Số hữu tỉ

Khái niệm

Số hữu tỉ là các số x có thể biểu diễn dưới dạng phân số ${\frac {a}{b}}$, trong đó a và b là các số nguyên với b $\neq$ 0. Tập hợp số hữu tỉ ký hiệu là $\mathbb {Q}$.

Một cách tổng quát:

$\mathbb {Q} =\left\{x|x={\frac {m}{n}};m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z^{*}} \right\}$

Tập hợp số hữu tỉ là tập hợp đếm được.

Các số thực không phải là số hữu tỉ được gọi là các số vô tỉ.

Tuy nhiên, tập hợp các số hữu tỷ không hoàn toàn đồng nhất với tập hợp các phân số p/q, vì mỗi số hữu tỷ có thể biểu diễn bằng nhiều phân số khác nhau. Chẳng hạn các phân số 1/3, 2/6, 3/9,... cùng biểu diễn một số hữu tỷ.

Biểu diễn số hữu tỉ

Biển diễn bằng phân số

Số hữu tỉ có thể biểu diễn dưới dạng phân số ${\frac {a}{b}}$, trong đó a và b là các số nguyên với b $\neq$ 0. Tập hợp số hữu tỉ ký hiệu là $\mathbb {Q}$.

Biểu diễn trong hệ thập phân và các hệ cơ số khác

Khi biểu diễn số hữu tỉ theo hệ ghi số cơ số 10 (dạng thập phân), số hữu tỉ có thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn và ngược lại.

Một phân số tối giản với mẫu dương và mẫu không có ước nguyên tố nào ngoài 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn

VD: phân số ${\frac {2}{25}}$ có mẫu số là $25=5^{2}$ không có ước nguyên tố nào khác 5 nên có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn ${\frac {2}{25}}=0,08$

Một phân số tối giản với mẫu dương và mẫu có ít nhất 1 ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 1: phân số ${\frac {5}{7}}$ có mẫu số là 7 nên được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

${\frac {5}{7}}$$=0,71428571428571428571428571428571...\,$$=0,(714285)\,$

Ví dụ 2: phân số ${\frac {24}{17}}$ có mẫu số là 17 nên được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn
${\frac {24}{17}}$$=1,4117647058823529411764705882353...\,$$=1,(4117647058823529)\,$

Dãy các chữ số lặp lại trong biểu diễn thập phân của các số thập phân vô hạn tuần hoàn được gọi là chu kỳ, và số các chữ số trong chu kỳ này có thể chứng minh được rằng không vượt quá |b|.

Một cách tổng quát, trong một hệ cơ số bất kỳ, các chữ số sau dấu phẩy của số hữu tỉ là hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

Biểu diễn bằng liên phân số:

Một số thực là số hữu tỉ khi và chỉ khi biểu diễn liên phân số của nó là hữu hạn.

Quan hệ

Các tập hợp số.

$\mathbb {N}$: Tập hợp số tự nhiên

$\mathbb {Z}$: Tập hợp số nguyên

$\mathbb {Q}$: Tập hợp số hữu tỉ

$\mathbb {R}$: Tập hợp số thực

$\mathbb {I} =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$: Tập hợp số vô tỉ

Ta có $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$.