixen algunes dades històriques per mostrar la lentitud amb que es fan els avenços, sobretot quan es fan estudis partint de zero.

S'ha procurat un llenguatge de baix nivell amb redundàncies desitjades per fer èmfasi en certes característiques i interpretacions.

Equacions de primer grau

Les equacions de primer grau són equacions que un cop simplificades són del tipus $ax+b=0$ on almenys a sigui diferent de zero i, és a dir, es un polinomi de grau 1 igualat a zero, amb una resolució trivial: $ax+b=0$ $\Leftrightarrow ax=-b$ $\Leftrightarrow x={\frac {-b}{a}}$ Per tant es pot dir que sempre té solució i és única.

Exemples amb resolució: 1) $3x+9=0$ $\Leftrightarrow 3x=-9$ $\Leftrightarrow x={\frac {-9}{3}}$ $\Leftrightarrow x=-3.$ 2) $3+2x-1=-5+x+4$ $\Leftrightarrow x+3=0$ $\Leftrightarrow x=-3.$

Equacions lineals

Les equacions lineals sobre 2 incògnites d'on poden sortir les funcions afins, són equacions que en simplificar-les són del tipus $ax+by=c$ on almenys a o b siguin diferents de zero i com a funció afí poden ser del tipus $y=dx+e$ sempre que el valors de b no sigui zero, $b\neq 0,$ en cas contrari és una recta vertical. Les solucions d'aquest tipus d'equacions és una relació entre x i y, i això es pot representar al pla cartesià. Representació de les equacions a) $x+y=0.$ b) $4x+7y=5$ c) $x-y=2$ d) $3x=2y$ e) $x=2$ f) $3x+y=0$ g) $y=-1$

René Descartes va introduir la geometria analítica per l'any 1630 d.C.

Exercicis per representar 1) Els clavells costen 2 € la unitat, les roses 3 € la unitat i jo tinc 35 €. a) Quantes possibles combinacions tinc si vull gastar tot el que tinc? Representa'l. b) Puc gastar tot en clavells? c) Puc gastar tot en roses? 2) Els cargols d'un cert tipus es venen en capses de 5 unitats, les platines que es volen comprar es venen en capses de 12 unitats. Quantes possibles compres tinc si es vol comprar 20 capses independentment del contingut? Representa'l.

Equacions de segon grau

Les equacions de segon grau són equacions que en simplificar-les són del tipus $ax^{2}+bx+c=0$ on almenys a sigui diferent de zero amb resolució $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2{\phantom {l}}}-4ac}}}{2a}}.$ S'ha de recordar que les dues solucions sense ordre fixat en realitat són: $x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2^{\phantom {l}}}-4ac}}}{2a}}$ i $x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2^{\phantom {l}}}-4ac}}}{2a}}$ Això és degut al signe de $\pm$ que informa de dues possibilitats una de positiva i un altre de negativa. Exemple i resolució: $x^{2}+5x-6=0$ $\Leftrightarrow x={\frac {-5\pm {\sqrt {5^{2{\phantom {l}}}-4\cdot 1\cdot (-6)}}}{2\cdot 1}}$ $\Leftrightarrow x={\frac {-5\pm 7}{2}}$ $\Rightarrow {\begin{cases}x_{1}=\;\;\;1\\x_{2}=-6.\end{cases}}$

Al-Juarismi va introduir la resolució per quadratura per l'any 820 d.C.

Interpretació gràfica Una conseqüència del sistema de resolució és la factorització immediata sempre que tingui solucions als nombres reals: $ax^{2}+bx+c=0$ $\Leftrightarrow a\cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})=0$ Tot i que es factoritza perfectament si l'equació té solucions dins dels nombres reals, $\mathbb {R}$, no hem de oblidar la constant a a la seva factorització. Observació sobre el discriminant $\Delta =b^{2}-4ac$ Què passa si el discriminant fos positiu: $\pm {\sqrt {\Delta }}?$ Té 2 solucions diferents. El polinomi factoritza: $ax^{2}+bx+c$ $=a\cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})$ El seu gràfic és una paràbola que talla dos cops l'eix X. Què passa si el discriminant fos zero: $\pm {\sqrt {\Delta }}=\pm {\sqrt {0}}=0?$ Té una solució. El polinomi factoritza: $ax^{2}+bx+c$ $=a\cdot (x-x_{1})^{2}$ El seu gràfic és una paràbola que talla un sol cops l'eix X. Què passa si el discriminant fos negatiu: $\pm {\sqrt {\Delta }}=\pm {\sqrt {-|\Delta |}}=?$ No té una solució als nombres reals, però en cursos determinats es pot considerar que són dos solucions amb nombres complexos. El polinomi per tant no factoritza als nombres reals. El seu gràfic és una paràbola que no talla mai l'eix X. Què passa en modificar les constants a i c? Si a>0 llavors les branques de la paràbola van cap amunt. Mentre més gran és a llavors més allargada o més estreta és la paràbola. Si a<0 llavors les branques de la paràbola van cap avall. Mentre més petita és a llavors més allargada o més estreta és la paràbola. El valors de c fa desplaçaments verticals de les paràboles: Mentre més gran és, puja més la paràbola. Mentre més petit és, baixa més la paràbola.

Equacions polinòmiques

Per resoldre equacions polinòmiques es pot fer servir Ruffini, no és un mètode útil per resoldre equacions però es donen equacions arreglades per ser resoltes amb facilitat.

Teniu exercicis de resolució d'equacions amb Ruffini al tema de Ruffini 1 i 2.

Només cal entendre que resoldre una equació és factoritzar-la i dir quins són els valors pels quals la factorització és zero.

Exercicis:

1) Resol fent Ruffini successivament.

a) $x^{3}+5x^{2}-13x+7=0$

b) $x^{5}+3x^{4}+2x^{3}-2x^{2}-3x-1=0$

c) $x^{3}-2x^{2}-9x+18=0$

d) $x^{3}-19x+30=0$

e) $x^{3}-9x^{2}+27x-27=0$

f) $x^{3}-14x^{2}+49x-36=0$

g) $x^{2}+x-1=0$

Solucions:a) 1 i -7, b) 1 i -1, c)3, -3 i 2, d)3, 2 i -5, e)3, f)1, 9 i 4 g)${\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}$ i ${\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Equacions biquadràtiques

Les equacions biquadràtiques són equacions que en simplificar-les són del tipus $ax^{4}+bx^{2}+c=0.$

Resolucions equivalents 1a resolució utilitzant canvi de variable: $z=x^{2}$ d'on $z^{2}=x^{4}$ i per tant l'equació biquadràtica es converteix en $az^{2}+bz+c=0$ que és una equació de segon grau i per tant té les solucions: $z={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$ d'on hem de resoldre $z=x^{2}$ que dona $x=\pm {\sqrt {z}}$ 2a resolució utilitzant la solució genèrica: $x=\pm _{1}{\sqrt {\frac {-b\pm _{2}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ Exemple de cada resolució 1a resolució de l'equació amb el canvi $z=x^{2}$ i $z^{2}=x^{4}$ de $x^{4}-5x^{2}+4=0$ $\Leftrightarrow z^{2}-5z+4=0$ $\Rightarrow {\begin{cases}z_{1}=1\\z_{2}=4\end{cases}}$ $\Rightarrow {\begin{cases}x_{1}=\;\;\;1\\x_{2}=-1\\x_{3}=\;\;\;2\\x_{4}=-2.\end{cases}}$ 2a resolució de l'equació $x^{4}-5x^{2}+4=0$ $\Leftrightarrow x=\pm _{1}{\sqrt {\frac {5\pm _{2}{\sqrt {5^{2}-4\cdot 1\cdot 4}}}{2\cdot 1}}}$ $\Leftrightarrow x=\pm _{1}{\sqrt {\frac {5\pm _{2}3}{2}}}\Rightarrow {\begin{cases}\pm {\sqrt {1}}\Rightarrow {\begin{cases}\;\;\;1\\-1\end{cases}}\\\pm {\sqrt {4}}\Rightarrow {\begin{cases}\;\;\;2\\-2\end{cases}}\end{cases}}$ $\Rightarrow {\begin{cases}x_{1}=\;\;\;1\\x_{2}=-1\\x_{3}=\;\;\;2\\x_{4}=-2.\end{cases}}$

Equacions en general

Una equació estableix un lligam entre dues expressions algèbriques:

$f(x)=g(x)$

Aquestes expressions $f(x)$ i $g(x)$ poden ser de molts tipus, des de polinomis fins a funcions arbitràries. En aquesta secció veurem una part molt petita de la infinitat que existeixen.

Quan imposem la equació el que realment estem fent és veure per quins valors de x coincideixen, en aquest cas s'observen dos punts un anomenat $x_{1}$ i un altre anomenat $x_{2}$

Teatralització: Imaginem que la funció f(x) només vol els valors blaus i la funció g(x) només vol els valors vermells. En quin llocs les funcions f(x) i g(x) es posen d'acord ?

Equacions amb fraccions algèbriques

Exercicis d'equacions racionals per practicar la seva resolució i el seu estudi.

