|
ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਮੁਢਲੇ ਗਣਿਤਿਕ ਸਿਧਾਂਤ' ==
- ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਗਣਿਤਿਕ ਸਿਧਾਂਤਾ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਤੌਰ ਤੇ ਇਹ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੈ:
- ਕੈੱਟ ਅਤੇ ਬਰਾ ਸਪੇਸ,
- ਓਪਰੇਟਰ ਅਤੇ ਆਊਟਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ
- ਆਈਗਨ-ਵੈਲੀਊ ਅਤੇ ਆਈਗਨ-ਵੈਕਟਰ
- ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ ਅਤੇ ਨਾਪ (ਔਬਜ਼ਰਵੇਸ਼ਨ)
- ਐਕਸਪੈਕਟੇਸ਼ਨ ਵੈਲੀਊ ਅਤੇ ਡਿਜਨਰੇਸੀ
- ਅਨੁਕੂਲ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ ਅਤੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਸਿਧਾਂਤ
- ਨਿਰੰਤਰ ਸਪੈਕਟ੍ਰਾ
ਹੋਰ ਪੜੋ ... (Click to show)
|
ਹੋਰ ਪੜੋ ... (Click to show)
ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਆਮ 3-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਦੀ ਵਜਾਏ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦਾ ਜਿਕਰ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਵਿਵਰਣ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ:
ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ
ਖਾਸ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ (ਪੁੰਜ, ਇਨਰਸ਼ੀਆ ਦਾ ਗਤੀ-ਨਾਪ ਵਗੈਰਾਹ) ਵਾਲੇ ਕਣਾਂ ਦੇ ਬਣੇ ਇੱਕ ਸੂਖਮ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਲਓ ਜੋ ਬਲ ਦੇ ਖਾਸ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਮੁਤਾਬਿਕ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੋਵੇ। ਬਲ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਕਣਾਂ ਦੀਆਂ ਕਈ ਸੰਭਵ ਗਤੀਆਂ ਹੋਣਗੀਆਂ। ਆਓ ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੀ ਹਰੇਕ ਗਤੀ ਦੀ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਇੱਕ ਅਵਸਥਾ ਦਾ ਨਾਮ ਦੇਈਏ। ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ (ਜੋੜ) ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਮੁਤਾਬਿਕ, ਹਰੇਕ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਅਵਸਥਾ ਦੋ ਜਾਂ ਜਿਆਦਾ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਜੋੜ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਗਣਿਤਿਕ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਜੋੜ ਕੇ ਉਸੇ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਮਿਲ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।
ਅਜਿਹੀਆਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਸਪਸ਼ਟ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵੈਕਟਰ ਹਨ। ਆਓ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਖਾਸ ਅਵਸਥਾ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਖਾਸ ਸੂਖਮ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਲਈਏ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ  ਦਾ ਨਾਮ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ: ਜਿਵੇਂ, ਇੱਕ ਖਾਸ ਊਰਜਾ, ਮੋਮੈਂਟਮ, ਅਤੇ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਫੋਟੋਨ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਖਾਸ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਨੂੰ ਵੀ ਅਸੀਂ ਦਾ ਨਾਮ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਸਪੇਸ ਦੇ ਬਾਕੀ ਤੱਤ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਬਾਕੀ ਸੰਭਵ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਅਜਿਹੀ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਅਵਸਥਾ ਵੈਕਟਰ ਰੀਵਾਜ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਇੰਝ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਪੇਸ , ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਵੱਖਰੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ  ਅਤੇ  ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ। ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਪਰਸਪਰ-ਸਬੰਧ ਇਸ ਤਰਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;
ਜਿੱਥੇ  ਅਵਸਥਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਵੈਕਟਰ ਹੈ ਤੇ ਇਵੇਂ ਹੀ |〉ਵੀ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਅਵਸਥਾ ਜਰੂਰ ਹੀ  -ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੋਟੋਨ ਦੇ ਸੰਚਾਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ  -ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਦੀ ਸਤਹਿ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੀ ਹੋਵੇਗਾ, ਅਤੇ |C〉 ਅਵਸਥਾ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਹੀ ਫੋਟੋਨ ਦੀ  -ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਦੀ ਸਤਹਿ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੀ ਹੈ| ਇਸ ਕੇਸ ਵਿੱਚ, ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਫੋਟੋਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਹਨਾਂ ਦੇ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਦੀ ਸਤਹਿ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਦੋਹਾਂ ਨਾਲ  ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ (ਕਲਾਸੀਕਲ ਫਿਜਿਕਸ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੀ)। ਬਾਦ ਵਾਲੀ ਅਵਸਥਾ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ
ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੀ ਅਵਸਥਾ ਬਣਾਉਣੀ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦੀ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਦੀ ਸਤਹਿ ਦਿਸ਼ਾ ਨਾਲ ਇੱਕ ਮਨਚਾਹਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੋਵੇ। ਅਸੀਂ ਅਜਿਹਾ ਅਤੇ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਅਨੁਕੂਲਿਤ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਜੋੜ ਕਰਕੇ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਲਾਸੀਕਲ ਫਿਜਿਕਸ ਦੇ ਸਮਾਨ, ਸਾਨੂੰ ਅਵਸਥਾ ਦਾ  ਅਤੇ ਅਵਸਥਾ ਦਾ  ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਨਵੀਂ ਅਵਸਥਾ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇਸਤਰਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਹੋਵੇਗੀ:
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਅਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਜੋੜ ਕੇ ਨਵੀਂ ਅਵਸਥਾ ਨਹੀਂ ਬਣਾ ਸਕਦੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋ, ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਧਰੁਵੀਕ੍ਰਿਤ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਇੱਕ ਫੋਟੋਨ ਇਸੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੋਰ ਫੋਟੋਨ ਨਾਲ ਜੋੜ ਕੇ (ਜਿਸਦੀ ਉਹੀ ਊਰਜਾ ਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਹੋਵੇ) ਉਹੀ ਫੋਟੋਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ
 ਅਵਸਥਾ ਵਾਲੀ ਅਵਸਥਾ ਹੀ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਅਪਣੇ ਮੁੱਲਾਂ, ਜਾਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਦੇ ਨਜ਼ਰੀਏ ਤੋਂ ਪਰੰਪਰਾਗਤ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲੋਂ ਭੌਤਿਕੀ ਤੌਰ ਤੇ ਅਸਬੰਧਿਤ ਹਨ। ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਭਵ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਨਾਲ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਸਬੰਧਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ  ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹਨਾਂ ਕਥਨਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਸਾਵਧਾਨੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ  ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਜੋੜ ਦੀ ਪ੍ਰਕ੍ਰਿਆ ਕੁੱਝ ਵੀ ਪੈਦਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ। ਯਾਨਿ ਕਿ; ਕੋਈ ਅਵਸਥਾ ਨਹੀਂ ਬਣਦੀ। ਇੱਕ ਅਵਸਥਾ ਦੀ ਗੈਰਹਾਜ਼ਰੀ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਨੱਲ ਵੈਕਟਰ |0〉ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਨੱਲ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਇਹ ਢੁਕਵੀਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ : ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਲਈ ;
ਸੱਚਾਈ ਕਿ ਇੱਕੋ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਉਸੇ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅੰਤ ਨੂੰ ਪਦਾਰਥ ਦੀ ਕੁਆਂਟੀਜੇਸ਼ਨ (ਨਿਰਧਾਰੀਕਰਨ) ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ: ਯਾਨਿ ਕਿ, ਸੱਚਾਈ ਕਿ ਪਦਾਰਥ ਹੋਰ ਨਾ ਤੋੜੇ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੇ ਫੋਟੌਨ, ਪ੍ਰਮਾਣੂਆਂ ਜਾਂ ਅਣੂਆਂ ਨਾਮ ਦੇ ਪੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੂਖਮ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਜਾਂ ਤਾਂ ਇੱਕ ਅਵਸਥਾ (ਜਿਵੇਂ ਇੱਕ ਫੋਟੋਨ, ਇੱਕ ਪ੍ਰਮਾਣੂ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਅਣੂ ਵਗੈਰਾਹ ਵਗੈਰਾਹ) ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਕੁੱਝ ਵੀ ਨਹੀਂ ਦੇਖਦੇ। ਅਸੀਂ ਕਦੇ ਵੀ ਇੱਕ ਅਵਸਥਾ ਦੀ ਬਹੁਤਾਤ ਜਾਂ ਅਧੂਰਾ ਹਿੱਸਾ ਨਹੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ। ਕਲਾਸੀਕਲ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤਰੰਗ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਤਰੰਗ ਦਾ ਅਯਾਮ (ਐਂਪਲੀਟੀਊਡ) 0 ਤੋਂ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ ਲੈ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਕਲਾਸੀਕਲ ਤਰੰਗ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਮਾਤਰਾ, ਜਾਂ ਲੰਬਾਈ ਤਰੰਗ ਦੇ ਅਯਾਮ(ਐਂਪਲੀਚਿਊਡ) ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਰੱਖੇਗੀ, ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਤਰੰਗ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਆਵਰਤੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹੋਵੇਗੀ, ਤਾਂ ਜੋ ਅਲੱਗ ਲੰਬਾਈਆਂ ਦੇ ਦੋ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕੋ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਵੱਖਰੀਆਂ ਤਰੰਗ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨਗੇ। ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ Cos α |B〉+ sin α |C〉 ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਫੋਟੋਨ ਦੀ ਸਤਹਿ ਦੀ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਦੀ ਅਵਸਥਾ ਦੋ ਪਰਸਪਰ ਸਮਕੋਣ ਧਰੁਵਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਵਾਲੇ ਰੇਖਿਕ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਧਰੁਵੀਕ੍ਰਿਤ ਫੋਟੋਨ ਅਵਸਥਾ ਬਣਾਉਣੀ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਠੀਕ ਹੈ, ਕਲਾਸੀਕਲ ਭੌਤਿਕੀ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਧਰੁਵੀ ਤਰੰਗ ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਮਾਤਰਾ ਦੀਆਂ ਤਰੰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਸਮਕੋਣ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਤੇ ਸਤਿਹੀ ਤੌਰ ਤੇ ਧਰੁਵਾਂ ਵਾਲੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਫੇਜ਼ ਵਰਗ (phase quadrature) ਕੱਢਣ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਵਾਲਾ ਫੋਟੋਨ, ਇੱਕ -ਦਿਸ਼ਾ (-ਅਵਸਥਾ) ਵਿੱਚ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫੋਟੋਨ ਅਤੇ ਇੱਕ -ਦਿਸ਼ਾ (C-ਅਵਸਥਾ) ਵਿੱਚ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫੋਟੋਨ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋਹੇ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਸ਼ਰਤ ਤੇ ਬਰਾਬਰ ਵਜ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਿ ਅਵਸਥਾ , ਅਵਸਥਾ ਤੋਂ ਸਮਕੋਣ ਦੀ ਅਵਸਥਾ ਤੇ ਹੋਵੇਗੀ। ਪੁਰਤਾਨ ਫਿਜਿਕਸ ਦੇ ਸਮਾਨ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ (ਜੋੜ) ਵਿੱਚ ਵਜ਼ਨ ਅਤੇ ਸਬੰਧਿਤ ਫੇਜ਼ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਲਈ, ਇੱਕ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਧਰੁਵੀਕ੍ਰਿਤ ਫੋਟੋਨ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ
ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਆਮ ਦੀਰਘ-ਚੱਕਰੀ (elliptiCall) ਧਰੁਵੀਕ੍ਰਿਤ ਫੋਟੋਨ
ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ  ਅਤੇ  ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਜਰੂਰ ਹੀ ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੋਵੇਗੀ ਜੇਕਰ ਇਸਨੇ ਸਹੀ ਤਰਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸੂਖਮ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਸੰਭਵ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਪਰਸਪਰ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨਾ ਹੋਵੇ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕੈੱਟ  ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਕੈੱਟਾਂ ਅਤੇ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਣ ਯੋਗ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਿ ;
ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ,
- ਅਤੇ
ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। ਇਸਤੋ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਵਸਥਾ R, ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਅਤੇ ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਜੋੜ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਹੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਵਸਥਾ R, ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਅਤੇ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਕੋਈ ਵੀ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ (ਜਾਂ ਅਵਸਥਾ) ਜੋ ਕੁੱਝ ਹੋਰ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇ, ਉਹਨਾਂ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇਗਾ। ਇਸੇ ਤਰਾਂ, ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗਰੁੱਪ ਜਾਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਆਤਮ-ਨਿਰਭਰ ਕਹੀਆਂ ਜਾਣਗੀਆਂ ਜੇ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਹੋਰਾਂ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਜੋੜ ਕੇ ਨਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੋਵੇ।
ਇੱਕ ਪਰੰਪਰਾਗਤ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦਾ ਅਯਾਮੀ-ਕਰਨ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਆਤਮ ਨਿਰਭਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਨੰਬਰਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰਾਂ, ਇੱਕ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਅਯਾਮੀਕਰਨ ਇਸਦੇ ਰੱਖੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਆਤਮ ਨਿਰਭਰ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਨੰਬਰਾਂ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ, -ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸੰਚਾਰਿਤ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਫੋਟੋਨ ਦੀਆਂ ਸੰਭਵ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ 2-ਅਯਾਮੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ( ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸਤਿਹੀ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਦੋ ਆਤਮ ਨਿਰਭਰ ਵੈਕਟਰ)। ਕੁੱਝ ਸੂਖਮ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਤ ਆਤਮ ਨਿਰਭਰ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ (ਜਿਵੇਂ, ਇੱਕ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੀਆਂ ਸਪਿਨ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ)। ਜੇਕਰ N ਆਤਮ ਨਿਰਭਰ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਹੋਣ, ਫੇਰ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਸੰਭਵ ਅਵਸਥਾਵਾਂ N-ਅਯਾਮੀ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਕੁੱਝ ਸੂਖਮ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੀਆਂ ਗਿਣੀਆਂ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੀਆਂ ਅਨੰਤ ਆਤਮ ਨਿਰਭਰ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ (ਜਿਵੇਂ, ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਡੂੰਘੇ 1-ਅਯਾਮੀ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਖੂਹ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਣ)। ਅਜਿਹੇ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸੰਭਵ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਸਦੇ ਅਯਾਮ ਅਨੰਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਜਿਹੀ ਇੱਕ ਸਪੇਸ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਅਯਾਮਾਂ ਵਾਲੀ ਸਪੇਸ ਵਾਂਗ ਹੀ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਵਰਤਾਓ ਨਾਲ ਨਿਬਟੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਕੁੱਝ ਸੂਖਮ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੀਆਂ ਨਾ ਗਿਣਨ਼ ਯੋਗ ਅਨੰਤ ਆਤਮ ਨਿਰਭਰ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ (ਜਿਵੇਂ ਇੱਕ ਮੁਕਤ ਕਣ)। ਅਜਿਹੇ ਇੱਕ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਸੰਭਵ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਨਾ ਗਿਣਨ਼ ਯੋਗ ਅਯਾਮਾਂ ਵਾਲੀ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਪੇਸ ਦੀਆਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ ਸੀਮਤ, ਜਾਂ ਗਿਣਨ਼ ਯੋਗ ਅਨੰਤ ਅਯਾਮਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਸਪੇਸਾਂ ਤੋਂ ਜਰਾ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵਰਤਾਓ ਮੰਗਦੀਆਂ ਹਨ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਆਮ ਸੂਖਮ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਇੱਕ (ਸੰਭਵ ਤੌਰ ਤੇ) ਸੀਮਤ ਅਯਾਮਾਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਜਿਹੀ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਨੇ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਦਾ ਨਾਮ ਦਿੱਤਾ ਹੈ।
- ਸਿੱਧਾ ਹੀ ਇਸ ਲਿੰਕ ਤੇ ਜਾਓ ‘‘ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ
|
|
ਹੋਰ ਪੜੋ ... (Click to show)
ਇੱਕ ਨਾਸ਼ਤਾ ਮਸ਼ੀਨ ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਸਿੱਕੇ (ਇਨ-ਪੁੱਟ) ਅਤੇ ਕੀਪੈਡ ਤੇ ਟਾਈਪ ਕਰਕੇ ਐਂਟਰ ਕੀਤਾ ਕੋਈ ਕੋਡ, ਅਤੇ (ਉਮੀਦ ਨਾਲ) ਇੱਕ ਨਾਸ਼ਤੇ ਦੀ ਆਊਟ-ਪੁੱਟ। ਇਹ ਇੰਝ ਨਿਰਧਾਰੀਕਰਨ ਵਾਲੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਯਾਨਿ ਕਿ, ਵਾਰ ਵਾਰ ਹਰ ਵਕਤ ਤੇ ਉਹੀ ਪੈਸਾ ਜਮਾਂ ਉਹੀ ਕੋਡ, ਉਹੀ ਨਾਸ਼ਤਾ (ਜਾਂ ਉਹੀ ਇਰਰ ਮੈਸੇਜ) ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਮਸ਼ੀਨ ਦੀ ਇਨਪੁੱਟ ਤੇ ਆਊਟਪੁੱਟ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਵੱਖਰੇ ਸੁਭਾਅ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੰਖੇਪ ਨਾਸ਼ਤਾ ਮਸ਼ੀਨ ਬਣਾਉਣ ਬਾਰੇ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਇਨਪੁੱਟ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹੋਣ ਅਤੇ ਆਊਟ-ਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਫੈਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਨਿਕਲਦੇ ਹੋਣ। ਗਣਿਤਸ਼ਾਸਤਰੀ ਅਜਿਹੀ ਇੱਕ ਮਸ਼ੀਨ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਆਮ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ, ਜਿਸ ਨੂੰ  ਦਾ ਨਾਮ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇ, ਜੋ ਇੱਕ ਆਮ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ  ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਰਿਹਾ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਕ੍ਰਿਆ ਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਇਸਤਰਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਆਓ ਅਪਣਾ ਧਿਆਨ ਉਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਲਾਂ ਤੇ ਕੇਂਦ੍ਰਿਤ ਕਰੀਏ ਜੋ ਅਪਣੇ ਓਪਰੇਟ ਕੀਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਤੇ ਰੇਖਿਕ ਨਿਰਭਰਤਾ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। ਹੈਰਾਨ ਨਾ ਹੁੰਦੇ ਹੋਏ, ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਰੇਖਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਲਜ਼ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਧਾਰਣ ਰੇਖਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਲ, ਜਿਸ ਨੂੰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ;
ਜਿੱਥੇ
- ਅਤੇ :
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਦੋ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਹਨ।
ਇੱਕ  -ਅਯਾਮੀ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ (ਯਾਨਿ ਕਿ ਇੱਕ ਸੀਮਤ-ਅਯਾਮੀ, ਜਾਂ ਗਿਣਨ਼ਯੋਗ ਅਨੰਤ-ਅਯਾਮੀ  ਸਪੇਸ) ਲਓ। ਹੁਣ  ਨੂੰ (ਜਿੱਥੇ  ਦਾ ਸੰਕੇਤ 1 ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ ਤੱਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੈ) ਇਸ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਆਤਮ ਨਿਰਭਰ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਆਮ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਇਸਤਰਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ  ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੇ ਮਨਚਾਹੇ ਸੈੱਟ ਹਨ। ਸਿਰਫ ਇੱਕੋ ਤਰੀਕਾ ਜਿਸ ਨਾਲ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ
:
ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ
ਜਿੱਥੇ  ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਹਨ।
(ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਸਿਰਫ ਸਖਤੀ ਨਾਲ ਸੀਮਤ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸਾਂ ਲਈ ਹੀ ਸੱਚ ਹੈ। ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਗਿਣਨ਼ਯੋਗ ਅਨੰਤ ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸਾਂ ਦਾ ਉੱਪ ਸਮੂਹ ਹੀ ਅਜਿਹੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਰੱਖਦਾ ਹੈ (ਯਾਨਿ ਕਿ ਉਹ ਪੂਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ), ਪਰ ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਜਰੂਰ ਹੀ ਸੰਪੂਰਨ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸਨੇ ਸੂਖਮ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨੀਆਂ ਹੋਣ, ਇਸਲਈ ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ ਇਸ ਖਾਸ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਹੀ ਲੈਣ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਹੈ)
ਆਓ ਅਸੀਂ ਅਧਾਰਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨਕਲ  ਨੂੰ ਦਰਸਾਈਏ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ
ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੀ ਹੋਵੇ।
ਇੱਥੇ, ਕਰੋਨੈੱਕਰ ਡੈਲਟਾ ਚਿੰਨ ਇਸਤਰਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ  ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ  ਹੋਵੇ , ਨਹੀਂ ਤਾਂ  ਹੁੰਦਾ ਹੈ,
ਪਿਛਲੀਆਂ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ ਇਹ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ
ਪਰ, ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ -ਅਯਾਮੀ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰ ਰਹੇ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਰੇਖਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਲਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ ਅਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਹੀ ਇੱਕ N-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਰਾ ਸਪੇਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਜਨਮਦਾਤਾ ਵੈਕਟਰਾਂ (ਜੋ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਹਨ) ਨੂੰ ਬਰਾ ਵੈਕਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਬਰਾ ਵੈਕਟਰ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲੋਂ ਸੁਭਾਅ ਪੱਖੋਂ ਕਾਫੀ ਵੱਖਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (ਇਸਲਈ ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਦਰਪਣ ਦੇ ਅਕਸ ਵਾਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇ ਸੰਕੇਤ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ,  ਅਤੇ  ਤਾਂ ਜੋ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕਦੇ ਵੀ ਕਨਫਿਊਜਨ ਨਾ ਹੋ ਸਕੇ)। ਬਰਾ ਸਪੇਸ ਉਸ ਚੀਜ਼ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ ਜਿਸ ਨੂੰ ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਇੱਕ ਦੂਹਰੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ (ਯਾਨਿ ਕਿ, ਇਹ ਮੂਲ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਲਈ ਦੋਹਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ)। ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੱਤਾਂ ਅਤੇ ਸਬੰਧਿਤ ਬਰਾ ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੱਤਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਨਾਲ ਇੱਕ ਪਰਸਪਰ ਮੇਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਦੇ ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਲਈ, ਇੱਕ ਸਬੰਧਿਤ ਤੱਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਬਰਾ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਵੀ ਹੀ ਕਹਿਣਾ ਸੌਖਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਯਾਨਿ ਕਿ;
ਜਿੱਥੇ DC ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਦੋਹਰਾ ਮੇਲ
ਇੱਕ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਦੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਸਬੰਧਿਤ ਬਰਾ ਸਪੇਸ ਦੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਮੇਲ ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਦੇ ਅਨੰਤ ਤਰੀਕੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਹੀ ਭੌਤਿਕੀ ਮਹਤੱਤਾ ਵਾਲਾ ਤਰੀਕਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਆਮ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਲਈ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ
ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਸਬੰਧਿਤ ਬਰਾ ਵੈਕਟਰ ਇੰਝ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ  ਦੇ ਚਿੰਨ ਦੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ ਹਨ। ਇਸੇ ਤਰਾਂ  ਨੂੰ ਲਈ ਦੂਹਰੇ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਨਾਮ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ, c 〈A| ਲਈ ਦੋਹਰਾ c^* |A〉 ਹੈ, ਜਿੱਥੇ  ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਹੈ। ਹੋਰ ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ,
ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਬਰਾ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਆਮ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਬਾਹਰ ਕੱਢਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਨੂੰ ਲਓ ਜੋ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਲਈ ਦੋਹਰਾ ਹੈ।
ਅਤੇ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਇਸ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਨੂੰ  ਰਾਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ, ਫੇਰ ਵੀ, ਕਿ ਅਸੀਂ ਗੋਲ ਬਰੈਕਿਟਾਂ ਨੂੰ ਬਗੈਰ ਕੋਈ ਅਸਪਸ਼ਟਤਾ ਪੈਦਾ ਕੀਤੇ ਹਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਜੋ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਨੂੰ  ਦੀ ਤਰਾਂ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕੇ। ਇਸ ਦਰਸਾਓ ਨੂੰ ਹੋਰ ਸਰਲ ਕਰਕੇ  ਦੀ ਤਰਾਂ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉੱਪਰਲੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਮੁਤਾਬਿਕ
ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀ 〉ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਰਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਕੈੱਟ ਦੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਪੈਦਾਵਰ ਦਾ ਨਾਮ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਪੈਦਾਵਰ ਕਿਸੇ ਵਕਰੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਹਿ-ਰੂਪਾਂਤਰਨ (covariant) ਅਤੇ ਵਿਰੁੱਧ-ਰੂਪਾਂਤਰਨ (contravariant) ਵੈਕਟਰ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਪੈਦਾਵਰ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ
ਸਪੈਸ਼ਲ ਕੇਸ ਨੂੰ ਲਓ ਜਿੱਥੇ  ਹੋਵੇ| ਉੱਪਰਲੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ  ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ;
ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਬਰਾਬਰਤਾ ਦਾ ਚਿੰਨ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਨੱਲ ਕੈੱਟ ਹੋਵੇ (ਯਾਨਿ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ
ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਜੀਰੋ ਹੋਣ)।
ਬਰਾ ਅਤੇ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵਿਆਖਿਆ ਲਈ ਜਰੂਰੀ ਹੈ, ਜੋ ਬਾਦ ਵਿੱਚ ਸਪਸ਼ਟ ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ।
ਦੋ ਕੈੱਟ ਅਤੇ ਨੂੰ ਔਰਥਾਗਨਲ (orthogonal) ਕਿਹਾ ਜਾਵੇਗਾ ਜੇਕਰ
ਹੋਵੇ। ਜਿਸਦਾ ਇਹ ਅਰਥ ਵੀ ਹੈ ਕਿ
ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਕੈੱਟ ਲਈ, ਜੋ ਨੱਲ ਕੈੱਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਮਾਨਕੀਕਰਨ (ਨੌਰਮਲਾਈਜੇਸ਼ਨ) ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਕੈੱਟ  ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ
ਵਿੱਚ ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ
ਇੱਥੇ,  ਨੂੰ ਦਾ ਨਿਯਮ ਜਾਂ ਲੰਬਾਈ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਇੱਕ ਪ੍ਰੰਪਰਾਗਤ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਜਾਂ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੀ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਤੇ  ਇੱਕੋ ਭੌਤਿਕੀ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਸਮਝਣਾ ਅਰਥ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਕਿ ਭੌਤਿਕੀ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਸਾਰੇ ਕੈੱਟਾਂ ਲਈ ਇਕਾਈ ਦੇ ਨਿਯਮ ਜਰੂਰੀ ਹਨ।
(ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਡੀਰਾਕ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੀ ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਬਰਾ ਅਤੇ ਕੈੱਟ ਦੇ ਮੇਲ ਨਾਲ bra(c)ket ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ)
ਤਕਰੀਬਨ ਉੱਪਰ ਦੱਸੇ ਮੁਤਾਬਿਕ ਹੀ ਨਾ ਗਿਣਨਯੋਗ ਅਨੰਤ ਅਯਾਮਾਂ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਦੋਹਰੀ ਬਰਾ ਸਪੇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨੀ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਮੁੱਖ ਅੰਤਰ ਇਹ ਹਨ ਕਿ ਅਨਿਰੰਤਰ ਲੇਬਲਾਂ ਉੱਤੇ ਜੋੜ ਨਿਰੰਤਰ ਲੇਬਲਾਂ ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨਜ਼ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਕਰੋਨੈੱਕਰ ਡੈਲਟਾ-ਫੰਕਸ਼ਨ ਡੀਰਾਕ ਡੈਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਸੰਪੂਰਣਤਾ ਜਰੂਰ ਹੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਇਹ ਸਾਬਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ), ਤੇ ਮਾਨਕੀਕਰਨ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਕੁੱਝ ਵੱਖਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਬਾਰੇ ਜਿਆਦਾ ਬਾਦ ਵਿੱਚ ਪੜਾਂਗੇ।
- ਸਿੱਧਾ ਹੀ ਇਸ ਲਿੰਕ ਤੇ ਜਾਓ ‘‘ ਬਰਾ ਸਪੇਸ
|
|
ਹੋਰ ਪੜੋ ... (Click to show)
- ਸਿੱਧਾ ਹੀ ਇਸ ਲਿੰਕ ਤੇ ਜਾਓ ‘‘ ਆਊਟਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ
|
|
ਹੋਰ ਪੜੋ ... (Click to show)
- ਸਿੱਧਾ ਹੀ ਇਸ ਲਿੰਕ ਤੇ ਜਾਓ ‘‘ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ
|
- ਸਿੱਧਾ ਹੀ ਇਸ ਲਿੰਕ ਤੇ ਜਾਓ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀਆਂ ਗਣਿਤਿਕ ਧਾਰਨਾਵਾਂ
|
