Sóng điện từ được tìm thấy từ mạch điện của cuộn từ dẩn điện . Sóng điện từ được tạo ra từ 2 trường Điện trường và Từ trường vuông góc với nhau di chuyển ở vận tốc bằng vận tốc ánh sáng thấy được
Phương trình Maxwell [ edit ] Có thể chứng minh dao động điện từ lan truyền trong không gian dưới dạng sóng bằng các phương trình Maxwell
Trong chân không không có điện [ edit ] Trong trường hợp điện trường và/hoặc từ trường biến đổi trong chân không và không có dòng điện hay điện tích tự do trong không gian đang xét () . 4 phương trình Maxwell
∇
⋅
E
=
0
(
1
)
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0\qquad \qquad \qquad \ \ (1)}
∇
×
E
=
−
∂
∂
t
B
(
2
)
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} \qquad \qquad (2)}
∇
⋅
B
=
0
(
3
)
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\qquad \qquad \qquad \ \ (3)}
∇
×
B
=
μ
0
ϵ
0
∂
∂
t
E
(
4
)
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {E} \qquad \ \ \ (4)}
Trong môi trường vật chất [ edit ]
∇
⋅
E
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot E=0}
∇
×
E
=
−
1
T
E
{\displaystyle \nabla \times E=-{\frac {1}{T}}E}
∇
⋅
B
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot B=0}
∇
×
B
=
−
1
T
B
{\displaystyle \nabla \times B=-{\frac {1}{T}}B}
T
=
μ
ϵ
{\displaystyle T=\mu \epsilon }
Nghiem phuong trinh [ edit ] Trong chân không không có điện [ edit ] Trong trường hợp điện trường và/hoặc từ trường biến đổi trong chân không và không có dòng điện hay điện tích tự do trong không gian đang xét
4 phương trình Maxwell
∇
⋅
E
=
0
(
1
)
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0\qquad \qquad \qquad \ \ (1)}
∇
×
E
=
−
∂
∂
t
B
(
2
)
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} \qquad \qquad (2)}
∇
⋅
B
=
0
(
3
)
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\qquad \qquad \qquad \ \ (3)}
∇
×
B
=
μ
0
ϵ
0
∂
∂
t
E
(
4
)
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {E} \qquad \ \ \ (4)}
Nghiệm tầm thường của hệ phương trình trên là:
E
=
B
=
0
{\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {B} =\mathbf {0} }
Để tìm nghiệm không tầm thường, có thể sử dụng đẳng thức giải tích véc tơ :
∇
×
(
∇
×
A
)
=
∇
(
∇
⋅
A
)
−
∇
2
A
{\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {A} }
Bằng cách lấy rôta hai vế của phương trình (2):
∇
×
(
∇
×
E
)
=
∇
×
(
−
∂
B
∂
t
)
(
5
)
{\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \ (5)\,}
Rồi đơn giản hóa vế trái (tận dụng phương trình (1) trong quá trình đơn giản hóa):
∇
×
(
∇
×
E
)
=
∇
(
∇
⋅
E
)
−
∇
2
E
=
−
∇
2
E
(
6
)
{\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {E} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {E} =-\nabla ^{2}\mathbf {E} \qquad \quad \ (6)\,}
Và đơn giản hóa vế phải (tận dụng phương trình (4) trong quá trình đơn giản hóa):
∇
×
(
−
∂
B
∂
t
)
=
−
∂
∂
t
(
∇
×
B
)
=
−
μ
0
ϵ
0
∂
2
∂
2
t
E
(
7
)
{\displaystyle \nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}t}}\mathbf {E} \qquad (7)}
Cân bằng 2 vế (6) và (7) để thu được phương trình vi phân cho điện trường :
∇
2
E
=
μ
0
ϵ
0
∂
2
∂
t
2
E
{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} }
Có thể thực hiện các biến đổi tương tự như trên để thu được phương trình vi phân với từ trường :
∇
2
B
=
μ
0
ϵ
0
∂
2
∂
t
2
B
{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {B} }
Hai phương trình vi phân trên chính là các phương trình sóng , dạng tổng quát:
∇
2
f
=
1
c
0
2
∂
2
f
∂
t
2
{\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,}
với c 0 là tốc độ lan truyền của sóng và f miêu tả cường độ dao động của sóng theo thời gian và vị trí trong không gian. Trong trường hợp của các phương trình sóng liên quan đến điện trường và từ trường nêu trên, ta thấy nghiệm của phương trình thể hiện điện trường và từ trường sẽ biến đổi trong không gian và thời gian như những sóng , với tốc độ:
c
0
=
1
μ
0
ϵ
0
{\displaystyle c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}}
Đây chính là tốc độ ánh sáng trong chân không .
Nghiệm của phương trình sóng cho điện trường là:
E
=
E
0
f
(
k
^
⋅
x
−
c
0
t
)
{\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)}
Với
E 0 là một hằng số véc tơ đóng vai trò như biên độ của dao động điện trường,f là hàm khả vi bậc hai bất kỳ
k
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}
x là tọa độ của điểm đang xét.Tuy nghiệm này thỏa mãn phương trình sóng, để thỏa mãn tất cả các phương trình Maxwell, cần có thêm ràng buộc:
∇
⋅
E
=
k
^
⋅
E
0
f
′
(
k
^
⋅
x
−
c
0
t
)
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {E} _{0}f'\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)=0}
E
⋅
k
^
=
0
(
8
)
{\displaystyle \mathbf {E} \cdot {\hat {\mathbf {k} }}=0\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \ (8)\,}
∇
×
E
=
k
^
×
E
0
f
′
(
k
^
⋅
x
−
c
0
t
)
=
−
∂
∂
t
B
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} ={\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E} _{0}f'\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} }
B
=
1
c
0
k
^
×
E
(
9
)
{\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{c_{0}}}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E} \qquad \qquad \qquad \quad \ \ \ (9)\,}
(8) suy ra điện trường phải luôn vuông góc với hướng lan truyền của sóng
(9) cho thấy từ trường thì vuông góc với cả điện trường và hướng lan truyền; đồng thời E 0 = c 0 B 0 . Nghiệm này của phương trình Maxwell chính là sóng điện từ phẳng . Trong môi trường vật chất [ edit ] Dao động điện từ được Maxwell biểu diển dưới dạng 4 phương trình vector đạo hàm của 2 trường Điện trường , E và Từ trường , B
∇
⋅
E
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot E=0}
∇
×
E
=
−
1
T
E
{\displaystyle \nabla \times E=-{\frac {1}{T}}E}
∇
⋅
B
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot B=0}
∇
×
B
=
−
1
T
B
{\displaystyle \nabla \times B=-{\frac {1}{T}}B}
T
=
μ
ϵ
{\displaystyle T=\mu \epsilon }
Dùng phép toán
∇
(
∇
×
E
)
=
∇
(
−
1
T
E
)
{\displaystyle \nabla (\nabla \times E)=\nabla (-{\frac {1}{T}}E)}
∇
(
∇
×
B
)
=
∇
(
−
1
T
B
)
{\displaystyle \nabla (\nabla \times B)=\nabla (-{\frac {1}{T}}B)}
Cho một Phương trình sóng điện từ
∇
2
E
=
−
ω
E
{\displaystyle \nabla ^{2}E=-\omega E}
∇
2
B
=
−
ω
B
{\displaystyle \nabla ^{2}B=-\omega B}
Nghiệm của Phương trình sóng điện từ trên cho Hàm số sóng điện từ
E
=
A
S
i
n
ω
t
{\displaystyle E=ASin\omega t}
B
=
A
S
i
n
ω
t
{\displaystyle B=ASin\omega t}
ω
=
λ
f
=
1
T
=
C
{\displaystyle \omega =\lambda f={\sqrt {\frac {1}{T}}}=C}
T
=
μ
ϵ
{\displaystyle T=\mu \epsilon }
Phương trình và hàm số sóng điện từ [ edit ]
Môi trường lan truyền Phương trình sóng Hàm số sóng
ω
{\displaystyle \omega }
Trong chân không không có điện
∇
2
E
=
−
ω
o
E
{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} =-\omega _{o}\mathbf {E} }
∇
2
B
=
−
ω
o
B
{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} =-\omega _{o}\mathbf {B} }
E
=
A
S
i
n
ω
o
t
{\displaystyle E=ASin\omega _{o}t}
B
=
A
S
i
n
ω
o
t
{\displaystyle B=ASin\omega _{o}t}
ω
o
=
1
μ
o
ϵ
o
=
C
=
λ
o
f
o
{\displaystyle \omega _{o}={\sqrt {\frac {1}{\mu _{o}\epsilon _{o}}}}=C=\lambda _{o}f_{o}}
∇
2
E
=
−
ω
E
{\displaystyle \nabla ^{2}E=-\omega E}
∇
2
B
=
−
ω
B
{\displaystyle \nabla ^{2}B=-\omega B}
E
=
A
S
i
n
ω
t
{\displaystyle E=ASin\omega t}
B
=
A
S
i
n
ω
t
{\displaystyle B=ASin\omega t}
ω
=
1
μ
ϵ
=
C
=
λ
f
{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {1}{\mu \epsilon }}}=C=\lambda f}