Exercicis amb fraccions algèbriques factoritzades:

1) $2x=-{\frac {1}{x+1}}+2$

Resolució ${\frac {2x\cdot (x+1)}{x+1}}=-{\frac {1}{x+1}}+{\frac {2\cdot (x+1)}{x+1}}$ $2x\cdot (x+1)=-1+2\cdot (x+1)$ i $x\neq -1$ $2x^{2}+2x=-1+2x+2$ $\Leftrightarrow 2x^{2}=1$ $\Leftrightarrow x^{2}={\frac {1}{2}}$ $\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {\frac {1}{2}}}$ $\Rightarrow x=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}$

2) $x+{\frac {2}{x-2}}=-{\frac {x}{x-2}}-2$

Resolució ${\frac {x\cdot (x-2)}{x-2}}+{\frac {2}{x-2}}=-{\frac {x}{x-2}}-{\frac {2\cdot (x-2)}{x-2}}$ $x\cdot (x-2)+2=-x-2\cdot (x-2)$ i $x\neq 2$ $x^{2}-2x+2=-x-2x+4$ $\Leftrightarrow x^{2}+x-2=0$ $\Rightarrow x_{1}=1,x_{2}=-2$

3) $x^{2}-{\frac {5x^{2}}{x+1}}={\frac {5x}{x+1}}$

Resolució ${\frac {x^{2}\cdot (x+1)}{x+1}}-{\frac {5x^{2}}{x+1}}={\frac {5x}{x+1}}$ $x^{2}\cdot (x+1)-5x^{2}=5x$ i $x\neq -1$ $x^{3}+x^{2}-5x^{2}=5x$ $\Leftrightarrow x^{3}-4x^{2}-5x=0$ $\Leftrightarrow x(x^{2}-4x-5)=0$ $\Rightarrow x_{1}=0,x_{2}=5,x_{3}={\cancel {-1}}$

4) ${\frac {x^{2}}{x+2}}={\frac {1}{x+3}}+{\frac {1}{(x+3)(x+2)}}$

Resolució Per obtenir un denominador comú primer hem de fer el mínim comú múltiple $mcm(\;(x+2)\;,\;(x+3)\;,\;(x+3)(x+2)\;),$ com que els únics factors són $(x+3)$ i $(x+2)$ llavors només cal agafar el producte de tots dos i ja és el mcm perquè només hi ha potència 1. $mcm=(x+2)(x+3)$ que és el mínim comú denominador i ara només cal ajustar el numerador: ${\frac {(x+3)x^{2}}{(x+3)(x+2)}}={\frac {1\cdot (x+2)}{(x+3)(x+2)}}+{\frac {1}{(x+3)(x+2)}}$ Ara hem de simplificar denominadors d'una equació i cal apuntar-se els valors de x on és zero aquest denominador, és a dir $(x+3)(x+2)=0,$ que té els zeros x=-3 i x=-2 que són valors prohibits com a solució a la equació original. $(x+3)x^{2}=1\cdot (x+2)+1$ $\Leftrightarrow x^{3}+3x^{2}=x+2+1$ $\Leftrightarrow x^{3}+3x^{2}-x-3=0$ on Ruffini diu que és el mateix que (x+3)(x+1)(x-1)=0 i que té solució -3, -1 i 1 però ja hem dit que el -3 estava prohibit, per tant la solució són els valors $x_{1}=-1$ i $x_{2}=1$. Es necessari sempre provar novament les solucions per si sobra alguna solució. $\Box$ Comprovació amb eines tecnològiques Amb el GeoGebra podeu representar cada extrem de la equació com a dues funcions diferents: $f(x)={\frac {x^{2}}{x+2}}$ $g(x)={\frac {1}{x+3}}+{\frac {1}{(x+3)(x+2)}}$ Un cop dibuixades només heu de mirar només la coordenada x dels punts on es toquen les dues funcions i observareu que només es troben als dos punts $x_{1}=-1$ i $x_{2}=1$.

5) ${\frac {x^{2}}{x+1}}-{\frac {1}{x+1}}+1={\frac {4}{x-3}}$

6) ${\frac {x^{3}}{x+10}}+{\frac {9}{(x+1)(x+10)}}={\frac {x^{2}}{x+1}}$

Equacions amb fraccions algèbriques sense factoritzar:

a) ${\frac {x}{x+1}}={\frac {20}{x^{2}-1}}$

b) ${\frac {x^{3}-3x-2}{x^{3}+3x^{2}-4}}=0$

c) ${\frac {x^{3}}{x^{3}+3x^{2}+2x}}={\frac {4}{x+1}}+{\frac {1-4x}{x^{2}+3x+2}}$

Representació de fraccions algèbriques

Secció per representar les fraccions algèbriques especialment per trobar zeros d'aquestes. A partir de qualsevol equació de les anteriors es pot obtenir fàcilment fraccions del tipus:

${\frac {P(x)}{Q(x)}}=0$

Agrupant tots els termes a un cantó de la igualtat, ajuntar-los en una sola fracció i reduir el resultat. Mai enviar a dividir gratuïtament expressions perquè surt car.

Ara busquem quan és zero, positiva o negativa aquestes fraccions algèbriques com a funcions sense importar el valor concret, per tant donem els quatre exemples principals en el que es basa tot i algunes curiositats:

Exemples

1) $f(x)=(x+1)$ Taula de signes -1 x+1 - - - - - - 0 ++++++ Esquema de representació de la funció	2) $f(x)=(2-x)$ Taula de signes 2 2-x ++++++ 0 - - - - - - Esquema de representació de la funció	3) $f(x)={\frac {1}{(1-x)}}$ Taula de signes 1 ${\tfrac {1}{1-x}}$ ++++++ $\infty$ - - - - - - Esquema de representació de la funció	4) $f(x)={\frac {1}{(x+2)}}$ Taula de signes -2 ${\tfrac {1}{x+2}}$ - - - - - - $\infty$ ++++++ Esquema de representació de la funció
5) $f(x)=(x+3)^{n}$ amb $n\in \mathbb {N}$ i parell Taula de signes -3 $(x+3)^{n}$ ++++++ $0$ ++++++ Esquema de representació de la funció	6) $f(x)=(x+3)^{n}$ amb $n\in \mathbb {N}$ i imparell Taula de signes -3 $(x+3)^{n}$ - - - - - - $0$ ++++++ Esquema de representació de la funció

Equacions irracionals

Propietats

$f(x)^{2}=g(x)$ $\Rightarrow f(x)=\pm {\sqrt {g(x)}}$ Garantint que $x$ són nombres reals on $g(x)\geqslant 0.$

$f(x)^{2}=g(x)^{2}$ $\Rightarrow f(x)=\pm g(x).$

$f(x)={\sqrt {g(x)}}$ $\Rightarrow f(x)^{2}=g(x)$ S'ha de recordar que és obligat prendre les solucions d'$x$ com a un valor real on $g(x)\geqslant 0$ i $f(x)\geqslant 0,$ aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre positiva.

${\sqrt {f(x)}}={\sqrt {g(x)}}$ $\Rightarrow f(x)=g(x)$ S'ha de recordar que és obligat prendre les solucions d'$x$ com a un valor real on $g(x)\geqslant 0$ i $f(x)\geqslant 0.$ En cas de que l'equació sigui ${\sqrt {f(x)}}=-{\sqrt {g(x)}}$ Llavors només cal prendre les solucions d'$x$ com a un valor real on $f(x)=0$ i $g(x)=0.$ Això és degut a que la primera expressió és sempre positiva i la segona expressió és sempre negativa per tant només coincideix quant totes dues expressions siguin zero al mateix temps.

$f(x)=g(x)$ $\Rightarrow f(x)^{2}=g(x)^{2}.$

$({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})\cdot ({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})$ $=a-b$ $({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})\cdot ({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})$ $={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {a}}-{\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}+{\sqrt {b}}\cdot {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\cdot {\sqrt {b}}$ $={\sqrt {a}}^{2}-{\sqrt {b}}^{2}$ $=a-b$

$({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})^{2}$ $=a+2{\sqrt {a\cdot b}}+b$ $({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})^{2}$ $=({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})\cdot ({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})$ $={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {a}}+2\cdot {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}+{\sqrt {b}}\cdot {\sqrt {b}}$ $={\sqrt {a}}^{2}+2{\sqrt {a}}{\sqrt {b}}+{\sqrt {b}}^{2}$ $=a+2{\sqrt {a\cdot b}}+b$

Exercicis d'equacions irracionals per practicar la seva resolució i el seu estudi.

1)Exemples elementals:

a) $x={\sqrt {x}}$

b) $x={\sqrt {x+1\;}}\;+1$

c) ${\sqrt {x}}=x^{2}$

d) ${\sqrt {2x}}=4-x$

2)Exemples amb 2 arrels:

a) ${\sqrt {x}}={\sqrt {2x-1}}$

b) $1+{\sqrt {x}}={\sqrt {2x-2}}$

c) $1={\sqrt {x}}-{\sqrt {5-x}}$

d) ${\sqrt {5-x^{2}}}={\sqrt {x^{2}-3}}$

e) $2{\sqrt {5-x^{2}}}={\sqrt {8-x^{2}}}$

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO