Trong toán học , định lý Viète hay công thức Viète (có khi viết theo phiên âm tiếng Việt là Vi-ét ), do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức (trong trường số phức ) và các hệ số của nó.
Trong trường hợp phương trình bậc hai, định lý Viète thường được dùng để tính nhẩm nghiệm số nguyên (nếu có) của phương trình. Thí dụ: Có thể nhẩm tính phương trình x2 - 5x + 6 = 0 có hai nghiệm là 2 và 3 vì 2+3=5 và 2
.
{\displaystyle .\,}
Định lý Viète cho phương trình bậc 3 hay cao hơn thường ít thấy trong toán học nghiên cứu, nhưng ngược lại khá quen thuộc trong các kỳ thi Olympiad toán học. [ edit ] Cho phương trình:
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
x
n
=
0
,
a
n
≠
0
{\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=0,\,a_{n}\neq 0}
Cho x1 , x2 , ..., xn là n nghiệm của phương trình trên, thì:
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
x
n
=
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
.
.
.
(
x
−
x
n
)
{\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n})\,}
Nhân toàn bộ vế phải ra, chúng ta sẽ có công thức Viète, được phát biểu như sau:
{
a
=
a
n
−
a
(
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
n
)
=
a
n
−
1
…
…
(
−
1
)
n
−
1
a
(
x
1
x
2
.
.
.
x
n
−
1
+
x
1
x
2
.
.
.
x
n
−
2
x
n
+
.
.
.
+
x
2
x
3
.
.
.
x
n
)
=
a
1
(
−
1
)
n
a
(
x
1
x
2
.
.
.
x
n
)
=
a
0
{\displaystyle {\begin{cases}{a=a_{n}}\\{-a(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})=a_{n-1}}\\{\ldots }\\{\ldots }\\{(-1)^{n-1}a(x_{1}x_{2}...x_{n-1}+x_{1}x_{2}...x_{n-2}x_{n}+...+x_{2}x_{3}...x_{n})=a_{1}}\\{(-1)^{n}a(x_{1}x_{2}...x_{n})=a_{0}}\\\end{cases}}}
và trong hàng k bất kỳ, vế phải của đẳng thức là
a
n
−
k
{\displaystyle a_{n-k}\,}
(
−
1
)
n
−
k
a
{\displaystyle (-1)^{n-k}a\,}
nhân với Tổng của: các tích từng cụm (n-k) các nghiệm của phương trình trên. Trường hợp phương trình bậc 2 là các công thức trên, với hai vế chia đều cho a = a2
[ edit ] Trong trường hợp phương trình bậc hai, công thức Viète được ghi như sau:
Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
,
a
≠
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,a\neq 0}
thì
{
x
1
x
2
=
c
/
a
x
1
+
x
2
=
−
b
/
a
{\displaystyle {\begin{cases}{x_{1}x_{2}=c/a}\\{x_{1}+x_{2}=-b/a}\\\end{cases}}}
Nếu x1 , x2 , x3 là nghiệm của phương trình
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,}
thì công thức Viète (sau khi chia đều hai bên cho a3 tức a , và chuyển dấu trừ nếu có qua vế phải) cho ta:
{
x
1
+
x
2
+
x
3
=
−
b
/
a
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
2
x
3
=
c
/
a
x
1
x
2
x
3
=
−
d
/
a
{\displaystyle {\begin{cases}{x_{1}+x_{2}+x_{3}=-b/a}\\{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=c/a}\\{x_{1}x_{2}x_{3}=-d/a}\\\end{cases}}}
Nếu x1 , x2 , x3 , x4 là nghiệm của phương trình
a
x
4
+
b
x
3
+
c
x
2
+
d
x
+
e
=
0
{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}
thì công thức Viète (sau khi chia đều hai bên cho a4 tức a , và chuyển dấu trừ nếu có qua vế phải) cho ta:
{
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
=
−
b
/
a
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
1
x
4
+
x
2
x
3
+
x
2
x
4
+
x
3
x
4
=
c
/
a
x
1
x
2
x
3
+
x
1
x
2
x
4
+
x
1
x
3
x
4
+
x
2
x
3
x
4
=
−
d
/
a
x
1
x
2
x
3
x
4
=
e
/
a
{\displaystyle {\begin{cases}{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-b/a}\\{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=c/a}\\{x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=-d/a}\\{x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=e/a}\\\end{cases}}}
