Equacions IV

L'Aritmètica de Diofant introdueix el simbolisme algebraic per resoldre equacions pel segle III a. C.

Secció destinada a continuar les equacions de primer grau i segon grau, ampliat amb Ruffini.

S'integrarà sistemes de representació com a mètode de valoració polinòmica, comprovació i supervisió com a connexió entre conceptes.

L'ordre històric va ser diferent perquè succeeix de forma abstracta, a vegades casual i aplicat a successos molt concrets. Es deixen algunes dades històriques per mostrar la lentitud amb que es fan els avenços quan es fan estudis partint de zero.

S'ha procurat un llenguatge de baix nivell amb redundàncies desitjades per fer èmfasi en certes característiques i interpretacions.

Equacions de primer grau

Les equacions de primer grau són equacions que un cop simplificades són del tipus $ax+b=0$ on almenys a sigui diferent de zero i, és a dir, es un polinomi de grau 1 igualat a zero, amb una resolució trivial: $ax+b=0$ $\Leftrightarrow ax=-b$ $\Leftrightarrow x={\frac {-b}{a}}$ Per tant es pot dir que sempre té solució i és única.

Exemples amb resolució: 1) $3x+9=0$ $\Leftrightarrow 3x=-9$ $\Leftrightarrow x={\frac {-9}{3}}$ $\Leftrightarrow x=-3.$ 2) $3+2x-1=-5+x+4$ $\Leftrightarrow x+3=0$ $\Leftrightarrow x=-3.$

Equacions lineals

Les equacions lineals sobre 2 incògnites d'on poden sortir les funcions afins, són equacions que en simplificar-les són del tipus $ax+by=c$ on almenys a o b siguin diferents de zero i com a funció afí poden ser del tipus $y=dx+e$ sempre que el valors de b no sigui zero, $b\neq 0,$ en cas contrari és una recta vertical. Les solucions d'aquest tipus d'equacions és una relació entre x i y, i això es pot representar al pla cartesià. Representació de les equacions a) $x+y=0.$ b) $4x+7y=5$ c) $x-y=2$ d) $3x=2y$ e) $x=2$ f) $3x+y=0$ g) $y=-1$

René Descartes va introduir la geometria analítica pel 1630.

Exercicis per representar 1) Els clavells costen 2 € la unitat, les roses 3 € la unitat i jo tinc 35 €. a) Quantes possibles combinacions tinc si vull gastar tot el que tinc? Representa'l. b) Puc gastar tot en clavells? c) Puc gastar tot en roses? 2) Els cargols d'un cert tipus es venen en capses de 5 unitats, les platines que es volen comprar es venen en capses de 12 unitats. Quantes possibles compres tinc si es vol comprar 20 capses independentment del contingut? Representa'l.

Equacions de segon grau

Les equacions de segon grau són equacions que en simplificar-les són del tipus $ax^{2}+bx+c=0$ on almenys a sigui diferent de zero amb resolució $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$ S'ha de recordar que les dues solucions sense ordre fixat en realitat són: $x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ i $x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ Això és degut al signe de $\pm$ que informa de dues possibilitats una de positiva i un altre de negativa. Exemple i resolució: $x^{2}+5x-6=0$ $\Leftrightarrow x={\frac {-5\pm {\sqrt {5^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)}}}{2\cdot 1}}$ $\Leftrightarrow x={\frac {-5\pm 7}{2}}$ $\Rightarrow {\begin{cases}x_{1}=\;\;\;1\\x_{2}=-6.\end{cases}}$

Al-Juarismi va introduir la resolució per quadratura pel 820.

Interpretació gràfica Una conseqüència del sistema de resolució és la factorització immediata: $ax^{2}+bx+c=0$ $\Leftrightarrow a\cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})=0$ Tot i que es factoritza perfectament si la equació té solucions dins dels nombres reals, $\mathbb {R}$, no hem de oblidar la constant a.

Equacions biquadràtiques

Les equacions biquadràtiques són equacions que en simplificar-les són del tipus $ax^{4}+bx^{2}+c=0.$

Resolucions equivalents 1a resolució utilitzant canvi de variable: $z=x^{2}$ d'on $z^{2}=x^{4}$ i per tant l'equació biquadràtica es converteix en $az^{2}+bz+c=0$ que és una equació de segon grau i per tant té les solucions: $z={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$ d'on hem de resoldre $z=x^{2}$ que dona $x=\pm {\sqrt {z}}$ 2a resolució utilitzant la solució genèrica: $x=\pm _{1}{\sqrt {\frac {-b\pm _{2}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ Exemple de cada resolució 1a resolució de l'equació amb el canvi $z=x^{2}$ i $z^{2}=x^{4}$ de $x^{4}-5x^{2}+4=0$ $\Leftrightarrow z^{2}-5z+4=0$ $\Rightarrow {\begin{cases}z_{1}=1\\z_{2}=4\end{cases}}$ $\Rightarrow {\begin{cases}x_{1}=\;\;\;1\\x_{2}=-1\\x_{3}=\;\;\;2\\x_{4}=-2.\end{cases}}$ 2a resolució de l'equació $x^{4}-5x^{2}+4=0$ $\Leftrightarrow x=\pm _{1}{\sqrt {\frac {5\pm _{2}{\sqrt {5^{2}-4\cdot 1\cdot 4}}}{2\cdot 1}}}$ $\Leftrightarrow x=\pm _{1}{\sqrt {\frac {5\pm _{2}3}{2}}}\Rightarrow {\begin{cases}\pm {\sqrt {1}}\Rightarrow {\begin{cases}\;\;\;1\\-1\end{cases}}\\\pm {\sqrt {4}}\Rightarrow {\begin{cases}\;\;\;2\\-2\end{cases}}\end{cases}}$ $\Rightarrow {\begin{cases}x_{1}=\;\;\;1\\x_{2}=-1\\x_{3}=\;\;\;2\\x_{4}=-2.\end{cases}}$

Equacions en general

Una equació estableix un lligam entre dues expressions algèbriques:

$f(x)=g(x)$

Aquestes expressions $f(x)$ i $g(x)$ poden ser de molts tipus, des de polinomis fins a funcions arbitràries. En aquesta secció veurem una part molt petita de la infinitat que existeixen.

Quan imposem la equació el que realment estem fent és veure per quins valors de x coincideixen, en aquest cas s'observen dos punts un anomenat $x_{1}$ i un altre anomenat $x_{2}$

Teatralització: Imaginem que la funció f(x) només vol els valors blaus i la funció g(x) només vol els valors vermells. En quin llocs les funcions f(x) i g(x) es posen d'acord ?

Equacions amb fraccions algèbriques

Exercicis d'equacions racionals per practicar la seva resolució i el seu estudi.

Exercicis amb fraccions algèbriques factoritzades:

1) $2x=-{\frac {1}{x+1}}+2$

2) $x+{\frac {2}{x-2}}=-{\frac {x}{x-2}}-2$

3) $x^{2}-{\frac {5x^{2}}{x+1}}={\frac {5x}{x+1}}$

4) ${\frac {x^{2}}{x+2}}={\frac {1}{x+3}}+{\frac {1}{(x+3)(x+2)}}$

Resolució Per obtenir un denominador comú primer hem de fer el mínim comú múltiple $mcm(\;(x+2)\;,\;(x+3)\;,\;(x+3)(x+2)\;),$ com que els únics factors són $(x+3)$ i $(x+2)$ llavors només cal agafar el producte de tots dos i ja és el mcm perquè només hi ha potència 1. $mcm=(x+2)(x+3)$ que és el mínim comú denominador i ara només cal ajustar el numerador: ${\frac {(x+3)x^{2}}{(x+3)(x+2)}}={\frac {1\cdot (x+2)}{(x+3)(x+2)}}+{\frac {1}{(x+3)(x+2)}}$ Ara hem de simplificar denominadors d'una equació i cal apuntar-se els valors de x on és zero aquest denominador, és a dir $(x+3)(x+2)=0,$ que té els zeros x=-3 i x=-2 que són valors prohibits com a solució a la equació original. $(x+3)x^{2}=1\cdot (x+2)+1$ $\Leftrightarrow x^{3}+3x^{2}=x+2+1$ $\Leftrightarrow x^{3}+3x^{2}-x-3=0$ on Ruffini diu que és el mateix que (x+3)(x+1)(x-1)=0 i que té solució -3, -1 i 1 però ja hem dit que el -3 estava prohibit, per tant la solució són els valors $x_{1}=-1$ i $x_{2}=1$. Es necessari sempre provar novament les solucions per si sobra alguna solució. $\Box$ Comprovació amb eines tecnològiques Amb el GeoGebra podeu representar cada extrem de la equació com a dues funcions diferents: $f(x)={\frac {x^{2}}{x+2}}$ $g(x)={\frac {1}{x+3}}+{\frac {1}{(x+3)(x+2)}}$ Un cop dibuixades només heu de mirar només la coordenada x dels punts on es toquen les dues funcions i observareu que només es troben als dos punts $x_{1}=-1$ i $x_{2}=1$.

5) ${\frac {x^{2}}{x+1}}-{\frac {1}{x+1}}+1={\frac {4}{x-3}}$

6) ${\frac {x^{3}}{x+10}}+{\frac {9}{(x+1)(x+10)}}={\frac {x^{2}}{x+1}}$

Equacions amb fraccions algèbriques sense factoritzar:

a) ${\frac {x}{x+1}}={\frac {20}{x^{2}-1}}$

b) ${\frac {x^{3}-3x-2}{x^{3}+3x^{2}-4}}=0$

c) ${\frac {x^{3}}{x^{3}+3x^{2}+2x}}={\frac {4}{x+1}}+{\frac {1-4x}{x^{2}+3x+2}}$

Equacions irracionals

Propietats

$f(x)^{2}=g(x)$ $\Rightarrow f(x)=\pm {\sqrt {g(x)}}$ recordant que $g(x)\geqslant 0.$

$f(x)={\sqrt {g(x)}}$ $\Rightarrow f(x)^{2}=g(x)$ recordant que $g(x)\geqslant 0.$

${\sqrt {f(x)}}={\sqrt {g(x)}}$ $\Rightarrow f(x)=g(x)$ recordant que $g(x)\geqslant 0$ i $f(x)\geqslant 0.$

$f(x)^{2}=g(x)^{2}$ $\Rightarrow f(x)=\pm g(x).$

$({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})\cdot ({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})$ $={\sqrt {a}}^{2}-{\sqrt {b}}^{2}$ $=a-b$

$({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})\cdot ({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})$ $={\sqrt {a}}^{2}+2{\sqrt {a}}{\sqrt {b}}+{\sqrt {b}}^{2}$ $=a+2{\sqrt {a\cdot b}}+b$

Exercicis d'equacions irracionals per practicar la seva resolució i el seu estudi.

1)Exemples elementals:

a) $x={\sqrt {x}}$

b) $x={\sqrt {x+1\;}}\;+1$

c) ${\sqrt {x}}=x^{2}$

d) ${\sqrt {2x}}=4-x$

2)Exemples amb 2 arrels:

a) ${\sqrt {x}}={\sqrt {2x-1}}$

b) $1+{\sqrt {x}}={\sqrt {2x-2}}$

c) $1={\sqrt {x}}-{\sqrt {5-x}}$

d) ${\sqrt {5-x^{2}}}={\sqrt {x^{2}-3}}$

e) $2{\sqrt {5-x^{2}}}={\sqrt {8-x^{2}}}$

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO